2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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1、全文共分三章: 第一章主要討論了有關截斷和Tn(a)的隨機乘積的漸近性質(zhì).我們知道,一列獨立同分布的正平方可積的隨機變量,它們的乘積具有漸近對數(shù)正態(tài)的性質(zhì),這個事實由經(jīng)典的中心極限定理可以立即得到.目前,眾多學者主要研究部分和序列乘積的漸近對數(shù)正態(tài)性質(zhì).Arnold和Villasenor(1998)就Xn是均值為1的指數(shù)型隨機變量的特殊情況給予考慮,得到(n∏k=1Sk/k)1/√nd→e√2N,它的等價表示為∑nk=1logS

2、k-nlogn+n/√2nd→N.其中N是標準正態(tài)隨機變量. Rempala和Wsolowski在2002年得到了下述結果: 定理A設{Xn}是一列獨立同分布的正的平方可積的隨機變量,令μ=EX1>0,變異系數(shù)γ=σ/μ,其中σ2=Var(X1),記Sk=X1+…+Xk,k=1,2,…則當n→∞時(∏nk=1Sk/n!μn)1/γ√nd→e√2N, 他們在2005年又得到了進一步的結論:定理B設{Xk,i}i=1

3、,…k;k=1,2…是獨立同分布正的平方可積的隨機變量的三角組列,具有階大于2的絕對矩.μ=EX11>0,變異系數(shù)γ=σ/μ,其中σ2=Var(X1),令Sk=Xk,1+…+Xk,k,k=1,2,…則當n→∞時(nγ2/2∏nk=1Sk/n!μn)1/γ√lognd→eN. 在第一章當中,主要是在隨機變量序列具有中尾分布的情況下,得到了截斷和Tn(a)的隨機乘積的漸近正態(tài)性質(zhì):記Mn=max1<k<n{Xk},Sn(a)=∑nj

4、=1XjI{Mn-a<Xj≤Mn},Tn(a)=Sn-Sn(a),n=1,2,…,其中a為某一大于零的常數(shù). 定理1.1設{Xn}是獨立同分布正的平方可積的隨機變量列,它們具有中尾分布.令μ=EX1>0,變異系數(shù)γ=σ/μ,其中σ2=Var(X1)>0,τn是整值隨機變量列,滿足τn/np→ξ,ξ是整值隨機變量.則當n→∞有(∏τnk=1Tk/(a)/μk)1/γ√τnd→e√2N. 第二章主要討論了NA隨機變量序列的完

5、全收斂性.得到了:定理2.1設{Xn,n≥1}是同分布NA序列,記Sn=∑ni=1Xi,則對任意的ε>0∞∑n=2P(max1≤k≤n|Sn-Xk|≥nε)<∞,的充分必要條件是EX1=0,EX21<∞.而對于其子列的完全收斂性,我們得到了下述結果設{nk,k≥1}是正整數(shù)列的嚴格遞增的子列,記ψ(x)=Card{k;nk≤x},x>0,ψ(0)=0.M(x)=∑[x]k=1nk,x>0. 定理2.2設{Xn,n≥1}是一列同分

6、布的NA序列,記Snk=∑nki=1Xi,則對任意的ε>0∞∑k=1P(max1<i≤nk|Si|≥nkε)<∞等價于EM(ψ|X1|)<∞. 在第三章當中,主要討論了NA序列部分和乘積的漸近正態(tài)性,在得到主要結果之前,得到了本身也很重要的關于NA序列的兩個結論: 引理3.1設{Xn}是平穩(wěn)的NA序列,且它們的二階矩存在,則有∑∞j=2|Cov(X1,Xj)|<∞成立. 引理3.2令σ2n=E(1/γn∑k=1(

7、Sk/μk-1))2,則當n→∞時σ2n/2n→σ20.在此基礎上,對于NA序列的部分和乘積,我們得到了: 定理3.1設{Xn}是一列平穩(wěn)的NA序列,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞,變異系數(shù)記為γ=σ/μ,則有1/γ√2nσ0n∑k=1(Sk/μk-1)d→N,其中0<σ02=1+2∞∑j=2Cov(X1-μ/σ,Xj-μ/σ).定理3.2設{Xn}是一列平穩(wěn)的NA序列,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞,變異系數(shù)記為γ

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