函數(shù)方程思想的應用舉例

1、函數(shù)方程思想的應用舉例函數(shù)方程思想的應用舉例函數(shù)方程思想是中學數(shù)學中最基本、最重要的數(shù)學思想，也是歷年高考的重點。函數(shù)的思想就是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學問題。具體來說，即先構(gòu)造函數(shù)，把給定問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖象的交點個數(shù)、最值、極值等）問題，研究后得出所需要的結(jié)論。函數(shù)方程思想就是將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組問題。通過解方程（或方程組）或者運用方程的性質(zhì)來分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決。函數(shù)

2、與方程思想是密切相關(guān)的，函數(shù)，當時，就轉(zhuǎn)化為方程或看作方程；而方程的解是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標。函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)，當時，就是不等式，而求的解則可比較函數(shù)圖象位置而得到。一.構(gòu)造函數(shù)思想例1.證明不等式分析：由所證不等式很容易想到比商法，但a、b的正負無法確定，即使分類后，當a、b都為正數(shù)時，其商也無法與1比大小，思路受阻。再觀察不等式兩邊形式類似，稍加變形即為，即可聯(lián)想到函數(shù)，就只需證了，利用函數(shù)單調(diào)性，問題得以巧

3、妙解決。解：令在上，則在上為增函數(shù)則，即所以。點評：應用函數(shù)性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，且能方便地判斷函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。例2.已知，對于值域內(nèi)的所有實數(shù)m，不等式恒成立，求x的范圍。分析：我們習慣上把x當作自變量，構(gòu)造函數(shù)，于是問題轉(zhuǎn)化為：當時，恒成立，求x范圍，但要解決這個問題要用到二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理。相當復雜。而如果把m看作自變量，x視為參數(shù)，原不等式化為，構(gòu)造函數(shù)為m的一次函數(shù)，在上恒大于0，這樣就非常

4、簡單。解：因為，故b、c是關(guān)于x的一元二次方程的兩根。故解得。點評：當問題出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構(gòu)造一元二次方程的明顯信號，構(gòu)造方程后再用方程特點可使問題巧妙解決。三.函數(shù)方程統(tǒng)一思想例5.已知三次方程恰有三個相異實根，求實數(shù)m的范圍方程的根，即函數(shù)圖象與x軸交點橫坐標，由題意函數(shù)應與x軸有三個不同產(chǎn)點，因三次曲線連續(xù)且光滑，故只需函數(shù)極大值與極小值異號即可。解：令則令，得為使與x軸交于不同的三個點。只須即。點評：方程函數(shù)互相轉(zhuǎn)化，