最全高中不等式解法

1、不等式的解法 不等式的解法三、解不等式 三、解不等式1．解不等式問題的分類(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式．(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解無理不等式；④解指數(shù)不等式；⑤解對數(shù)不等式；⑥解帶絕對值的不等式；⑦解不等式組．2．解不等式時應特別注意下列幾點：(1)正確應用不等式的基本性質(zhì)．(2)正確應用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性．(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范

2、圍．3．不等式的同解性(1)f(x) g(x) 0f(x) 0g(x) 0f(x) 0g(x) 0 · ＞ 與＞＞ 或＜＜ 同解．? ? ?? ? ?(2)f(x) g(x) 0f(x) 0g(x) 0f(x) 0g(x) 0 · ＜ 與＞＜ 或＜＞ 同解．? ? ?? ? ?(3) f(x)g(x) 0f(x) 0g(x) 0f(x) 0g(x) 0 (g(x) 0) ＞ 與＞＞ 或＜＜ 同解． ≠? ? ?? ?

3、 ?(4) f(x)g(x) 0f(x) 0g(x) 0f(x) 0g(x) 0 (g(x) 0) ＜ 與＞＜ 或＜＞ 同解． ≠? ? ?? ? ?(5)|f(x)|＜g(x)與－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)(6)|f(x)|＞g(x) 與①f(x)＞g(x)或 f(x)＜－g(x)(其中 g(x)≥0)；②g(x)＜0 同解(7) f(x) g(x)f(x) [g(x)]f(x) 0g(x) 0f(x) 0g(

4、x) 02＞ 與＞≥≥或≥＜ 同解．?? ?? ?? ? ?(8) f(x) g(x)f(x) [g(x)]f(x) 02＜ 與＜≥ 同解．? ? ?(9)當 a＞1 時，af(x)＞ag(x)與 f(x)＞g(x)同解，當 0＜a＜1 時，af(x)＞ag(x)與 f(x)＜g(x)同解．(10) a 1 log f(x) log g(x)f(x) g(x)f(x) 0a a 當 ＞ 時， ＞ 與＞＞ 同解．? ? ?當 ＜ ＜ 時，

5、 ＞ 與＜＞＞同解． 0 a 1 log f(x) log g(x)f(x) g(x)f(x) 0g(x) 0a a?? ?? ?4頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 零點分段法：高次不等式與分式不等式的簡潔解法步

6、驟：①形式：頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 不不不 不不不不不不不不不不 ? ? 0 ) () (x Qx P②首項系數(shù)符號>0——標準式，若系數(shù)含參數(shù)時，須判斷或討論系數(shù)的符號，化負為正頭 頭頭 頭 頭

7、 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭③判斷或比較根的大小頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www

8、.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭題型講解 題型講解頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 例 1 不等式(1+x)(1- )>0 的解集是（

9、） xA．B．? ? 1 0 ? ? x x ? ? 1 0 ? ? ? x x x 且C．D． ? ? 1 1 ? ? ? x x ? ? 1 1 ? ? ? x x x 且解：(1+x)(1- )＝0 的解為 x=1,x= -1(二重根) x畫出數(shù)軸：②當 時，無解； 4 ? ? m③當 時，解為 ； 3 4 ? ? ? ? m 1 31 ? ? ? ? x m④當 m= 時，解為 ； 3 ? 1 ? ? x⑤當 時，解為 或頭 頭

10、頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 3 ? ? m 1 ? ? x 31? ? m x例 5 已知 f(x)，g(x)都是定義在 R 上的奇函數(shù)，不等式 f(x)>0 的解集是(m，n)，不等式g(x)>0

11、 的解集是 ，其中 ，求不等式 的解集頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 ? ?? ? ??2 , 2n m2 0 n m ? ? 0 ) ( ) ( ? ? x g x f解：∵f(x)，g(x)是奇函數(shù)，不等式

12、 f(x)>0 的解集是(m，n)，不等式 g(x)>0 的解集是， ? ?? ? ??2 , 2n m∴不等式 f(x)<0 的解集是 ， ? ? m n ? ? ,不等式 g(x)<0 的解集是頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭

13、頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 ? ?? ? ?? ? ? 2 , 2n m而不等式 等價于 或 ， 0 ) ( ) ( ? ? x g x f? ? ???0 ) (0 ) (x gx f? ? ???0 ) (0 ) (x gx f所以其解集為頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.x

14、jktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ?? m n n m m n m n n m n m , 2 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , ? ? ? ?例 6 若不等式 kx2-2x+1-k<0 對滿足 的所有 k 都成立，求 x 的

15、取值范圍頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 2 2 ? ? ? k解：原不等式可化為頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com

16、wxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 0 ) 1 2 ( ) 1 ( 2 ? ? ? ? x k x設，是關于 k 的單調(diào)函數(shù)， ) 1 2 ( ) 1 ( ) ( 2 ? ? ? ? x k x k f ) 2 2 ( ? ? ? k根據(jù)題意有：，即? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0 ) 1 2 ( ) 1 ( 2

17、 ) 2 (0 ) 1 2 ( ) 1 ( 2 ) 2 (22x x fx x f? ?? ? ?? ? ?? ? ?0 1 2 20 3 2 222x xx x解得頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭23 127

18、1 ? ? ? ? ? x點評：用換元、分離變量的方法在不等式的求解過程中比較常出現(xiàn)，也是解決含參數(shù)問題的重要方法頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭例 7 己知關于 x 的不等式 的解為 ，求關于 x 的不等式 0

19、 ) 3 2 ( ) ( ? ? ? ? b a x b a ) 31 , ( ? ??的解集頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 0 ) 2 ( ) 3 ( ? ? ? ? a b x b a解： ，因其解集為 ，

20、 ) 2 3 ( ) ( a b x b a ? ? ? ) 31 , ( ? ??且 ， , 0 ? ? ? b a 31 2 3 ? ? ??b aa b從而 , 2b a ?又 , 0 , 0 3 ? ? ? ? ? b b b a將 代入 ，得頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjkty

21、g.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 b a 2 ? 0 ) 2 ( ) 3 ( ? ? ? ? a b x b a 3 , 0 3 ? ? ? ? ? x b bx所求解集為頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭

22、 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 ? ) 3 , ( ? ??例 8 己知不等式 的解集為 ，其中 ，求不 0 2 ? ? ? c bx ax } | { ? ? ? ? x x 0 ? ? ? ?等式 的解集頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭

23、 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 0 2 ? ? ? a bx cx解： 為方程 的兩根， ? ?, ? 2 0 ax bx c ? ? ?頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 ( ), ( ), b c b