小學(xué)三年級(jí)奧數(shù) 數(shù)陣圖一 知識(shí)點(diǎn)與習(xí)題

1、數(shù)陣圖數(shù)陣圖(一)在神奇的數(shù)學(xué)王國(guó)中，有一類(lèi)非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它變化多端，引人入勝，奇妙無(wú)窮。它就是數(shù)陣，一座真正的數(shù)字迷宮，它對(duì)喜歡探究數(shù)字規(guī)律的人有著極大的吸引力，以至有些人留連其中，用畢生的精力來(lái)研究它的變化，就連大數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)它都有著濃厚的興趣。那么，到底什么是數(shù)陣呢？我們先觀察下面兩個(gè)圖：左上圖中有3個(gè)大圓，每個(gè)圓周上都有四個(gè)數(shù)字，有意思的是，每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)字之和都等于13。右上圖就更有意思了，1～9九個(gè)數(shù)字被排成三行三

2、列，每行的三個(gè)數(shù)字之和與每列的三個(gè)數(shù)字之和，以及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15，不信你就算算。上面兩個(gè)圖就是數(shù)陣圖。準(zhǔn)確地說(shuō)，數(shù)陣圖是將一些數(shù)按照一定要求排列而成的某種圖形，有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)陣。要排出這樣巧妙的數(shù)陣圖，可不是一件容易的事情。我們還是先從幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始。例1把1～5這五個(gè)數(shù)分別填在左下圖中的方格中，使得橫行三數(shù)之和與豎列三數(shù)之和都等于9。同學(xué)們可能會(huì)覺(jué)得這道題太容易了，七拼八湊就寫(xiě)出了右上圖的答案，可是卻搞不清其中的道

3、理。下面我們就一起來(lái)分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出復(fù)雜巧妙的數(shù)陣問(wèn)題。分析與解：分析與解：中間方格中的數(shù)很特殊，橫行的三個(gè)數(shù)有它，豎列的三個(gè)數(shù)也有它，我們把它叫做“重疊數(shù)”。也就是說(shuō)，橫行的三個(gè)數(shù)之和加上豎列的三個(gè)數(shù)之和，只有重疊數(shù)被加了兩次，即重疊了一次，其余各數(shù)均被加了一次。因?yàn)闄M行的三個(gè)數(shù)之和與豎列的三個(gè)數(shù)之和都等于9，所以(12345)重疊數(shù)=99，重疊數(shù)=(99)(12345)=3。重疊數(shù)求出來(lái)了，其余各數(shù)就好

4、填了(見(jiàn)右上圖)。例2把1～5這五個(gè)數(shù)填入下頁(yè)左上圖中的○里(已填入5)，使兩條直線上的三個(gè)數(shù)之和相等。分析與解：分析與解：與例1不同之處是已知“重疊數(shù)”為5，而不知道兩條直線上的三個(gè)數(shù)之和都等于什么數(shù)。所以，必須先求出這個(gè)“和”。根據(jù)例1的分析知，兩條直線上的三個(gè)數(shù)相加，只有重疊數(shù)被加了兩遍，其余各數(shù)均被加了一遍，所以?xún)蓷l直線上的三個(gè)數(shù)之和都等于[(12345)5]2=10。(12…7)重疊數(shù)2=103。由此得出重疊數(shù)為[103(12

5、…7)]2=1。剩下的六個(gè)數(shù)中，兩兩之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上圖的填法。如果把例4中“每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于10”改為“每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都相等”，其他不變，那么仿照例3，重疊數(shù)可能等于幾？怎樣填？例5將10～20填入左下圖的○內(nèi)，其中15已填好，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和都相等。解：解：與例2類(lèi)似，中間○內(nèi)的15是重疊數(shù)，并且重疊了四次，所以每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和等于[(1011…20)154]5=45。剩下

6、的十個(gè)數(shù)中，兩兩之和等于(4515=)30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右上圖的填法。例1～5都具有中心數(shù)是重疊數(shù)，并且每邊的數(shù)字之和都相等的性質(zhì)，這樣的數(shù)陣圖稱(chēng)為輻射型。例4的圖中有三條邊，每邊有三個(gè)數(shù)，稱(chēng)為輻射型3—3圖；例5有五條邊每邊有三個(gè)數(shù)，稱(chēng)為輻射型5—3圖。一般地，有m條邊，每邊有n個(gè)數(shù)的形如下圖的圖形稱(chēng)為輻射型m－n圖。輻射型數(shù)陣圖只有一個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)是“直線條數(shù)”1，即m1