中科大《優(yōu)化設(shè)計(jì)》課程大作業(yè)之無約束優(yōu)化實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告 無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告力學(xué)系 力學(xué)系 型號(hào) 型號(hào)：聯(lián)想 y470CPU：i5-2450M內(nèi)存 內(nèi)存：2GB系統(tǒng) 系統(tǒng)：win7-64 位如下是三個(gè)目標(biāo)函數(shù)（包括自定義函數(shù)）以及初值和精度選?。?.minf(x)=x1^2+2*x2^2-2*x1*x2-4*x1初值 x0=[1,1]’；精度為：0.12.minf(x, y)=x^4-2*x*x*y-2*x*y+x^2+2*y*y+4.5*x-4*y+4初值為（-2

2、.5,4.25）；精度為 0.013.minf(x)=x1^2+x2^2+x3^2初值為（3,2,1）；精度為 0.01如下是運(yùn)算結(jié)果： 如下是運(yùn)算結(jié)果：目標(biāo)函數(shù) 無約束方法 一維搜索 所需時(shí)間 迭代次數(shù) 極值點(diǎn) 極值黃金分割法 5.81 8 （3.9,1.9） -8.0牛頓法 2.61 8 （3.9,1.9） -8.0 最速下降法不精確法 2.96 8 （3.9,1.9） -8.0黃金分割法 1.66 1 （4.0,2.0） -8.0

3、牛頓法 1.02 1 （4.0,2.0） -8.0 阻尼牛頓法不精確法 0.76 1 （4.0,2.0） -8.0黃金分割法 14.65 24 （3.9,2.0） -8.0牛頓法 7.91 24 （4.0,2.0） -8.0 共軛梯度法不精確法 11.28 27 （3.9,2.0） -8.0黃金分割法 9.53 2 （4.0,2.0） -8.0牛頓法 2.86 2 （4.0,2.0） -8.0 鮑維爾法不精確法 -- -- -- --黃

4、金分割法 8.04 2 （4.0,2.0） -8.0牛頓法 1.24 2 （4.0,2.0） -8.0 變尺度法不精確法 1.35 3 （4.0,2.0） -8.01單形替換法 無 0.02 9 （4.1,2.2） -8.0總結(jié)及比較： 總結(jié)及比較：根據(jù)上面三個(gè)函數(shù)的表格可以看出：首先，從迭代時(shí)間來看，三種一維搜索方法中黃金分割法所用時(shí)間最久，牛頓法和不精確法所用時(shí)間較少，這兩種方法相比較而言牛頓法所用時(shí)間更少一些。而六種無約束方法中，

5、由于單形替代法不需要使用一維搜索方法，故迭代時(shí)間最少，緊接著在使用一維搜索的五種方法中以阻尼牛頓法迭代時(shí)間相對(duì)較少，共軛梯度法迭代時(shí)間最久；然后，從迭代次數(shù)來看，共軛梯度法往往需要較多的迭代次數(shù)，從而所需時(shí)間也最久；接著，從計(jì)算結(jié)果的精度來看，阻尼牛頓法的結(jié)果精度最高，而單形替換法的精度最低；最后，從編程來看，在編好一維搜索方法的情況下，最速下降法和阻尼牛頓法編程簡(jiǎn)單容易，而共軛梯度法、變尺度法和單形替代法需要兩重循環(huán)實(shí)現(xiàn)，鮑威爾法和單

6、形替換法則需要編程者對(duì)矩陣的操作能力有較高的要求，故編程較難。同時(shí)，從上面的結(jié)果也可以發(fā)現(xiàn)，鮑威爾法在使用不精確的一維搜索方法時(shí)，對(duì)函數(shù) 1 無法收斂，對(duì)函數(shù) 2、3 收斂到錯(cuò)誤的結(jié)果，所以鮑威爾法是依賴于精確的一維搜索過程的，而其他幾個(gè)則不依賴于精確一維搜索過程。精確的一維搜索方法通常需要花費(fèi)很大的工作量，特別是當(dāng)?shù)c(diǎn)遠(yuǎn)離問題的解時(shí)，精確的求解一個(gè)一維子問題通常不是十分有效率的。因此，只要保證目標(biāo)函數(shù)值在每一步都有滿意的下降，使用不

7、是非常精確的一維搜索，就可以大大節(jié)省工作量。在分析函數(shù) 2 的計(jì)算結(jié)果時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)收斂結(jié)果，當(dāng)然這兩個(gè)結(jié)果都是極值，因?yàn)楹瘮?shù) 2 是二元四次函數(shù)，存在多個(gè)極值。故為了驗(yàn)證正確性，自己曾將初始點(diǎn)（-2.5,4.25）調(diào)成（2.5,4.25），分別代入程序中計(jì)算，計(jì)算結(jié)果都收斂于極值為 0.99 的這個(gè)點(diǎn)上。所以，在存在多個(gè)極值點(diǎn)的情況下結(jié)果是和初始點(diǎn)的選取有關(guān)。對(duì)于單形替換法，這種方法不需要一維搜索最佳步長(zhǎng)，故沒有一維搜索方法反復(fù)

8、地計(jì)算最佳步長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間，程序運(yùn)行效率快。但它的收斂條件不好選擇，通過查找文獻(xiàn)資料總結(jié)出以下三個(gè)收斂條件：1.利用最壞點(diǎn)函數(shù)值與最好點(diǎn)函數(shù)值之差判別；2. 利用相鄰兩次函數(shù)值差值的絕對(duì)值判別；3. 利用各點(diǎn)的函數(shù)值與最好點(diǎn)函數(shù)值之差的均方根判別。為了保證程序的執(zhí)行可靠性，這三種常用的方法中自己選擇了判別 3，即：綜上所述，阻尼牛頓法是無約束方法中最有效的方法。不僅編程簡(jiǎn)單，而且迭代次數(shù)較少，運(yùn)行時(shí)間較短，結(jié)果的精度也較高。在程序的運(yùn)行方

9、面，分別設(shè)置了可變的函數(shù)選擇、無約束方法選擇、一維搜索方法選擇、起始點(diǎn)、精度這五個(gè)輸入，故可以在命令窗口運(yùn)行主程序 main，再根據(jù)提示要求分別輸入這五個(gè)參數(shù)的所需值，就可以得到運(yùn)行結(jié)果。程序如下：1、 主函數(shù)clear;global k;k=0;disp('1.f(x)=x1^2+2*x2^2-2*x1*x2-4*x1');disp('2.f(x,y)=x^4-2*x*x*y-2*x*y+x^2+2*y*y+4