第二類華羅庚域的若干問題研究.pdf

1、本文的研究屬于多復變函數(shù)論中有界擬凸域上的復幾何分析的范疇．我們所研究的域是華羅庚域，主要討論Bcrgman核函數(shù)、Kaihler-Einstcin度量的顯表達式、經典不變度量的等價以及Bergman核函數(shù)的零點等四個方面的問題． 第一章 Kahler-Einstein 度量復流形上 Kahler-Einstein 度量存在性的證明由 Yau 等人在20世紀70年代末給出．設M是一個緊致的Kahler流形，丘成桐證明了當?shù)谝魂愵?/p>

2、C<,1>(M)=0或C<,1>(M)<0時，每一個 Kahler類有一個唯一的Kahler-Einstein度量，當C<,1>(M)>0時，存在性一般是不成立的[36，37]．隨后，鄭紹遠和丘成桐在1980年又證明了一大類非緊致流形上Kahler-Einstein度量的存在性．特別的，鄭紹遠和丘成桐證明了任何一個具有C<'2>邊界的有界擬凸域D容許一個完備的Kahler-Einstein度量[38]．1983年，莫毅明和丘成桐又推廣了

3、這一結果，他們證明了C<'n>中的任意有界擬凸域都有一個完備的Kahler-Einstein 度量，但是并沒有給出度量的顯表達式[39]．一直以來，人們所知道的僅是一些齊性流形例子，對于非齊性的例子知之甚少．1986年，J．S．Bland對一類Rcinhardt域{｜z｜+｜w｜<'2p><1}給出了其Kahler-Einstein度量生成函數(shù)的隱函數(shù)表達式[42]．2001年，殷慰萍、王安等人計算出cartan-Hartogs域在纖維

4、維數(shù)為1(即w∈C)的完備的Kahler-Einstein度量的顯表達式[29，30，31]． 我們這一章中首先給出第二類Cartan-Hartogs域Y<,11>(N，p；K)在纖維維數(shù)N>1，參數(shù)K=時的完備的Kahler-Einstcin度量的顯式表達，然后計算此度量的全純截曲率并估計出其負的上下確界．根據(jù)M．Hcins的結果[106]，我們給出了 Kahler-Einstcin 度量與Kobayashi度量的比較定理．最

5、后證明在K=時，Y<,11>(N，p；K)的Kahler-Einstcin度量與Bcrgman度量等價． 第二類Cartan-Hartogs域Y<,11>，(N，p；K)定義如下：Y<,11>(N，p：K)={w∈C<'N>．Z∈R<,II>(p)：‖w‖<'2>0}這里R<11>(p)表示華羅庚意義下的第二類Cartan域，dct表示行列式．Z表示矩陣Z的共軛，‖w‖<'2>=∑<'N><,j=1>

6、｜w<,j>｜<'2>，p∈N． 眾所周知，Bergman度量(β)、carathèodory度量(c)、Kobayashi度量(κ)和Kihler-Einstein度量(ε)是復分析中四類重要的雙全純不變量．在研究域的邊界的幾何和雙全純映照的光滑延拓到邊界等問題中，它們扮演著非常重要的角色．而它們之間的等價問題則對理解域的幾何和拓撲性質有很大的幫助，因此引起許多數(shù)學家的重視．例如1976年，S．Kobayashi給出所有流形上

7、都有C≤κ成立[15]．1978年，K．T．Hahn給出關系c≤2β[19]．1982年，L．Lempcrt證明C<'n>中的所有凸域上都有C=κ成立[33]．2000年，殷慰萍、王安等人證明關系β≤C*κ對于一些Reinhardt域成立[22，23，24，25，26，27]，其中C<'*>是一正常數(shù)．最近，劉克峰、孫曉峰和丘成桐研究了不變度量的等價問題．他們證明了上述四種不變度量在Riemann曲面的模空間和Teichmiiller空

8、間上相互等價，從而解決了丘成桐早期關于ε與β等價的猜想[61]． 我們在這一章中主要證明了第二類Cartan-Hartogs域Y<,Ⅱ>(r，p；K)上的Khler-Einstein度量與Bergman度量等價對于任意的K>0,r∈N成立．通過引入一個與Bergman度量等價的過渡度量，我們估計出它的Ricci曲率和全純截曲率具有負的上下界．然后應用丘成桐在流形上推廣的Schwarz引理證明新的過渡度量與Kihler-Einst

9、ein度量等價，從而得到ε與β的等價．作為應用，我們給出了第二類Cartan-Hartogs域Y<,Ⅱ>(r,p;K)上β、C、κ、ε等價的兩個充分條件或者． 第三章華結構的Bergman核函數(shù)C<'n>中有界域的Bergman核函數(shù)的研究一直都是多復變函數(shù)理論的一個重要方面Bergman核函數(shù)的概念是波蘭著名數(shù)學家s．Bergman在1921年研究復平面上的正交展開時引進的：它恰好是平方可積函數(shù)空間到平方可積的全純函數(shù)子空間的

10、正交射影的再生核．1933年，Bcrgroan又把這一理論推廣到多變量的情形．眾所周知，C<'n>中的有界域都存在Bcrgman核函數(shù)．然而研究Bergman核函數(shù)，比如如它的顯表達式、零點問題以及邊界行為等等并非易事．這是因為除了齊性域和少數(shù)的Rcihardt域之外，很少有區(qū)域上的Bergman核可以顯式給出．通常，構造一些可以求出Bcrgman核函數(shù)的顯表達的域，是比較困難的．因此，一些數(shù)學家認為，凡是Bergman核函數(shù)能顯式表示

11、的域都是很好的域和值得研究的域． 2003年，殷慰萍引進了一些新的類型的可以求出Bergman核函數(shù)的顯表達式的域．我們稱之為華結構．與計算華羅庚域的Bcrgman核函數(shù)的方法相似，我們首先給出其全純自同構群，其中的元素F(w,z)將點(w,z)映為點(w<'*>，O)．由于Bcrgman核函數(shù)在全純自同構群下的變換公式．K((w，z)；(w,z)=|dct(J<,F>)|<'2>k((w<'*>,0)；(w<'*>,0))，所

12、以問題變?yōu)橹豁氂嬎鉑((w<'*>,0)；(w<'*>,0))．我們定義介于圓型域與Rcinhardt域之間的Semi-Reinhardt域的概念，并且求出了Semi．Reinhardt域的完備規(guī)范正交系.華結構是Semi-Reinhardt域，所以可將K((w<'*>,0)；(w<'*>,0))表示為 (|w<'*><,1>|,|w<'*><,2>,…，多重無窮級數(shù)，如果能求出這個級數(shù)的和，就得到了華結構的Bergman核函數(shù)的顯表達

13、式．第二類華結構的定義如下：其中||w(j)||<'2>=|j1|<'2>+…+|w<,j>N<,j>|<'2>，j=1，…r.R<,Ⅱ>表示華羅庚意義下的第二類典型域．Z表示z的共軛，det表示方陣的行列式．N<,1>…，N<,r> ∈ N．我們得到如下的結果： 陸啟鏗猜想主要是研究何種類型的域的 Bergman 核函數(shù)無零點的問題．一個區(qū)域D上的Bergman核的零點使得在D上不能定義一個整體的所謂Bergman表示坐標，就

14、是陸啟鏗提上述問題的動機．1969年，波蘭數(shù)學家 M．Skwarczynski[99]第一個把陸啟鏗提出的問題稱為陸啟鏗猜想，并且把Bcrgman核函數(shù)沒有零點的域稱為陸啟鏗域．通常我們知道球和多圓柱都是陸啟鏗域，但是要判斷任意一有界域的 Bergman 核的零點相當困難．在很長一段時間，人們猜想所有強擬凸域均為陸啟鏗域．直到1985年，H．P．Boas給出一個反例，域Ω<,H>={(z<,1>，z<,2>)∈C<'2>∶｜z<,2>｜

15、}的Bergman核函數(shù)在原點有零點[76]．由于它是擬凸的，因而可從內部被一列遞增，強擬凸的完全Rcinhardt域逼近．由Ramadanov定理(一列非減區(qū)域上的Bergman核局部一致地收斂為這些區(qū)域的并集上的Bergman核)和Hurwitz定理，我們立刻得到反例．在此之后，幾乎每年都會有一個關于Bergman核函數(shù)有零點的例子，即所謂的陸啟鏗猜想的反例． 我們主要以第一類Cartan-Hartogs 域為例Y<,1>(

16、N，m，n；K)={W ∈C<'N>，Z∈R<,I>(m，n)：｜W｜<'2K>0}，從正反兩方面得到以下的結果： ·m=n=1時，Y<,I>(N，1，1；K)是陸啟鏗域； ·m=1，n=2時，-Y<,I>(1，1，2；K)是陸啟鏗域當且僅當K≥； -Y<,I>(2，1，2；K)是陸啟鏗域當且僅當K≥； -當N≥3，對于任意的K>0，域Y<,I>(N，1，2；K)總是陸啟鏗域．