卵形線的曲率積分不等式與多邊形的等周虧格的估計(jì).pdf

1、關(guān)于平面閉曲線的一個著名的問題是古典的等周問題：平面上面積固定的區(qū)域中,圓盤的周長最小.即平面上固定周長的簡單閉曲線中，圓所圍成的面積最大，也即 (等周不等式)平面簡單閉曲線r所圍成的區(qū)域的面積A,周長L滿足：當(dāng)且僅當(dāng)r為圓時等號成立. 通常等周不等式都不涉及曲線的曲率,Gage給出了一個涉及平面凸曲線曲率平方積分的不等式.即：若平面閉凸曲線的相對曲率為k,周長L,所圍面積為A,則有當(dāng)且僅當(dāng)Γ為圓時等號成立。
　　 關(guān)于平面上的

2、Ros不等式是：設(shè)平面卵形線r的曲率為k,周長與其所圍成的面積分別為L,A則：當(dāng)且僅當(dāng)r為圓時等號成立.
　　 本文第一部分主要研究平面上的卵形曲線的曲率積分不等式.
　　 首先,推導(dǎo)出一個函數(shù)的積分不等式并據(jù)此函數(shù)積分不等式得到了平面上Ros不等式的加強(qiáng)形式;
　　 定理3.2.1設(shè)f為以2π為周期且具有二階連續(xù)可微的函數(shù),若f02πfdt=0,則等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b使得f(t)=a cost+bsi

3、n t.
　　 定理3.2.2設(shè)平面卵形線Γ的曲率為k,周長與其所圍成的面積分別為L,A滿足不等式：當(dāng)且僅當(dāng)Γ為圓時等號成立. 然后,用凸集外平行集的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性給出了Gage等周不等式與曲率的熵不等式一種簡化證明,并由此得到了一個新的有關(guān)曲率積分的等周不等式；
　　 定理3.4.3設(shè)平面卵形線Γ的周長為L,曲率為k,則有當(dāng)且僅當(dāng)Γ為圓時等號成立. 再次,由Jensen不等式與卵形線的支持函數(shù)得到了一系列弱的曲率積

4、分不等式；
　　 定理3.5.2設(shè)平面卵形線Γ的周長為L,曲率為k,f(x)為定義在(0,+∞)上的嚴(yán)格凸函數(shù),則有當(dāng)且僅當(dāng)Γ為圓時等號成立. 最后,本文還對卵形線的曲率序列積分做了進(jìn)一步的討論.
　　 定理3.6.1設(shè)平面上卵形線r的周長為L,曲率為則以上每一個等號成立的充要條件是Γ為圓.
　　 定理3.6.2設(shè)平面卵形線Γ的周長為L,曲率為則以上每一個等號成立的充要條件是Γ為圓. 定理3.6.3設(shè)平面卵形線Γ

5、的周長為L,曲率為則對于任意滿足1≤l≤m≤n的整數(shù)l,m,n都有以上每一個等號成立的充要條件是r為圓. 事實(shí)上,比經(jīng)典的等周問題更基礎(chǔ)的一個問題是關(guān)于多邊形的等周問題.對于平面多邊形,也有相應(yīng)的離散型的等周不等式：(多邊形的等周不等式)設(shè)Γn為歐氏平面R2中面積為An,周長為Ln的n邊形,則有不等式：等號成立的充分必要條件是r。為正n邊形. 一般地,△(Γ)=L2-4πA稱r所圍區(qū)域的等周虧格.等周虧格用來度量周長為L,面積為A的區(qū)域

6、與半徑為L/2π圓的差別程度.類似地,我們可以定義多邊形Γn的等周虧格為△(Γn)=L2-4cnA,用來度量Γn與正n邊形的差別程度.
　　 本文的第二部分主要討論平面多邊形的等周虧格上下界的估計(jì).首先,根據(jù)X.M.Zhang的方法得到了兩個平面多邊形的Bonnesen型不等式：
　　 定理4.2.5設(shè)Γn為歐氏平面R2中面積為An,周長為Ln,內(nèi)接于半徑為R的圓的n邊形,是半徑為R的圓的內(nèi)接正多邊形的面積,則有不等式：