隨機(jī)方程及其在金融中的應(yīng)用.pdf

1、隨機(jī)偏微分方程是最近二十多年來一個(gè)熱門的研究課題，并且已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于動(dòng)力系統(tǒng)，流體力學(xué)，材料科學(xué)，金融等領(lǐng)域。同時(shí)，隨機(jī)偏微分方程的理論研究也取得了很大的進(jìn)展?？傮w說來，隨機(jī)偏微分方程的研究方法分為兩類。一類是直接將其對(duì)應(yīng)的解作為時(shí)間與空間的函數(shù)，用相應(yīng)偏微分算子對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)來定義mild解，并研究解的性質(zhì)，如存在唯一性，距估計(jì)，密度存在性，大偏差等。該方法首先由Walsh于1985年給予系統(tǒng)介紹，并很快被應(yīng)用到各種形式的隨機(jī)偏微

2、分方程。另一種方法是將隨機(jī)偏微分方程看作一個(gè)無窮維的隨機(jī)微分方程來處理，用相應(yīng)的微分方程的驅(qū)動(dòng)算子生成的半群來定義mild解，并研究其性質(zhì)。本文將把這兩種方法分別應(yīng)用于三種形式的隨機(jī)偏微分方程來證明解的存在唯一性以及其他性質(zhì)。
　　 本文考慮了三種隨機(jī)偏微分方程：
　　 第一種是由分式噪聲驅(qū)動(dòng)的高階（四階）熱方程。通過對(duì)分式噪聲積分的定義，給出Walsh意義下的mild解，即基于高階熱方程對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)的解，然后，利用P

3、icard迭代的方法來證明該方程的解的存在唯一性。進(jìn)一步，由Kolmogorov連續(xù)性準(zhǔn)則以及對(duì)解的一些估計(jì)，我們得到該解的Holder連續(xù)階數(shù)。最后，我們首次提出了用分式噪聲的Malliavin分析來證明該噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)偏微分方程解的概率密度的存在性的方法，并得到了該高階熱方程的解的密度的存在性。
　　 第二種方程是由分式噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)廣義Burgers方程。該方程將一般的Burgers方程中關(guān)于空間變量的一階微分算子的系數(shù)由

4、二次函數(shù)推廣到三次函數(shù)。由于系數(shù)的非Lipchitz性，我們用一種局部化的方法求得局部解。進(jìn)而，通過局部解的p階距的一致估計(jì)，得到了一個(gè)唯一的全局解。而該方法同樣可推廣到一階微分算子的系數(shù)是三次以上冪函數(shù)的廣義Brugers方程．同樣，由分式噪聲的Malliavin分析，我們證明了解的概率密度的存在性，并得到該密度的矩估計(jì)。
　　 第三類方程是由無窮維布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的帶記憶的隨機(jī)偏微分方程。該帶隨機(jī)干擾項(xiàng)的方程由我們首次提出，其描

5、述了材料科學(xué)中，在隨機(jī)外力的干擾下，粒子的位置變化情況。由于方程中的記憶項(xiàng)，一般的用格林函數(shù)定義的mild解不再適用，取而代之的是用預(yù)解算子定義的mild解。我們首先通過局部化的方法得到一個(gè)唯一的局部mild解。接著引進(jìn)一個(gè)能量函數(shù)來對(duì)方程的解加以控制，并通過對(duì)能量函數(shù)的負(fù)指數(shù)衰減性來得到一個(gè)唯一全局解。
　　 另一方面，自從Black和Scholes[14]把幾何布朗運(yùn)動(dòng)引入金融領(lǐng)域以后，擴(kuò)散過程對(duì)金融工具的發(fā)展起了越來越重要

6、的作用，其中，比較有名的模型有CIR模型、Vasicek模型及其擴(kuò)展在隨機(jī)利率方面的應(yīng)用，而利率在現(xiàn)代金融中的作用至關(guān)重要，對(duì)利率的模擬、預(yù)測(cè)直接會(huì)影響到像債券、利率衍生品等的價(jià)格收益。在Vasicek模型的基礎(chǔ)上，我們首次提出了帶反射的跳擴(kuò)散過程來模擬利率過程，從而避免了Vasicek模型下“負(fù)利率”的出現(xiàn)。同時(shí)，帶跳的擴(kuò)散過程更能反映利率的政策性瞬間調(diào)整。在此模型下，我們求解了可違約的一類歐式期權(quán)和信用違約互換的定價(jià)，并用一類偏積分