計算流體力學課件完整版

1、計 算 流 體 力 學基礎,,★ 課時安排： 總學時３２小時，２４小時講課；8+8小時上機練習?！?主要相關前修課程　　計算機語言、工程流體力學、高等數(shù)學★ 主要內(nèi)容　　介紹流場計算的基本概念、基本方法和簡單算例,第一章 概 述 1.1 計算流體力學的發(fā)展及特點簡述 　　流體力學研究三種方法:實驗研究、理論分析和數(shù)值計算。☆　實驗研究　●真實可靠、是發(fā)現(xiàn)流動規(guī)律、檢驗理論和為流體機　　械設計

2、提供數(shù)據(jù)的基本手段。　●實驗要受測量技術限制，實驗周期長、費用高?！睢±碚撗芯俊　裨谘芯苛黧w流動規(guī)律的基礎上，建立了流體流動基　　本方程?！　駥τ谝恍┖唵瘟鲃?，通過簡化求出研究問題的解析 解。,●對于實際流動問題，通常需運用流體力學基本方程， 借助于計算機求數(shù)值解（計算機數(shù)值模擬）—　　計算流體力學CFD。 ☆ 計算機數(shù)值模擬 ●數(shù)值模擬耗費小、時間短、省人力，并能對實驗難以

3、 測量的流動進行模擬，如燃燒室、轉子通道內(nèi)。 ●在航空航天、核工業(yè)、天氣預報、海浪和風暴潮預報 等方面有極廣泛應用。 ●在航空航天方面，可用于計算飛行器飛行過程中周圍 流場（計算出升力、阻力）。計算航空發(fā)動機各部件 內(nèi)部流場，以及整臺發(fā)動機三維流場。目前國內(nèi)有一 些使用較多的商用軟件，如fluent、Star-CD、numeca等。,●美國自上二十世紀

4、八十年代后期，由于CFD方法應用， 使一臺發(fā)動機設計時間從10-15年降到5-8年，試驗樣機數(shù) 從40-50臺降到10臺左右。美國NASA主持建立了推進系統(tǒng)數(shù)值仿真系統(tǒng)。 ☆　數(shù)值模擬與實驗研究、理論分析關系 ●三者相互依賴、相互促進 ●數(shù)值模擬所占份額會越來越大（計算機技術迅速發(fā)展、 計算方法的不斷改進）。,1.2 流場數(shù)值模擬概念 ☆流場數(shù)值模擬概念●也稱為流場計算機模擬，是

5、以計算機為手段，通過數(shù)值 計算以數(shù)據(jù)和圖像顯示，再現(xiàn)研究對象及其內(nèi)在規(guī)律?！　?●數(shù)值模擬可理解為用計算機做實驗。比如一個機翼繞流 問題，通過計算可得到其升力、阻力數(shù)值；繞流流線、激 波位置、流動分離、渦的生成和傳播 ☆流場數(shù)值模擬幾個步驟 　 ●建立數(shù)學模型：根據(jù)流動特點建立適當?shù)臄?shù)學模型（控制 方程）　 ●確定計算方法

6、　　 １）控制方程的離散方法：將流體力學基本方程轉化成可 用計算機語言描述的形式，稱為離散方程，有限元、有限差 分、有限體積等。,２）邊界條件的處理：有／無滑移、壁面等溫／絕熱等。 ●編制計算機程序或運用已有程序進行計算　?。保┚W(wǎng)格生成：在流場中按一定規(guī)律分布一些點，稱為網(wǎng)格節(jié)點。此過程通常稱為前處理。無限信息空間用若干個點近似表示　　２）流場計算：運用離散方程求出每一網(wǎng)格節(jié)點上氣動熱力

7、參數(shù)值，如溫度、壓力、速度?！　。常┯嬎憬Y果后處理：根據(jù)網(wǎng)格節(jié)點上參數(shù)值，進一步處理出需要得到的信息，如流動阻力、升力、流量、流線等。,,渦輪葉片通道內(nèi)三維流計算實例,壓氣機轉靜子表面壓力分布,渦輪通道內(nèi)速度分布,航天飛機表面網(wǎng)格,航天飛機表面流速矢量圖,航天飛機表面溫度分布,氣流繞圓柱體流動壓力分布,氣流流過汽車,風扇流動,直升機旋翼運動,NACA0012翼型繞流流線圖,翼型繞流流線圖,,風力機表面極限流線圖,軸流葉輪計算與實驗葉片

8、表面極限流線,軸流葉輪計算與實驗性能比較,軸流葉輪計算與實驗流場結構比較,第二章 流體力學數(shù)值計算數(shù)學模型及定解條件　☆本章所涉及的基本方程有兩類：　　　●流體力學基本方程，基本出發(fā)點：質量守恒、動量守恒和能量守恒　　　●簡化模型方程：具有流體力學基本方程的某些特性，用于對所對應的流體力學方程理論分析 2．1    可壓縮非定常粘性流數(shù)學模型 連續(xù)方程： 運

9、動方程： 能量方程： 上述基本方程構成了Navier-Stokes(簡稱NS)方程 。,,,,,,,,,在三維直角坐標系下Navier-Stokes方程為：,上述方程組不封閉，還需要補充數(shù)學關系式：１）狀態(tài)方程：２）物性系數(shù)與狀態(tài)參數(shù)關系：,,,2．2    不可壓縮非定常粘性流數(shù)學模型　　　　當來流Ｍ數(shù)小于0.2時，為不可壓流動，以下為二種不可壓粘性流動控制方程。1）不可壓流Navi

10、er-Stokes方程 連續(xù)方程： 運動方程： 能量方程：2）流函數(shù)-渦量方程: 對于平面流動:,,,,,,,,平面流動速度與流函數(shù)渦量關系:,2.3 無粘流數(shù)學模型 1） 歐拉方程：2）全位勢方程：上式中: α為音速;3）不可壓流全位勢方程：,,,,2.4 常用的模型方程 　●流體力學基本方程大都為復雜、非線性方程（組），從數(shù)值計算角度分析研究比較困難。

11、并且迄今為止還沒有形成成熟的理論。 　●為了認識基本方程的數(shù)學性質，常用一些簡單的線性數(shù)學方程作為替代進行研究。 　●這些方程具有基本方程的某些特征，稱之為模型方程1）對流方程：　　★此方程是雙曲型方程，形式類同于一維歐拉方程 。,,,,,,2）伯格斯（Burgers）方程 ：　★是一個非線性方程，具有NS方程類似的性態(tài)，式中系數(shù) β相當于流體的粘性系數(shù)。　　 3）對流—擴散方程 ：　★這個

12、方程和伯格斯方程同屬雙曲—拋物型方程，但它是 線性的，比較簡單?！　锂敠?0時，退化成雙曲型方程，當α=0時，則變成拋物 型方程4）拋物型方程：,,,,,,5）橢園型方程：　★稱為泊松方程，其右端函數(shù)項f為已知；　★若f=0,則成為拉普拉斯方程。,,,,,,2．5偏微分方程的數(shù)學性質及其與流體運動的關系 流體力學基本方程及模型方程屬偏微分方程（組），由于方程的復雜性通常無法采

13、用積分方法求精確解，但可將其離散進行數(shù)值求解。 流體力學方程（組）的數(shù)值求解需符合流動的物理規(guī)律，同時邊界條件的給定也要遵循流動的物理規(guī)律，因此首先需了解方程的數(shù)學性質。2．5．1 擬線性偏微分方程組的分類◇擬（準）線性方程組 對于流體力學控制方程，所有最高階偏導數(shù)項都是線性的（這些項前僅有一個系數(shù)項，系數(shù)項是變量的函數(shù)、沒有最高階偏導數(shù)與偏導數(shù)項的乘積）,◇擬線性方程（組）的數(shù)學性質

14、以下列擬線性方程組為例 式中，系數(shù)項 是x,y,u,v的函數(shù)。u,v是因變量為獨立變量x,y的函數(shù)，并且u,v是x,y的連續(xù)函數(shù)。 將下式： 與以上四式組合在一起并寫成矩陣形式可得,,,,,,,（2.21）,（2.22）,令矩陣[A]為上式的系數(shù)矩陣，即：并將[A]矩陣的第一列

15、用(2.23) 式右側矢量替代構成矩陣[B],,（2.23）,根據(jù)Gramer法則，有同理可求出du,dv,dx,dy計算： 在xy平面內(nèi)任一點P，過P點作一曲線ab，如果點2無限接近于P點，則： ☆ab曲線是任意選定的，其選擇不影響計算結果。 ☆但如果選擇的方向使得則無法采用(2.24)計算 值 ef 稱為通過P點的特征線,(2.24),,,,,所謂特征線即為通過xy

16、平面內(nèi)某點P的曲線，沿此曲線方向無法確定u和v的偏導數(shù)值。因此可通過求解：確定特征線。由 展開得：進一步可得 由上式可確定xy平面內(nèi)每一點的特征線斜率，從而確定特征線。如果令：,,,,,,,則上式可寫成：即：令： ，如果在 xy平面內(nèi)某一點有： 1） ，則偏微分方程組(2.21)有兩條各不相同特征線，稱方程為雙曲型；2）

17、 ，則偏微分方程組(2.21)只有一條特征線，稱方程為拋物型；3） ，偏微分方程組(2.21)沒有特征線，稱方程為橢圓型。 雙曲型、拋物型和橢圓型實際上是直接借用以下二次曲線性質,,,,,,,2．5．2 偏微分方程組分類的通用方法 以上根據(jù)Gramer法則給出了擬線性方程組類型的確定方法。下面介紹另一種方程組類型通用確定方法。為簡單起見，假設方程組(2.21)右端項為0，

18、即：定義矢量：這樣式(2.29)可寫成矢量形式： (2.30)或者：

19、 (2.31),,,（2.29）,,,,上式可變成：上式中 矩陣的特征值決定偏微分方程組類型。如果特征值全是實數(shù)，方程組為雙曲型；如果特征值全為復數(shù)，方程組為橢圓型。[例] 二維無旋、無粘定常可壓縮流，流場中有一細長體，如機翼翼型。 如果在上游有一小擾動，擾動速度分量為： 。根據(jù)連續(xù)方程、運動方程和能量方程可推得：

20、 為自由來流馬赫數(shù)。確定以上流動的類型。,,,,,,,方法一：采用Gramer法則。對照式（2.21）有：而：于是： 因此當流動超音時，方程組為雙曲型；當流動亞音時，方程組為橢圓型,,,,,,,方法二：采用特征值方法 以下方程：可寫成以下矢量形式：所以：由：,,,,,,,求出特征值 因此采用方法二計算結果與方法一相同。由兩個結果比較可看出：上

21、式中的矩陣特征值即為特征線在某一點的斜率。,,2．5．3 流體力學控制方程類型及其對流場數(shù)值計算的影響 根據(jù)具體流動特點，采用的流體力學控制方程組可分為:雙曲型、拋物型和橢圓型。一、雙曲型方程,在二維空間坐標(x,y)下有一點P，對于雙曲型方程組有二條特征線通過該點，分別稱為左特征和右特征。 P點的影響區(qū)域僅局限于二條特征線之間下游區(qū)域，也就是說，P點產(chǎn)生的擾動影響在此區(qū)域可感受到，同時也只有此區(qū)域可感受到

22、。 影響P點區(qū)域僅限于二條特征線之間的上游區(qū)域，就是說此區(qū)域并且也只有此區(qū)域的擾動會影響P點。,對于控制方程為雙曲型方程的流動問題可采用空間推進方法進行求解。如上圖，可給定y軸上的流動參數(shù)作為初始條件，然后沿著x軸方向一步一步推進即可求得整個流場?？赏频靡韵聨追N流體力學控制方程組屬于雙曲型控制方程組。,例1：定常無粘超音速流 超音速氣流流過一雙圓弧機翼，在翼型前緣產(chǎn)生弓形激波，激波后氣流仍為超音速。

23、 可以證明這種流動控制方程組為雙曲型（流動可近似采用小擾動方程描述）。 對于此流動可在翼型上游設初始邊界ab，邊界上流動參數(shù)取自由流參數(shù)，沿x方向向下游推進即可求得整個流場。,例2：非定常無粘流 對于非定常的歐拉方程組，無論流動是否超音都是雙曲型（關于時間是雙曲型的）。 對于一維非定常流，在xt坐標系中，陰影部份為P點的影響區(qū)域；P點解由在x軸上（即初始時刻，t=0），區(qū)間ab數(shù)值確定。

24、 管道內(nèi)一維波運動為曲型的一維非定常無粘流例子。,通常在流場數(shù)值計算中更多采用非定常方程時間推進求定常解。只要邊界條件不隨時間變化，當計算推進時間足夠長時，流動趨于定常、流動參數(shù)不再隨時間變化，這時得到的解即為定常解。,采用非定常方法求定常解的求解過程似乎繞了彎道。 實際上對于工程中的有些定常流動問題，采用定常流控制方程無法求解。比如：超音速流繞鈍頭體的流動，屬于超音和亞音混合流動問題。超音區(qū)域流動屬雙曲型；亞

25、音區(qū)域流動屬橢圓型。 在流場計算出來以前無法確定超音區(qū)和亞音區(qū)的分界線，同時目前還沒有對于不同類型的流動都適用的求解方法。 將此類定常流動控制方程加入非定常項變成非定常流控制方程，而非定常流動方程無論在亞音區(qū)還是超音區(qū)都屬于雙曲型方程（關于時間），因此解決了此類流動不能求解的困難。,二、拋物型方程 根據(jù)前面分析，對于拋物型方程通過任一點只有一條特征線。如圖2.5，假設過P點有一條垂直于x軸方向

26、的特征線，則P點的擾動將影響特征線右邊的陰影區(qū)域。 拋物型方程與雙曲型方程一樣可采用空間推進方法求解。首先給定初始邊界ac上數(shù)據(jù)，沿x方向推進即可求得邊界ab和cd間的解。,例1：附面層流動 對于附面層流動，通過對NS方程進行簡化處理得到適用于附面層內(nèi)流動的簡化方程組為拋物型。 給定附面層進口邊界ab和ef上數(shù)值，采用沿壁面方向空間推進即可求出整個附面層內(nèi)流動。壁面采用無滑移邊界條

27、件，bc和fg兩個外邊界采用無粘流計算結果。 采用附面層方程計算附面層內(nèi)流動，需先給定附面層外邊界流動參數(shù)。附面層外邊界流動參數(shù)決定附面層厚度發(fā)展，附面層厚度又影響附面層外勢流區(qū)流動。 因此附面層與勢流區(qū)流動相互影響，需采用迭代方法進行流場計算，計算方法復雜目前已少有人采用。,,附面層流動分析,三、橢圓型方程 對于橢圓型方程，無特征線或特征方程是虛根。流場中任意一點P的擾動會向周邊任意方向傳

28、遞。因此邊界點的數(shù)值同樣影響流場中任意一點的解。在所有邊界上都要給出邊界條件。,通常邊界條件有以下三種類型： 1）給定變量u,v數(shù)值，此類邊界條件稱為Dirichlet邊界條件； 2）給定變量u,v的導數(shù)值，此類邊界條件稱為Neumann邊界條件； 3) 部份邊界給定變量u,v數(shù)值，部份邊界給定變量u,v的導數(shù)值，稱為混合邊界條件。,橢圓型方程影響區(qū)域,例：定常無粘亞音流動控制方程 該方程

29、屬橢圓型方程。在此關鍵是流動亞音，因為對于亞音流，流場中一點的擾動理論上可向各方向傳遞到無限遠處。 如下圖亞音翼型繞流，翼型上游的流線向上折轉，翼型下游的流線向下折轉。翼型產(chǎn)生的擾動引起整個流場的變化（理論上直至無窮遠處）。,亞音速翼型繞流,2．6 流體力學問題的定解條件　★數(shù)學方程建立后，為確定解必須給出定解條件　★定解條件包括初始條件和邊界條件一、初始條件　★初始條件就是在某一起始時刻給出流場中速度、壓力、

30、密度和溫度等參數(shù)分布?！　　駥τ诙ǔ栴}并不需要初始條件　●實際計算，對于非線性方程（組）要進行迭代求解，需要初始條件作為迭代的初值。 　　●初始條件給定不影響最后結果，但初始條件的合理性會影響迭代計算收斂速度，甚至于影響收斂性。,二、邊界條件　★關于各種流動邊界上要給多少個邊界條件、給出哪些邊界條件，目前還沒有一個完善的理論?！　　飳τ诮^大多數(shù)工程實際中的流動問題，研究人員根據(jù)理論分析結合經(jīng)驗都能給出合適的邊界條件。　下

31、面介紹一些常見的流動邊界及邊界條件。 1）來流邊界（進口邊界） 　●對于外流流動前方邊界稱為來流邊界；對于內(nèi)流流動，如進氣道和葉輪機內(nèi)流動進口截面稱為進口邊界?！　　駚砹鬟吔缋碚撋蠎谖锩嫔嫌螣o窮遠處，在那里流動未受擾動易于給出邊界條件　　●在此邊界上一般給出：總壓、總溫、氣流角等參數(shù),2）下游邊界（出口邊界）　　●下游邊界（外流流動）和出口邊界（內(nèi)流流動）要設定在繞流體的遠下游，在那里流動通過充分摻混已比較均勻，這樣有利

32、于邊界條件的給定?！　　駥τ趤喴羲倭鳎ǔ＝o出出口邊界上靜壓（又叫出口反壓）；　　●對超音速流，由于下游擾動對上游流動沒有影響，因而不能給定出口反壓?！　　衿渌创_定參數(shù)如速度、密度、溫度以及超音速流的靜壓等，則采用計算區(qū)域內(nèi)部的數(shù)值外插求得。,3）壁面邊界 　●速度的給定　　a)粘性流，流體在壁面邊界上的速度等于壁面的運動速度，如果壁面靜止，則流體速度為零，即無滑移邊界條件 b)無粘流，流體在邊界處的法向速度為

33、零，而切向速度則由計算求得不再為零，即滑移邊界條件 ●溫度的給定 a)等溫壁，給出壁面溫度，并假設壁面處流體的溫度與壁面溫度相同　 b)絕熱壁，壁面熱流量為零，即： 　●壓力的給定：壁面法向壓力梯度為零，即：,,,第三章 有限差分近似及其數(shù)學性質 ●計算流體力學任務是將描述流體運動的偏微分方程轉化成離散形式，然后在計算機上求出這些方程的解。　 ●方程的離散方法有：有限差分法、有限元法、有限體積

34、法等 　●有限差分法用差商代替微商，將微分方程轉化成差分方程。實現(xiàn)偏微分方程的離散化，以適合于計算機編程計算。3.1 差分格式基本概念　●對于一個二維定常問題，如果求解域如圖示　●在直角坐標系下，變量可表示成：U(x,y)　●流場中任一網(wǎng)格節(jié)點表示為（i,j）, i=1，m；j=1，n　●網(wǎng)格點（i,j）上差分計算值表示為　 ，它是對函數(shù)值 　　　　 的近似。,,,,,,,,●●空間步長●時間步長,,,,●流

35、體力學方程是偏微分方程，主要由一階和二階偏導數(shù)項組成 ●差商代替微商,,3.2 常用偏導數(shù)項的差分格式和精度分析 3．2．1 一階偏導數(shù)差分格式　●一階偏導數(shù)通常有　　　　　　　　　　　　?！　癯Ｓ玫挠兄行牟罘趾拖蚯啊⑾蚝蟛罘指袷?。 1.向前差分格式 　由泰勒級數(shù)：,,,,,,,,,,,由于,所以,—截斷誤差,,,,,,,,,,,,,●　　是步長的一次方，稱此差分格式為一階精度，記作 ：,,,,在數(shù)值計算過程中，時間和空

36、間步長取值都很小，因而截斷誤差R數(shù)值也很小，這樣確保用差商替代微商有足夠的精度。,●忽略掉截斷誤差項,,上式為　　向前差分格式，其精度為一階。,２.向后差分格式,精度為一階,３.中心差分格式,,精度為二階,☆中心差分比向前和向后差分離散精度高?！　畈罘指袷竭x擇： a)考慮差分格式的穩(wěn)定性　　 b) 在邊界上適用性,3．2．2 二階偏導數(shù)差分格式1.普通中心差分2.普通一側差分格式 3.二階混

37、合偏導數(shù)項通常采用中心差分,,,,3.3 差分方程和相容性 ●差分方程：偏微分方程中的偏導數(shù)項用差商代替得到的差分形式方程 1) 　的差分方程 a) 時間向前、空間中心的差分格式 (FTCS),,,,,,,,,,,,,,●差分方程的截斷誤差：差分方程與微分方程之間存在一個誤差，對于上方程：,,這個差分方程具有一階時間精度二階空間精度,●定解條件離散化,a) 初始條件,,離散形式

38、,b) 邊界條件,,離散形式,,由差分方程和定解條件采用時間向前推進可求出n=2、3、4…各時間層上內(nèi)部節(jié)點上的函數(shù)值。,●格式圖：表示差分方程相鄰網(wǎng)格節(jié)間關聯(lián)性的圖形。 圖中●表示方程在該網(wǎng)格節(jié)點上離散，○表示差分方程所涉及的網(wǎng)格節(jié)點。,(a)FTCS 格式　　　　　 (b)FTFS 格式 　　　(a)FTBS 格式,b) 時間向前、空間向前的差分格式 (FTFS) c) 時間向前、空間向后的差

39、分格式 (FTBS) ●差分方程相容性分析 微分方程: 對應的差分方程:,,,,,,,,,截斷誤差為: 如果有: 微分方程與差分方程相容微分方程的定解條件為:對應的差分問題的定解條件:截斷誤差為: 如果有: 微分方程與差分方程定解條件相容,,,,,●有限差分方法求解流體力學問題舉例 　　 ⊙在兩固定平板間，流體由于平

40、板二端壓差驅動，作層狀流動。這種流動稱為庫特（Couette）剪流。　　 ⊙不考慮端部效應，在每個等x截面流體速度分布完全相同。,⊙由NS方程可推得關于速度u(y)的微分方程,,⊙邊界條件,,⊙求出解析解為 ：,,★有限差分方法進行求解步驟 ?。保┙⒒痉匠毯瓦m當?shù)亩ń鈼l件 ?。玻┚W(wǎng)格劃分：沿y方向將線段6等分，則空間步長為 　?。常┢⒎址匠碳斑吔鐥l件差分離散,,,,,離散方程,中心差分,離散邊界條件,,,,,節(jié)點２,節(jié)點

41、３,節(jié)點４,節(jié)點５,節(jié)點６,４）編制計算機程序進行數(shù)值計算，得結果：,,☆這個例子雖然非常簡單，但反映了流體力學問題有限差分數(shù)值計算的全過程。　　☆通常對于工程實際問題，大部份工作量是花在第２步（網(wǎng)格生成）和第４步（編制計算機程序進行數(shù)值計算）。,3.4 差分方程的收斂性　●差分方程收斂性定義：當步長趨于零時，差分格式的解能否趨近于微分問題的解稱為差分格式的收斂性　●對差分網(wǎng)格上的任一網(wǎng)格節(jié)點（i,n），設差分格式在此點的解為

42、　　，相應的微分問題解為　　　　　●二者之差為 　　稱為離散誤差。如果有：　　此差分格式是收斂的，即差分方程的解收斂于相對應微分問題的解。否則不收斂。,,,,,,,,●條件收斂—差分格式在一定的約束條件范圍內(nèi)是收斂的?！　駸o條件收斂—指差分格式在任何條件下都收斂?！　耜P于差分方程收斂性舉例?！±保阂痪S問題如下：,,精確解為：,差分方程:或：因此有: ……,,,

43、,,即：,進一步：,,,,而：,,因此：,即：,所以上述差分方程收斂,例2:對流模型方程 FTBS差分格式:離散誤差為:精確解滿足:于是有:,,,,若:即有:于是: …….將上面n-1個不等式相加得:,,,,,,,,,,,,,●以上例１為無條件收斂；例２為在　　　　　條件下收斂的差分格式?！　駥τ诹黧w力學問題由于是多個方程組成的非線性方

44、程組，差分格式收斂性的證明目前還是比較棘手的數(shù)學問題?！　衲壳皯帽容^廣泛的是采用馮.紐曼（Von Neumann）方法—通過差分格式穩(wěn)定性分析來證明收斂性。,,3．5 差分方程的穩(wěn)定性及穩(wěn)定性分析 ●差分格式的依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域 初邊值問題: 　　1）采用FTCS格式離散 2）采用FTFS格式離散 3）采用FTBS格式離散,,,,,,,,FTCS格式

45、 　 FTFS格式 　　 FTBS格式 差分解的依賴區(qū)間和決定區(qū)域,FTCS格式 FTFS格式 FTBS格式 差分解的影響區(qū)域,同一微分問題

46、，當采用不同的差分格式時，其依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域是不一樣的。 進而影響差分方程收斂性。,●考察步長比 對誤差傳遞的影響方程:其解為零,即:采用任何差分格式,若計算中不產(chǎn)生誤差,有:假設產(chǎn)生計算誤差:采用FTBS格式有:,,,,,,,,,,●上例子顯示了該格式的影響區(qū)域　●同時顯示了　　數(shù)值不同時，計算誤差對后面時間層上節(jié)點的計算值所產(chǎn)生的影響。　?。保　　?，所產(chǎn)生的影響在數(shù)值上不會擴大。

47、　　２）　　　，所產(chǎn)生的影響在數(shù)值上會越來越大，這樣隨著計算向前推進，誤差會將真解湮沒，并最終導致數(shù)值趨于無窮，計算失?。òl(fā)散）?！　裨诓捎糜邢薏罘址ǖ倪\算過程中，計算誤差總是不可避免的（如計算機舍入誤差）　●有些情況下，誤差在傳播過程中逐漸衰減；而另一些情況下，誤差在傳播過程中會逐漸遞增、積累。 　●若計算中產(chǎn)生的誤差，在一定條件下逐漸衰減，那么就稱這個差分格式在給定的條件下穩(wěn)定，這個條件就是它的穩(wěn)定準則。反之則稱差分格式不穩(wěn)

48、定。,,,,,,,,,,☆以對流—擴散方程，說明穩(wěn)定性概念,采用FTCS格式離散得：,假設在　　時刻以前的運算中不產(chǎn)生任何計算誤差，在　　時刻以后的運算中也不產(chǎn)生新的計算誤差，只在　　時刻產(chǎn)生了誤差?？疾煺`差傳播。這樣有：,,,,,,,,這時有：,于是：,兩式相減得：,上式稱為這就是誤差傳遞方程 　　★誤差傳遞方程與原差分方程形式相同 上式可改寫成：,,,,★此式右邊第一項是由于對流項而產(chǎn)生的誤差增長，第二項為由于擴散項而產(chǎn)生的誤

49、差增長。 　 ★討論這二項引起的誤差增長情況。,▲誤差沿節(jié)點分布情況可以是各種各樣的。無論誤差分布呈何種形態(tài)，隨著計算由n 時間層向前推進，穩(wěn)定格式誤差應逐漸減小，而不穩(wěn)定格式將逐漸增大。,▲假設某時刻產(chǎn)生的誤差沿節(jié)點是振蕩的，并且振幅沿節(jié)點增加,１. 不考慮粘性，即無擴散項， 。 　 a) ☆結果使誤差振幅隨時間n單調(diào)增加,因而不穩(wěn)定,,,,,,,,,,b),,,,,,☆誤差隨著n的增大逐步

50、減小。格式穩(wěn)定　☆如果 過大,校正會過頭，稱為過沖 ——穩(wěn)定條件,,2.不考慮對流項 ,,,,,,,,,,當,當,☆誤差隨著n的增大逐步減小。格式穩(wěn)定☆如果 過大,校正也會過頭,★對流項和擴散項同時存在時，它們各自所產(chǎn)生的誤差在傳遞過程中將會相互影響，在一定的約束條件下，差分格式穩(wěn)定,●穩(wěn)定性的數(shù)學定義 將差分解的誤差　　擴展成連續(xù)函數(shù) Z(x,t)，如果 則對應差分格式穩(wěn)定。 K是有

51、限常數(shù)?！?考慮邊界和初始值（即定解條件），穩(wěn)定性定義式寫成 ： 　　 ▲差分問題在初始時刻或某任一時刻引入的誤差為小量，此后的解與差分問題的精確解的誤差也一定為小量，所以差分格式為穩(wěn)定格式。,,,,,,,?。?則：,,,●Von Neumann 的穩(wěn)定性分析方法，又稱傅氏級數(shù)（Fourier）方法,考察對流方程：,ＦＴＢＳ格式離散：,誤差傳遞方程：,☆誤差是節(jié)點上的

52、離散量，現(xiàn)將其擴展成空間連續(xù)量。這樣節(jié)點誤差的傅氏級數(shù)為:,,,,,,代入離散方程得：,,所以對于任意k值：,,,,,,,,,,,取：,,,Ｇ—誤差放大因子,,,,,,,,,如果：,,即差分方程穩(wěn)定,●考察對流方程FTBS格式穩(wěn)定條件,,,要使： 必須,,,,即為差分方程穩(wěn)定條件,●對流—擴散方程FTCS格式差分方程穩(wěn)定性分析 誤差傳遞方程為：,,,,,,,穩(wěn)定性條件,誤差的傅氏級數(shù)簡

53、寫成,3.6 差分方程的相容性、收斂性和穩(wěn)定性的關系,●前面討論了差分問題的相容性、收斂性和穩(wěn)定性　●已經(jīng)知道相容性是收斂性的必要條件　●發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定性與收斂性之間有一定的聯(lián)系　●Lax等價定理：對一個適定的線性微分問題及一個與其相容的差分格式，如果該格式穩(wěn)定則必收斂，不穩(wěn)定則必不收斂。 　　　　▲適定指適當?shù)亩ń鈼l件 　　　▲若線性微分問題適定，差分格式相容，則穩(wěn)定性是收斂性的充分必要條件。,,,穩(wěn)定性,線性微分問題適定,差分格

54、式相容,收斂性,☆由于收斂性的證明通常比穩(wěn)定性證明要難，故借助于Lax定理，可將收斂性證明轉化成穩(wěn)定性的證明。,第四章 模型方程的常用差分格式 4．1 對流方程的差分格式 1.逆風差分格式 穩(wěn)定條件 截斷誤差　　●格式分析,,,,,,,,為ＦＴＢＳ格式,１）,☆a相當于動量方程中的速度u 　☆　　在節(jié)點i采用向后差商，因此稱為逆風差分。,,☆根據(jù)流動的物理規(guī)律，流場中某點的流動參

55、數(shù)受上游流動影響比下游大，并且速度越大差別越大。當流動超音時，就不再受下游影響。 　☆因而從流動機理分析，采用向后差商比中心差商和向前差商穩(wěn)定性好（實際上這時采用后兩種差分格式是不穩(wěn)定的）。,,２）,,為ＦＴＦＳ格式,2.Lax-Wendroff格式 由泰勒展開式,,,,,,,☆采用Von Neumann方法分析可得，這種格式的穩(wěn)定條件為　　　?！　　钣商├占墧?shù)分析可得截斷誤差為,,,利用微分方程,,,因此有：,穩(wěn)定條件

56、 截斷誤差3．全隱格式　●上述兩種差分格式都有較嚴格的穩(wěn)定性條件。為了擴大差分格式的穩(wěn)定范圍，還可以構造隱式格式?！　耠[式格式就是在差分方程中，n+1時間層上有多個節(jié)點函數(shù)值出現(xiàn)?！　耧@式格式就是在差分方程中，n+1時間層上有只有一個節(jié)點函數(shù)值出現(xiàn)。,,,,,,☆采用中心差商逼近式中一階和二階空間導數(shù)，并略去高階小項，得到：,格式恒穩(wěn)，即無條件穩(wěn)定,,,,,,,如果：,則得差分方程：,●顯式格式時間推進求各

57、時間層的節(jié)點函數(shù)值過程直截了當?！　耠[式格式求n+1時間層節(jié)點i的函數(shù)值，涉及到相鄰節(jié)點i-1和i+1的函數(shù)值。,,對流方程：,4．2 擴散方程差分格式 1. 古典格式穩(wěn)定條件為：2.三層全隱式格式,,,,,,4．3 對流擴散方程差分格式 1. 中心顯式差分格式 穩(wěn)定條件：2. 逆風差分格式,,,,,,,穩(wěn)定條件：3. 全隱差分格式,4.4 計算實例,●假設在兩相距1m的無限大平板間充

58、滿水，平板原來都處于靜止狀態(tài)，在某一時刻t=0，上平板突然以恒定速度平動，求在任意時刻t兩板間水的速度分布。 ●由于兩板無限大，可忽略端部效應，這樣每一個等x截面速度分布相同。因此只需求x=0截面的速度分布。,1）建立控制方程和定解條件 ●運用非定常二維不可壓粘性流的基本方程，根據(jù)此流動具體情況對方程進行簡化，最后可得到流動的控制方程 ：,,,,,,●邊界條件,●初始條件,2）網(wǎng)格劃分　　 ●采用均勻網(wǎng)格，網(wǎng)

59、格點數(shù)為m，邊界節(jié)點分別為1和m ，那么網(wǎng)格空間步長為,3）控制方程和定解條件的離散化　　　●采用古典格式進行差分離散（時間向前、空間中心），得,4）編制和調(diào)試計算機程序,,,,穩(wěn)定條件為,●邊界條件的離散形式,●初始條件的離散形式,,,,,,●編制程序要注意程序的條理性、可讀性、以及通用性等?！　褚泻玫臈l理性，程序則要基于結構化思想進行設計，即一個程序要分成若干塊，每一塊賦予各自功能，塊與塊間邏輯關系清晰?！　窨勺x性與條理性

60、是緊密相關的，為了增加程序可讀性，還要在程序中適當加入說明語句；以及程序的外觀布局、變量所采用的符號都要有所考慮?！　裢ㄓ眯员憩F(xiàn)在兩方面，一是避免程序的局限性，比如對于現(xiàn)在的例子，程序中網(wǎng)格節(jié)點數(shù)m不要是一個確定的數(shù),而作為變量，這樣通過賦值語句對m賦值，可方便地給出不同網(wǎng)格節(jié)點數(shù)的 差分解。其二是在保證程序對確定流場計算模擬功能的前提下，最好也能兼顧計算其他相近流場。,START,網(wǎng)格劃分,初始給件,n=1,邊界條件,內(nèi)點值計算,結

61、果輸出,,,,,否,n=n+1,,,,,,,,程序流程圖,,程序調(diào)試要求１．上機前閱讀參考源代碼２．完成程序調(diào)試３．測試穩(wěn)定性條件４．修改程序，加入圖形顯示功能,4．5 多維問題的幾種常用差分格式　 ●實際問題多為空間二維和三維的問題，上面所述的針對空間一維差分方法向二維和三維的推廣并沒有太大的理論難度?！?●本節(jié)以擴散方程為例，將一維差分方法向二維推廣，其他情況處理方法類似。1. 加權平均差分格式,,,,,,

62、二維擴散方程為,相應的定解條件為,采用均勻網(wǎng)格：1. 加權平均差分格式,,,,,其中,☆當　　　時格式是顯式的；　　　當時格式是隱式的?！　　顚τ诙S問題，隱式格式直接求解需要解一個大型稀疏代數(shù)矩陣，比較麻煩且耗費機時，后面要進一步介紹對此類問題的處理。,,,●穩(wěn)定性分析,,,,差分方程,,,,放大因子：,,,令：,,則：,,１）　　　　?。骸　「袷綗o條件穩(wěn)定,２）　　　　　：,,穩(wěn)定條件：,,,３）　　　　 ：,,,,或

63、,2. 交替方向隱式格式（ADI方法）　●對于多維問題，采用隱式格式要求解大型稀疏矩陣，而采用顯式格式穩(wěn)定性限制又較嚴格?！　窠惶娣较螂[式格式綜合了顯式和隱式格式特點，它的基本思想是將差分計算分成兩步?！　　锏谝徊?，在一個方向上（比如x方向）是隱式的，而另一個方向是顯式的；　　★第二步則兩個方向交換，即在第一個方向是顯式的，而另一方向為隱式?！　裨诙接嬎阒?，由于只有一個方向是隱式，這樣每一步求解的方程組都是三對角方程組，所

64、以求解過程大為簡化。同時格式的穩(wěn)定性條件比之于顯式格式也會大為放寬?！　褚驗橛嬎阍诙€方向上交替進行，所以叫做交替方向隱式格式（Alternating Direction Implicit method, ADI）,,,,,,對擴散方程：,采用交替方向隱式格式，得到差分表達式為 ：,,,★在進行n+1/2時間層計算時，涉及到x方向　　　　　　　　　三個節(jié)點函數(shù)值要同時求得，因而與一維隱式格式相同；同樣對于n+1時間層也涉及到y(tǒng)方向三個

65、相鄰節(jié)點函數(shù)值?！　?★利用Von Neumann 方法進行穩(wěn)定性分析，格式無條件穩(wěn)定?！窠惶娣较蚍硪恍问?,,,上兩式合并可得,★因此相當于全隱式格式中加入一高階小量，此格式是無條件穩(wěn)定,●向三維推廣,,,,☆上式表明：對于三維問題，先在x方向采用隱式格式進行第一步計算；再在y方向采用隱式格式進行第二步計算；最后在z方向采用隱式格式進行第三步計算?！　?☆這種格式是無條件穩(wěn)定的。,3. 時間分裂格式,,,,,,,改寫成,

66、忽去高階小量,分解成,由泰勒級數(shù),☆這種格式構造的基本思想是將多維問題化為幾個一維問題。,,,,,,,相當于求解：,,穩(wěn)定性條件：,●時間分裂差分格式由于其構造和計算方法簡單而有較廣泛應用,*4．6 數(shù)值效應,第五章 不可壓流場的數(shù)值計算 ●流動分類： ◇定常和非定常流； ◇有粘和無粘流； ◇可壓和不可壓流。 ●從數(shù)值計算角度考慮，將流場計算分為不可壓流計算和可壓縮流計算。 ◇ 對于可

67、壓縮流，無論其為有粘、無粘、定?；蚍嵌ǔ６伎梢圆捎猛活惙椒ㄟM行計算。 ◇但可壓縮流的計算方法一般不能用于求解不可壓流。,,,,,,,,5．1 不可壓無粘流場計算的流函數(shù)渦量法 5．1．1 基本方程推導二維不可壓粘性流,,,,,對于無粘流，且忽略體積力,流場無旋,上式在二維直角坐標系下展開形式,,泊松方程,,,,,,,,,,5．1．2 泊松方程的差分求解,中心差分,,,,,若假設,,,若,,,5．1．2 泊松方程的差分求

68、解,●差分方程求解方法 ◇ 要求解(m-2)*(n-2)個代數(shù)方程組成的方程組 1)采用常規(guī)的代數(shù)方程組求解方法來求解，比如:高斯消去法 ◇ 這種直接方法求解，如果節(jié)點數(shù)很多，也就是代數(shù)方程個數(shù)很多時，就會很耗費計算機內(nèi)存和機時。 2) 迭代計算方法 ◇ 方法簡單，求解速度快,且節(jié)省計算機內(nèi)存。,一、黎曼方法 ☆迭代方法相當于利用非定常方程求定常解。 ☆泊松方程是一個定常方程,要求解這