張量講義合訂版(pdf)

1、I目錄引言.........................................................................................................................................................................1第一章第一章向量與坐標(biāo)向量與坐標(biāo).............................

2、....................................................................................................................21.1向量與向量空間.............................................................................................

3、..............................................21.2點積與歐氏空間...........................................................................................................................................51.3叉積與軸向量..............

4、...............................................................................................................................111.4混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向...............................................................................

5、..................................................131.5并積與向量誘導(dǎo)空間.................................................................................................................................181.6坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換..............

6、.......................................................................................................................21161坐標(biāo)系的構(gòu)成..........................................................................................

7、.................................21162坐標(biāo)變換...................................................................................................................................24第二章第二章笛卡兒張量代數(shù)笛卡兒張量代數(shù).........................

8、..............................................................................................................332.1不變量的充要條件.................................................................................................

9、....................................332.2張量的定義.................................................................................................................................................40221張量的定義...................

10、............................................................................................................40222相對張量.......................................................................................................

11、............................41223直角坐標(biāo)系下的Eddington張量（絕對置換張量）.............................................................432.3張量的代數(shù)運算........................................................................................

12、..............................................43231張量的線性運算.......................................................................................................................44232張量的并積與縮并運算............................

13、...............................................................................44233張量的叉積...............................................................................................................................4723

14、4張量的轉(zhuǎn)置...............................................................................................................................472.4張量識別定理............................................................................

15、.................................................................482.5張量的對稱性與反對稱性.........................................................................................................................52251對稱張量.........

16、..........................................................................................................................52252反對稱張量........................................................................................

17、.......................................542.6二階張量的若干特性................................................................................................................................55261二階張量的對稱性分解........................

18、...................................................................................55262二階張量的跡、模、冪與矩陣...............................................................................................58263二階對稱張量的主軸與主值.......

19、............................................................................................592.7各向同性張量.....................................................................................................................

20、........................63271各向同性張量的構(gòu)成...............................................................................................................63272二階張量的跡分解..........................................................

21、.........................................................67第三章第三章笛卡兒張量分析笛卡兒張量分析.......................................................................................................................................723.1張

22、量函數(shù)與張量場....................................................................................................................................723.2一元張量函數(shù)的微分...................................................................

23、.............................................................74321張量的導(dǎo)數(shù)定義.......................................................................................................................74322張量函數(shù)的求導(dǎo)法則..............

24、.................................................................................................76323張量函數(shù)的微分...............................................................................................................

25、........763.3張量場的微分.............................................................................................................................................78331張量場的偏導(dǎo)數(shù)................................................

26、.......................................................................78332全微分與張量的梯度...............................................................................................................79333張量的全導(dǎo)數(shù)（物質(zhì)導(dǎo)數(shù)）.......

27、............................................................................................851引言張量可看作是向量（矢量）的一種推廣。我們知道，向量是既有大小又有方向的量。然而，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中還會遇到更為復(fù)雜的量。對它們的描述就不能只用大小和方向，而必須應(yīng)用更多的概念。例如，在材料力學(xué)中，為了描述變形體內(nèi)的應(yīng)力，除了知道它的大小與方向外，還

28、必須知道應(yīng)力作用面的方位。這樣的量就只能用張量的數(shù)學(xué)客體來描述。事實上，以后我們將會看到，向量和標(biāo)量均可視為張量的特例，它們分別稱為一階張量和零階張量?？陀^的自然規(guī)律本質(zhì)上與人為選擇的坐標(biāo)系無關(guān)。但為了定量描述自然規(guī)律，往往需要引入適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。這就有可能對于同一現(xiàn)象的描述在不同的坐標(biāo)系下得到不同形式的數(shù)學(xué)方程。用張量方程表達(dá)物理定律與幾何定理具有兩個重要的特性。第一個特性是方程形式的不變性，即在任何坐標(biāo)系下張量方程具有不變的形式。這一

29、特性正好反映了自然規(guī)律與坐標(biāo)系無關(guān)這一事實。利用這一特性，我們可以在某些簡單情況以及特定的坐標(biāo)系下建立某種物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方程，然后把它寫成張量的形式，便可應(yīng)用到其它復(fù)雜情況及坐標(biāo)系中。在某些情況下，還可根據(jù)張量方程的不變特性直接導(dǎo)出物理方程的具體數(shù)學(xué)形式。當(dāng)然，并非所有的物理方程均可寫成張量的形式，但一個具有普遍意義的物理方程應(yīng)當(dāng)具有張量的數(shù)學(xué)形式，這一點可成為我們判別物理方程普遍性的一種方法。張量方程的第二個重要特性是方程的簡潔性。它

30、不僅可大大簡化方程的書寫與推導(dǎo)，更有助于我們清晰地把握物理現(xiàn)象的本質(zhì)。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，張量分析這門學(xué)科已成為科學(xué)研究與工程技術(shù)中不可缺少的數(shù)學(xué)工具?？梢哉f，對于一個21世紀(jì)的科技工作者，如果對張量分析沒有一定程度的了解，就無法讀懂許多領(lǐng)域（尤其是力學(xué)領(lǐng)域）的大部分參考文獻(xiàn)，因而無法正常地開展工作。本書是為工科專業(yè)本科生和研究生編寫的一本張量入門教材。假定讀者已具有高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的知識，凡遇到上述內(nèi)容的地方，只作簡要的復(fù)習(xí)或直

31、接引用其結(jié)論。書中盡量避免抽象的數(shù)學(xué)概念與繁難的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，代之與直觀的幾何或物理解釋、證明、或驗證。盡管在數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性上不足，但有益于數(shù)學(xué)背景知識較少的工科學(xué)生盡快熟悉和掌握張量這個有力的數(shù)學(xué)工具。此外，本書重點介紹應(yīng)用最為廣泛的三維幾何與物理空間的張量，但許多結(jié)論可直接用于抽象的n維線性空間的張量。張量分析課程內(nèi)容實際上包括張量代數(shù)與張量分析兩部分。前者介紹張量的基本概念及代數(shù)運算，后者主要涉及張量的微積分。本書把笛卡兒張量與一般張量