【資料下載】圖論的基本思想及方法

1、圖論的基本思想及方法任愷圖論的基本思想及方法圖論的基本思想及方法湖南省長沙市長郡中學任愷【摘要】【摘要】文章著眼于圖論基本思想及方法的討論，不涉及高深的圖論算文章著眼于圖論基本思想及方法的討論，不涉及高深的圖論算法。法。文章主要從兩方面闡述圖論的基本思想：一是合理選擇圖論模文章主要從兩方面闡述圖論的基本思想：一是合理選擇圖論模型；二是如何深入挖掘問題本質，充分利用模型的特性。同時還歸型；二是如何深入挖掘問題本質，充分利用模型的特性。同時

2、還歸納了一些解決問題的普適性方法。納了一些解決問題的普適性方法?！娟P鍵字】【關鍵字】基本思想、圖論模型、問題本質、定義法、分析法、綜合法基本思想、圖論模型、問題本質、定義法、分析法、綜合法【正文】【正文】一、引論一、引論圖是用點和邊來描述事物和事物之間的關系，是對實際問題的一種抽象。之所以用圖來解決問題，是因為圖能夠把紛雜的信息變得有序、直觀、清晰。因而圖論中最基本的思想就是搭建合適的模型，深刻挖掘問題的本質，分析和利用圖論模型各種性質

3、，從而到達解決問題的目的。下面著重從模型的選擇和發(fā)掘利用圖的性質來闡述圖的基本思想和運用方法。二、合理選擇圖論模型二、合理選擇圖論模型在解決一道實際問題時，往往先將實際問題抽象成一個數(shù)學模型，然后在圖論的基本思想及方法任愷2.1以網(wǎng)絡流為模型以網(wǎng)絡流為模型分析一下樣例，很快聯(lián)想到經(jīng)典的網(wǎng)絡流模型：最高點vh是網(wǎng)絡的源點，而最低點vl是網(wǎng)絡的匯點。題目中的路徑是網(wǎng)絡中從源點到匯點的流。要求用路徑覆蓋圖中所有的邊，且路徑數(shù)最少，就是要求網(wǎng)絡

4、中每條邊的流量大于等于1，并且從源點流出的總流量最小。因此解決這個問題只需要建立一個有容量下界的網(wǎng)絡，然后求這個網(wǎng)絡的最小可行流。大致做法：首先求出可行流：枚舉每條流量為0的邊，設為(ij)。找到一條從s到i的路徑和一條從j到t的路徑。對“s–i–j–t”路徑上的每一條邊流量加1，這樣既滿足了每個點的流量平衡，又滿足了邊(ij)的容量下界。然后在可行流上進行修改，從匯點到源點求一個最大可行反向流，就得到了一個最小可行流。分析算法二的復雜

5、度：求可行流時，可以先預處理源點和匯點到每個頂點的路徑，因此構造可行流的時間復雜度為O(|E||V|)。求最大流時，可以用樸素的增廣路算法，復雜度為O(|E|C)，C是進行增廣的次數(shù)。因為是平面圖，根據(jù)歐拉公式有O(|E|)=O(|V|)，而反向流的流量最大為O(|E|)，所以總的復雜度為O(|V|2)=O(n2)。此算法實際效率很高，能夠迅速的通過測試數(shù)據(jù)。但是，這種模型并沒有很好的挖掘原題中平面圖的性質，所以改進的余地應該很大。2.

6、2以偏序集為模型以偏序集為模型題目中強調了每個點都有不同的橫縱坐標，圖是有向無環(huán)平面圖。而且圖中兩點之間的有向邊似乎反映著一種元素的比較關系。是否存在更好的模型描述此圖呢？為了更好的揭示問題的本質，下面引入偏序集。2.2.1偏序集的相關概念偏序集的相關概念偏序集是一個集合X和一個二元關系R，符合下列特性：a)對于X中的所有的x，有xRx，即R是自反的自反的。b)對于X中的所有的x和y，只要有xRy且x≠y，就有，即R是反yRx對稱的對稱