Dyck Paths with Restriction.pdf

1、南開大學碩士學位論文Dyck Paths with Restriction姓名：孫怡東申請學位級別：碩士專業(yè)：應用數(shù)學指導教師：陳永川20030401§I I n t r o d u c t i o n§1 I n t r o d u c t i o nA D y c k p a t hi sal a t t i c ep a t hi nt h ef i r s tq u a d r a n t ，w h i c

2、h b e g i n sa tt h eo r i g i n ( 0 ，0 ) ，e n d s札( 2 n ，0 ) a n dc o n s i s t so f s t e p s ( 1 ，1 ) ( c a l l e dr i s e s ) a n d ( 1 ，- 1 ) ( c u l l e df a i l s ) W e w i l lr e f e r t ona st h es e m i l e n g

3、 t ho ft h ep a t h A C a n t a l a np a t hi s al a t t i c ep a t hi nt h ef i r s tq u a d r a n t ，w h i c hb e g i n sa tt h eo r i g i n ( 0 ，o ) ，e n d sa t ( n ，n ) a n dc o n s i s t so fs t e p s ( 0 ，1 ) ( c a

4、 l l e dn o r t h s ) a n d ( 1 ，0 )( c a l l e de a s t s ) a n dn e v e rb e n e a t ht h el i n ev = z ．F o r o u rc o n v e n i e n c e ，w ed e n o t eb y 口na n dC nt h es e to f a l lD y c kp a t h s o fs m i l e n

5、g t hn a n d t h es e to f a l lC a n t a l a n p a t h s a sd e s c r i b e d ，w ek n o w t h a tt h et w o c o n c e p t sa r ei nf a c te q u i v a l e n t ．I ti sw e l lk n o w n t h a tt h ec a r d i n a l i t y o f

6、t h et w os e t si st h en t hC a t a l a n n u m b e rG = 者' ／2 ( ：) 十l ＼禮，w h i c hp r o v i d e sa c o m p l e t ea n s w e rt ot h ep r o b l e m o f c o u n t i n g c e r t a i np r o p e r t i e so f m o r e t

7、h a n6 6d i f f e r e n tc o m b i n a t o r i a ls t r u c t u r e s [ 1 8 ] ．W e c a ne n c o d e e a c hr i s eb yt h el e t t e r “( f o ru p ) a n d e a c hf a l lb yt h el e t t e rd ( f o rd o w n ) ，o b t a i n i

8、 n gt h ee n c o d i n go f D y c kp a t h s b yas o —c a l l e dD y c kw o r d ．F o re x a m p l e ．t h eD y c kp a t hi n F i g ．1 i s e n c o d e db yt h eD y c kw o r du u d u d d u d ．F i g u r e lA s t e po faD y c

9、 kp a t hh a v i n ge x t r e m i t i e so r d i n a t e sk 一1a n d ☆( k ≥1 ) i s s a i dt ob e a tl e v e lk A p o i n to faD y c k p a t hw i t ho r d i n a t eki s s a i dt ob e a t l e v e l ％．I naD y c kp a t hap e

10、a ki s a no c c u r r e n c eo fu d ．a(chǎn)v a l l e y i s a no c c u r r e n c eo fd n ．a(chǎn) n dad o u b l e r i s ei s a no c c u r r e n c eo fu u ．B yt h el e v e l f o r h e i g h t ) o f ap e a ko ro fav a l l e yo r o fad

11、 o u b l e r i s ew e g l e a nt h el e v e lo ft h ei n t e r s e c t i o np o i n to f i t st w os t e p s ．B yar e t u r ns t e pw em e a n ad s t e pa t l e v e l 1 ．D y c kp a t ht h a th a v ee x a c t l yo n er e

12、t u r ns t e pa r es a i dt ob ep r i m i t i v e ．A na s c e n t ( d e s c e n t ) o f aD y c kp a t hi s am a x i m a ls t r i n go fu ’s ( d ' s ) a n di t s l e n g t hi s t h en u m b e r o fs t e p si ni t ．Ar