2019年沈陽(yáng)師范大學(xué)同等學(xué)力加試科目《實(shí)變函數(shù)論》考試大綱

1、1《實(shí)變函數(shù)論》考試大綱《實(shí)變函數(shù)論》考試大綱一、課程簡(jiǎn)介《實(shí)變函數(shù)》是我校數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)類各專業(yè)的一門(mén)重要專業(yè)基礎(chǔ)課，它不僅是學(xué)習(xí)泛函分析、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、測(cè)度論、計(jì)算方法、數(shù)理方程、隨機(jī)過(guò)程等后繼課程的一種工具，而且是一種高級(jí)思維模式；它不僅傳播一門(mén)知識(shí)，而且培養(yǎng)一種思維品質(zhì)。因此，這門(mén)課程的好壞直接影響到21世紀(jì)人才的培養(yǎng)，進(jìn)而影響到我國(guó)的科技發(fā)展水平與現(xiàn)代化進(jìn)程。實(shí)變函數(shù)論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，人們常以實(shí)變函數(shù)理論的出現(xiàn)作為現(xiàn)

2、代數(shù)學(xué)現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)誕生的標(biāo)志。實(shí)變函數(shù)的中心任務(wù)是建立一種較之舊的黎曼積分更為靈活、有效的勒貝格（Lebesgue）積分理論。采用集合論的思想方法研究數(shù)學(xué)分析中的問(wèn)題是實(shí)變函數(shù)的主要特點(diǎn)。目前，實(shí)變函數(shù)理論已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多分支，它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支的應(yīng)用成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的顯著特征。由于思想方法獨(dú)特，它的許多理論比起經(jīng)典的分析學(xué)要深刻得多，應(yīng)用起來(lái)也便利得多。例如積分與極限交換不再要求一致收斂；重積分化為累次積分只需函數(shù)是可積的，等等。另外

3、，許多初等數(shù)學(xué)的基本概念和內(nèi)容也需要實(shí)變函數(shù)的理論才能解釋清楚。二、考查目標(biāo)主要考查學(xué)生對(duì)《實(shí)變函數(shù)》中基數(shù)，可列集，不可列集等；n維歐氏空間，開(kāi)集，閉集，緊致集等；勒貝格測(cè)度，包括勒貝格測(cè)度的引人，內(nèi)測(cè)度，外測(cè)度，可測(cè)集的性質(zhì)；可測(cè)函數(shù)，包括可測(cè)函數(shù)的基本性質(zhì)，可測(cè)函數(shù)的收斂性，可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造；勒貝格積分，包括勒貝格積分的引人，積分性質(zhì)，積分序列的極限等各項(xiàng)知識(shí)的掌握情況，以及運(yùn)用這些知識(shí)研究與解決分析問(wèn)題的能力。三、考試內(nèi)容及要求第

4、一章集合（一）考核知識(shí)點(diǎn)集合之間的交、差、余運(yùn)算。集列的上、下限集的概念及其交并表示。單調(diào)集列的收斂。――映射與集合對(duì)等及集合基數(shù)?？蓴?shù)集，不可數(shù)集、基數(shù)為c的集合。（二）考核要求掌握集合及其運(yùn)算。集的對(duì)等及其基數(shù)。掌握集之間的交、差、余運(yùn)算。掌握集列的概念及其交并表示。理解單調(diào)集列的概念。掌握――映射，兩集合對(duì)等及集合基數(shù)等概念。理解伯恩斯坦定理（不要求掌握證明），能利用定義及伯恩斯坦定理證明兩集合對(duì)等。理解可數(shù)集，不可數(shù)集的意義，掌

5、握可數(shù)集、基數(shù)為c的集合的性質(zhì)，理解不存在最大基數(shù)的定理的意義。3（二）考核要求了解黎曼可積的充要條件是被積函數(shù)幾乎處處連續(xù)（不要求掌握證明），理解勒貝格積分的定義及其建立過(guò)程。理解R積分與L積分的關(guān)系。理解L積分的性質(zhì)，特別是掌握L積分的絕對(duì)可積性和絕對(duì)連續(xù)性。掌握勒貝格控制收斂定理、Levi定理、逐項(xiàng)積分定理、積分的可數(shù)可加性定理、Fatou引理。掌握Fubini定理（不證），理解有界變差函數(shù)及全變差的定義與意義，掌握其性質(zhì)。理解有