球定理和馬蹄不等式.pdf

1、球定理一直是整體微分幾何中的核心問題，并且由它推動了比較幾何中大量問題的發(fā)展，產(chǎn)生了許多新的思想和方法，已經(jīng)構(gòu)成了微分幾何中最強(qiáng)大的分支之一. U.Abresch和W.T.Meyer于1996年在美國《微分幾何雜志》(JournalofDifferentialGeometry)上發(fā)表了“Aspheretheoremwithapinchingconstantbelow1/4”.在Abresch和Meyer的這篇文章中的主要結(jié)果是下

2、面兩個定理： 定理A存在常數(shù)δodd∈(0，1/4)使得任意奇數(shù)維，緊，單連通，有δodd-pinched截面曲率的黎曼流形Mn和球Sn同胚. 定理B存在常數(shù)δev∈(0，1/4)使得任意偶數(shù)維，緊，單連通，有δev-pinched截面曲率的黎曼流形Mn的上同調(diào)環(huán)H*(Mn；R)，R∈{Q，Z2}，和秩為l的對稱空間Sn，CPn/2，HPn/4，或CaP2的上同調(diào)環(huán)同構(gòu)；或H*(Mn；R)是由階為8的元素生成的截斷多項式

3、環(huán). 證明這兩個定理的關(guān)鍵是利用Berger于1962年建立的“馬蹄猜想”，這個猜想到目前仍是一個開放性的問題. 馬蹄不等式存在常數(shù)δ∈(0，1/4)使得對任意δ≤KM≤1，π≤injMn≤diamMn≤π/2()δ的完備黎曼流形Mn有：對任意p0∈Mn和任意v∈Sn-1()TP0M，對徑點(diǎn)expP0(-πv)和expP0(πv)的距離小于π：distMn(expP0(-πv),expP0(πv))＜π. 本文是