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文檔簡介
1、對于任意有限群G的整群環(huán)ZG，記ZG的n-次增廣理想△”(G)為由(g<,1>-1)…(g<,1>-1)，g<,1>...，g<,n>∈G\{1}，所生成的自由Abel群。在整群環(huán)理論中△<'n>(G)及由△<'n>(G)所確定的增廣商群Q<,n>(G)=△<'n>(c)/A<'n+1>(G)的結構問題是一個非常重要的研究課題，但是這方面已有的研究成果多是針對G為有限Abel群所做出的，而對于非Abel群情形相關的結論還不多見，故本文著
2、重對幾類非Abel群情形進行了討論。本文首先在第一章中簡要介紹了整群環(huán)之增廣理想及其增廣商群的研究意義及現狀，給出了論文將要用到的基本知識和本文研究的主要內容。 由于本文著重研究非Abel群情形，而二面體群又在非Abel群類中占有重要的地位，因此對二面體群之增廣理想及其增廣商群結構的討論貫穿本文始末。在第二章中我們首先對二面體群按照其階被2的最大方冪整除進行了分類，將其表示為D<,2'k>(t≥0，k奇)。接下來分別給出了當t=
3、0和t=1時，△<'n>(D<,2'k>)及Q<,n>(D<,2'k>)作為自由AbeI群的基底，并且還給出了當t≥1時△<'n>(D<,2'k>)和△<'n+1>(D<,2'k>)之間的一個遞推關系，在此基礎上我們最后還證明了增廣商群Q<'n>(D<,2'k>)作為基本2-群的秩不超過2t+1。 Parmenter在[46]中歸納地給出了當G為基本P-群時△<' n>(G)的一組基底，我們在第三章中將這一結論推廣到了G是若干個
4、基本P-群(p<,i>互不相同)的直和時的情形，得到了此時A”(G)的一組基底，并且在本章中我們還確定了pg階(P，g素)Abel或非Abel群之增廣理想及其增廣商群的結構。 在第四章的§4.2中我們首先討論了一類具有完全正規(guī)子群H的有限群G之增廣理想及其增廣商群的結構問題，分別給出了當商群G/H為循環(huán)群和基本p-群時△<'n>(G)的一組基底。接下來對商群G/H為任意群的情形我們還證明了Q<,n>(G)≡Q<,n>(G/
5、H)，這一結果的重要性在于今后可將對任意非Abel群之增廣商群結構問題的討論轉化為可解群的相關問題來討論，作為該結論的應用我們還完全解決了另外一類重要的非Abel群一對稱群S<,m>之增廣理想△<'n>(S<,m>)及其增廣商群Q<,n>(s<,m>)的結構問題，證明了Q<,n>(s<,m>)≡Z<,2>。在§4.3中對于任意的有限非Abel群G，我們找到了Q<,n>(G)的一組與G的Sylow P<,1>-子群S<,p>相關的生成元將
6、Q<,n>(G)分解為Q<,n>(G)=Q<,n>(S<,p>)，這罩Q<,n>(S<,p>)=△<'n>(S<,p>)/(△<'n>(S<,p>)∩△<'n+1>(G))并且s=|{P<,i>|P<,i>為|G|的素因子}|。由于有限冪零群是它的Sylow p-子群的直和，這時其增廣商群等于各Sylow p-子群之增廣商群的直和，因此上述結果可作為我們將有限可解群的情形進一步向冪零群情形歸結的努力。最后我們還得到了Q<,n>(S<,p
7、i>)=0的一個充要條件，并且應用這一條件進一步對二面體群D<'2'k>證明了Q<,n>(D<,2'k>≡Q<,n>(D<,2>)，這一結論表明我們不但對Q<,n>(D<,2'k>)的結構按照二面體群(D<,2;k>)的階進行了等價分類，并且還可以將一般二面體群之增廣商群的結構問題轉化為階為2的某一個方冪的二面體群的問題來解決。對于一類具有N<,p>-序列的有限p-群G，G．Losey和N．Losey在[65]中從理論上給出了一種計算Q
8、<,n>(G)做為基本p-群的秩的方法。 我們在第五章中應用這一方法進一步對二面體群確定了當，=2時Q<,n>(D<,2'k>)的結構，并且還重新證明了Passi在[67]中給出的一個關于有限Abel基本p-群之增廣商群的著名結論，本文的證明大大簡化了Passi對這一結果的證明。接著我們對文獻[65]中一個作者未給出證明的定理進行了詳細的證明，在本章的最后還計算了一類下中心列為N<,p>一序列的非Abel有限P-群之增廣商群的秩
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