耗散動力學系統(tǒng)的廣義哈密頓形式及其應(yīng)用.pdf

1、經(jīng)典力學中所研究大部分系統(tǒng)不是保守系統(tǒng),所以很難將這類系統(tǒng)表示為經(jīng)典的哈密頓力學形式(偶數(shù)維)以及與此等效的拉格朗日力學形式或最小作用量變分原理形式。由于這幾種數(shù)學形式是數(shù)值計算方法中辛幾何算法的的基礎(chǔ)和現(xiàn)代物理學的基礎(chǔ),所以極大地限制了辛幾何算法在耗散系統(tǒng)的數(shù)值模擬領(lǐng)域的應(yīng)用以及耗散系統(tǒng)的量子化等理論物理領(lǐng)域中的應(yīng)用。耗散動力學系統(tǒng)長時間跟蹤問題是當前非線性力學研究領(lǐng)域的難點之一。
　　 對于低維耗散動力學系統(tǒng),可以用各種半解

2、析方法(小參數(shù)法,攝動法)求解。即便如此,對于長時間跟蹤,也存在所謂久期項問題(由方法本身的誤差累積導致)。對于高維耗散動力系統(tǒng),直接應(yīng)用解析方法顯然是十分困難的。因此多采用數(shù)值方法求解該類問題。但是不同的數(shù)值方法求解的結(jié)果可能會有較大偏差,甚至相差甚遠,而且大部分問題是缺乏判斷其算法偏差量的參考標準的。所以為這類問題挑選或者創(chuàng)立公認可行的數(shù)值積分方法,成為一個問題。我國著名學者馮康先生提出并研究了在保守系統(tǒng)領(lǐng)域的這類問題,給出了辛幾何

3、算法的思想并系統(tǒng)的表述構(gòu)造辛差分格式的一般方法,指出了原有差分格式中的適于長時間跟蹤的格式。鐘萬勰先生發(fā)展了這種思想,進一步提出了時間有限元和精細積分的的思想,并對耗散動力學系統(tǒng)引入辛算法作了嘗試。本文的最初的目的是在轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性分析等耗散動力學問題中使用辛數(shù)值積分方法(或者說利用辛幾何算法的思想找到合適的算法)。為達到此目的研究了耗散系統(tǒng)和保守系統(tǒng)的一種特殊關(guān)系,在此基礎(chǔ)上用相應(yīng)的保守系統(tǒng)的數(shù)值解替代原耗散系統(tǒng),即將辛數(shù)值方法應(yīng)用求解相

4、應(yīng)的保守系統(tǒng)來得到所要研究系統(tǒng)的數(shù)值解。在這種關(guān)系的基礎(chǔ)上,借鑒流體力學的廣義哈密頓方程和最小作用量變分原理,將耗散系統(tǒng)表示成一種無窮維廣義哈密頓系統(tǒng),相應(yīng)地帶來一種新型的最小作用量變分原理?？梢詫ⅠT康文獻中廣義哈密頓系統(tǒng)辛算法的思想應(yīng)用于求解這個特殊的無窮維哈密頓系統(tǒng)。上述最小作用量變分原理,可以和路徑積分量子力學形式結(jié)合,應(yīng)用于量子力學領(lǐng)域。以上工作的主要創(chuàng)新點可以歸納如下:
　　 1.發(fā)現(xiàn)了耗散力學系統(tǒng)和某一保守力學系統(tǒng)相

5、曲線重合原理:對于一個耗散力學系統(tǒng)和它一個初始條件,對應(yīng)于不同時間區(qū)段一定存在一族保守力學系統(tǒng),這族保守力學系統(tǒng)和耗散力學系統(tǒng)有且僅有一條共同的相曲線;這族保守系統(tǒng)的哈密頓量就是前述耗散力學系統(tǒng)的總能。對于非保守的振動問題來說,這個保守系統(tǒng)就是一個非線性保守力學系統(tǒng),其中的保守力在某一初始條件下和非保守振子系統(tǒng)的阻尼力和恢復力之和相等,那么其在相空間運動軌跡必然相同。在此基礎(chǔ)上,引入了無窮維廣義哈密頓格式來表示耗散力學系統(tǒng),在其中定義了

6、一個新的哈密頓量,并且引入了新的泊松括號,這個格式類似于表示等離子問題和理想流體的廣義哈密頓格式。在這里把耗散力學系統(tǒng)看作是相空間內(nèi)一種特殊流體(內(nèi)部無壓力),初始條件看作是物質(zhì)坐標,上述軌跡重合的保守力學系統(tǒng)的哈密頓量看作是哈密頓量密度。對應(yīng)于經(jīng)典的哈密頓交分原理,這個廣義哈密頓格式等效于一個新的變分原理。在這個變分原理中作用量為相空間的某一區(qū)域中所有微元的作用量之和。
　　 2.從創(chuàng)新點1出發(fā)本文研究了有阻尼振動問題的中心差

7、分格式,發(fā)現(xiàn)中心差分格式對于對應(yīng)于原系統(tǒng)的保守非線性保守力學系統(tǒng)族不僅是保辛的而且是?？偰艿?。據(jù)此對現(xiàn)有顯式辛數(shù)值積分方法加以改造,就得到了有阻尼振動問題的一類顯式辛數(shù)值積分方法。并且在這個廣義哈密頓格式的基礎(chǔ)上,利用馮康的關(guān)于廣義哈密頓的辛數(shù)值積分構(gòu)造的方法,也得到了上述顯式辛數(shù)值積分方法。
　　 3.利用新交分原理代替經(jīng)典的變分原理,修改Feynman的路徑積分原理,得到新的有阻尼粒子的量子傳播子公式。
　　 目前應(yīng)