高中常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型案例

1、高中常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型案例中華人民共和國(guó)教育部2003年4月制定的普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容”，“數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)；有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。”教材中常見(jiàn)模

2、型有如下幾種:一、函數(shù)模型用函數(shù)的觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的、最常用的方法。函數(shù)模型與方法在處理實(shí)際問(wèn)題中的廣泛運(yùn)用，兩個(gè)變量或幾個(gè)變量，凡能找到它們之間的聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)，建立起一個(gè)函數(shù)關(guān)系（數(shù)學(xué)模型），然后運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題，這些都屬于函數(shù)模型的范疇。1、正比例、反比例函數(shù)問(wèn)題例1：某商人購(gòu)貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%，他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利銷售后仍可獲得售價(jià)25%的純利，則此商人經(jīng)營(yíng)

3、者中貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系是___________。分析：欲求貨物數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是要弄清原價(jià)、進(jìn)價(jià)、新價(jià)之間的關(guān)系。若設(shè)新價(jià)為b，則售價(jià)為b（1－20%），因?yàn)樵瓋r(jià)為a，所以進(jìn)價(jià)為a（1－25％）解：依題意，有化簡(jiǎn)得，所以25.0)2.01()25.01()2.01(??????babab45?，即xabxy????2.0452.0???Nxxay42、一次函數(shù)問(wèn)題例2：某人開汽車以6

4、0kmh的速度從A地到150km遠(yuǎn)處的B地，在B地停留1h后，再以50kmh的速度返回A地，把汽車離開A地的路x（km）表示為時(shí)間t（h）的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖像。分析：根據(jù)路程＝速度時(shí)間，可得出路程x和時(shí)間t得函數(shù)關(guān)系式x（t）；同樣，可列出v(t)的關(guān)系式。要注意v(t)是一個(gè)矢量，從B地返回時(shí)速度為負(fù)值，重點(diǎn)應(yīng)注意如何畫這兩個(gè)函數(shù)的圖像，要知道這兩個(gè)函數(shù)所反映的變化關(guān)系是不一樣的。解：汽車離開A地的距離xkm與時(shí)間th之間的關(guān)系式

5、是：，圖略。???????????]5.65.3()5.3(50150]5.35.2(150]5.20[60tttttx速度vkmh與時(shí)間th的函數(shù)關(guān)系式是：，圖略。??????????)5.65.3[50)5.35.2[0)5.20[60tttv3、二次函數(shù)問(wèn)題例3：有L米長(zhǎng)的鋼材，要做成如圖所示的窗架，上半部分為半圓，下半部分為六個(gè)全等小矩形組成的矩形，試問(wèn)小矩形的長(zhǎng)、寬比為多少時(shí)，窗所通過(guò)的光線最多，并具體標(biāo)出窗框面積的最大值。2

6、424004575.110000004575.11004575.11?????x即2424004575.11)004575.11(004575.110000?????x解之得91.440?x提出問(wèn)題：如果采用上述分期付款方式貸款a元，m個(gè)月將款全部付清，月利率為r，那么每月付款款額的計(jì)算公式是什么？顯然問(wèn)題轉(zhuǎn)化為建立關(guān)于x的方程。設(shè)采用分期付款方式貸a元，m個(gè)月將款全部付清，月利率為r，每月付款x元，那么：把右邊求和，得，rrxramm

7、]1)1[()1(????所以：萬(wàn)元。1)1()1(????mmrrarx三、初等概率模型古典概率不僅要求基本實(shí)踐的出現(xiàn)具有等可能性，而且要求樣本空間為有限集，但實(shí)際問(wèn)題中卻經(jīng)常會(huì)碰到無(wú)限樣本空間的情形，對(duì)于無(wú)限樣本空間的情形，?？赊D(zhuǎn)化為幾何概率來(lái)解決。例5：將n個(gè)球隨機(jī)地放入n個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子恰有一個(gè)球的概率。分析與求解：因?yàn)槊恳粋€(gè)球都可以放進(jìn)n個(gè)盒子中的任一個(gè)盒子，共有n種不同的放法，n個(gè)球放進(jìn)n個(gè)盒子就有nn…n=種不同的放

8、法，而每種放法就是樣本空間中nn的一個(gè)元素，所以樣本空間中元素的總數(shù)為個(gè)。現(xiàn)在來(lái)求每個(gè)盒子恰有一個(gè)球時(shí)，球的nn不同放法的種數(shù)。第一個(gè)球可以放進(jìn)n個(gè)盒子之一，有n種放法；第二個(gè)球只能放進(jìn)余下的（n1）個(gè)盒子之一，有（n1）種放法，…，最后一個(gè)球只可以放進(jìn)唯一余下的盒子，所以n個(gè)球放進(jìn)n個(gè)盒子中要使每個(gè)盒子中都恰有一個(gè)球，共有種不同的放法，因而所求得概率為：!n。nnnAAP?)(幾何概率所描述的隨機(jī)試驗(yàn)滿足：試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)可度量的

9、幾何區(qū)域（這個(gè)區(qū)域可以是一維、二維甚至n維）；試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都一樣，即樣本點(diǎn)落入某一個(gè)可度量的子集A的可能性與A的幾何測(cè)度成正比，而與A的形狀及位置無(wú)關(guān)。如下面的例子“會(huì)面問(wèn)題”是幾何概率的典型例子。例7：兩位網(wǎng)友相約見(jiàn)面，約定在下午4:00到5:00之間在某一街角相會(huì)，他們約好當(dāng)其中一人先到后，一定要等另一人20分鐘，若另一人仍不到則離去，試問(wèn)這兩位朋友能相遇的概率為多少？（假定他們到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間是隨機(jī)的，且都在約