2022年數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)打印

1、等差數(shù)列前 等差數(shù)列前n項(xiàng)和日勺最值問題 項(xiàng)和日勺最值問題:若等差數(shù)列｛a〃｝^首項(xiàng)ai > 0,公差d 0,則前n項(xiàng)和S.有最小值(ii)若已知Sj pn 2 + qn，則當(dāng)n取最接近-2-的非零自然數(shù)時(shí)S.最小;數(shù)列通項(xiàng)的求法 數(shù)列通項(xiàng)的求法:⑴公式法 公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。⑵已知S (即a + a +??? ??? + a = f (n))求a ,用作差法 用作差法：a ='如'(

2、 '( 2)已知a「a；????an = f (n)求a^,用作商法： 用作商法：a =〈 f (n)⑶已知條件中既有Sn尚有an，有時(shí)先求Sn，再求an ；有時(shí)也可直接求an。⑷若 a — a = f (n)求 a 用累加法 用累加法：a = (a — a ) + (a — a ) + ------ ------+ (a — a )n+1 n n n n n —1 n—1 n—2 2 1+a1 (n > 2)。⑸已知 ％

3、1 = f (n)求 a ,用累乘法 用累乘法：a = ~^~ - %1 .....% - a (n > 2)。a n n a . a a 1⑹已知遞推關(guān)系求a ,用構(gòu)造法 用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。n特別地 特別地，(1) (1)形如 形如。廣kan—1 + b、。廣ka^、+ b ( k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù) 法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列 等比數(shù)列后，再求a.；形如 形如。廣kan「k的遞推數(shù)列都可以除以k

4、n得到一種 等差數(shù)列后，再求an。1、(i)若已知通項(xiàng)a，則S最大O 0 a 0 ；n+1[f ⑴,(n = 1)〔f (n- 1)Xn > 2) °— Li 1 、_4n - 3 廠氣 + 2(1 -和)=4n-2★ 闡明 只要和f (1) +f (2) +???+£ (n-1)是可求日勺，就可以由an+jan+f (n)以n=1,2,???，(n-1 )代入，可得n-1個(gè)等式累加而求a”。(3) (3)

5、 遞推式為 遞推式為an+1 n+1=pa =pan+q(p, +q(p, q為常數(shù) 為常數(shù))例 4、｛a ｝中，匕=1,對(duì)于 n>1(n£N)有 a = 3a 】+ 2，求 a .解法一：由已知遞推式得a =3a +2， a =3a +2。兩式相減：a -a =3 (a -a )n+1 n n n-1 n+1 n n n-1因此數(shù)列｛an+「an｝是公比為3勺等比數(shù)列，其首項(xiàng)為氣-aj (3X1+2) -1=4」.a

6、-a =4 , 3n-1 *.,a =3a +2 3a +2-a =4 , 3n-1 即 a =2 , 3n-1-1n+1 n n+1 n n n n解法二：上法得｛a -a｝是公比為3勺等比數(shù)列，于是有： a -a =4， a -a =4, 3， a-a =4?32，…，a -an+1 n 2 1 3 2 4 3 n n-=4 ? 3n-2，1a _a _4『1十弓十親十…十號(hào)_4 (1-尹―把n-1個(gè)等式累加得：褊 精一 精一411

7、 411號(hào)號(hào)十 匕 J 一 [_3 ..?an=2?3n-1-1(4) (4) 遞推式為 遞推式為an+1 n+1=p =p an+q +q n (p (p，q為常數(shù) 為常數(shù))【例 【例5】己知佰」中， 】己知佰」中，a1=|,褊刊二： 褊刊二：.+ .+求日薩 求日薩略解在瞄 略解在瞄]二盤十的兩邊乘以嚴(yán)得 二盤十的兩邊乘以嚴(yán)得2產(chǎn) 1 f+i = J 0”%)+1，令、 ，令、=2n2則小 則小=：媒 ：媒+1 +1，于是可得 ，于

8、是可得b -b = 2(b - b )由上題勺解法，得：b = 3 -2(2)n .?? a = b = 3(!)n - 2(j)nn+1 n 3 n n-1 n 3 n 2 n 2 3★說明對(duì)于遞推式瞄 說明對(duì)于遞推式瞄H二g +十，可兩邊除以 十，可兩邊除以qT，得奇 ，得奇| 二-? -?罷口，引輔助數(shù)列化上〔％ 罷口，引輔助數(shù)列化上〔％=生), ),得隊(duì) 得隊(duì)=巳品口后用 巳品口后用 q q q q q(5) (5)遞推式為 遞