奇多重完全數(shù).pdf

1、設(shè)n為正整數(shù)，σ(n)：=∑d/nd表示n的所有因子之和。如果σ(n)=2n，我們稱正整數(shù)n是一個(gè)完全數(shù)。設(shè)k≥2是一個(gè)整數(shù)。如果σ(n)=kn，我們稱n是一個(gè)多重完全數(shù)，也稱k完全數(shù)。
　　 本論文主要研究多重完全數(shù)的結(jié)構(gòu)、歐拉部分和分布，得到的主要結(jié)果如下：
　　 1.奇多重完全數(shù)的結(jié)構(gòu)。設(shè)n為奇的k完全數(shù)，v2(k)≥1為2整除k的最大指數(shù)。S為滿足1≤s≤／v2(k)的任意整數(shù)。那么n具有下面的形狀:n=pe1

2、1 pe2 2…pes s M2，其中M為正整數(shù)，pi為素?cái)?shù)且(pi,M)=1，ei為奇整數(shù)。如果v2(k)-s有一個(gè)非負(fù)分拆v2(k)-s=α1+α2+…+αs+b1+b2+…bs，αi≥0，bj≥0，那么素?cái)?shù)p1，Ps滿足pi(=)2αi+1-1(mod 2αi+2)指數(shù)e1，…es滿足ej三2bj+1-1(rood 2bj+2).稱Π=pe1 1…pes s為n的歐拉部分。直接推論是著名的歐拉定理：奇完全數(shù)n具有下面的形狀:n=π

3、αm2，其中π為素?cái)?shù)，α為奇數(shù)且(π，m)=1，π(=)α(=)1(mod 4)所得結(jié)果推廣了Broughan and Q.Zhou的結(jié)果(J Number Theory 128：1566-1575,2008)。
　　 2.奇多重完全數(shù)的歐拉部分的性質(zhì)。我們刻畫(huà)了奇完全數(shù)n=παM2的歐拉部分πα的同余性質(zhì)：σ(M2)(=)1(mod 4)(→)π(=)α(mod 8),σ(M2)(=)3(mod 4)(→)π(=)α+4(mo

4、d 8).設(shè)n=／TΠM2為一個(gè)奇2k-完全數(shù)，Π為n的歐拉部分。如果M所有的素因子都(=)3(mod 4)且Π-pe1 1…pes s qf1 1…qf2t 2t滿足(σ(Π)，p1…Ps)=1，其中pi=1(mod 4)，qj(=)3mod 4t≥0為整數(shù)，那么Ω(σ(Π)2k)(=)0(mod 2)，這里Ω(σ(Π)/2k)為σ(Π)／2k所有素因子計(jì)數(shù)函數(shù)(包括相同的)。設(shè)n=Πq2βΠs I=1p2βi I為奇2k-完全數(shù)。如

5、果q是一個(gè)Fermat素?cái)?shù)，即形如q=22t+1的素?cái)?shù)，且滿足Πsi=1(2βi+1)≠0(rood q)，那么q2β|σ(Π).
　　 所得結(jié)論擴(kuò)展了Starni的結(jié)果(J.Number Theory 116：483-486,2006；J NumberTheory 37：366-369，1991)。
　　 3.奇多重完全數(shù)的分布。我們證明對(duì)固定的r≥1，滿足ω(n)≤r的奇本原k-完全數(shù)n至多為(k-1)4r3個(gè)。