中國海洋大學信號與系統(tǒng)第5章-連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

1、信號與線性系統(tǒng),拉普拉斯變換及收斂區(qū)常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯反變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析法雙邊拉普拉斯變換線性系統(tǒng)的模擬信號流圖,第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析,,,第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析,基于傅里葉變換的頻域分析法引入了信號頻譜和系統(tǒng)頻率響應的概念，具有清晰的物理意義。但頻域分析有其局限性：,1、要求函數(shù)絕對可積(狄里克雷條件),拉普拉斯變換,,,傅里葉變換的推廣,可解決上

2、述問題,2、只能求零狀態(tài)響應，求全響應困難,3、運算復雜,函數(shù)f(t)不滿足絕對可積條件往往是由于當︱t︱→∞ 時f(t)不衰減造成的，因此若人為乘上一個衰減因子e-σt，就可能符合絕對可積條件，因而其傅里葉變換存在：,,,,§5.2 拉普拉斯變換,拉普拉斯正變換,,,,1、拉普拉斯變換的定義,,,拉普拉斯反變換,拉普拉斯正變換,,,更常用的是單邊拉普拉斯變換，定義為：,,,正變換：,反變換：,,雙邊拉普拉斯正變換,,,與傅里

3、葉變換一樣有時也記為,F(s)稱為復頻譜（象函數(shù)）,S 稱為復頻率,,,,,,,2、拉普拉斯變換的物理意義,一對 合成一個實信號，代表的是一個正弦分量,,,一對 合成一個實信號，代表的是一個按 變化的正弦分量,,,,拉普拉斯變換的物理意義：,沿σ-j∞→σ+j∞積分路徑，將無窮多個est分量迭加得f(t),拉普拉斯反變換：,拉普拉斯變換：,將f(t) 沿σ-j∞→σ+j∞分解為無窮多個es

4、t分量,傅里葉變換：,沿路徑 -j∞→+j∞(虛軸)的分解與迭加,,,拉普拉斯變換的特例,A1,A2,B1,B2,C1,C1*,C2,C2*,,的含義,S平面,,,,,§5.3 拉普拉斯變換的收斂域,1、收斂域定義：,使f(t) e-σt收斂，即F(s)存在的σ的取值范圍,f(t) e-σt收斂,在 s 平面上 以σ= σ0 為界將s 平面分為兩個區(qū)域。,σ= σ0 稱收斂邊界,σ>σ0 為收斂域（不包含邊界）,在收斂

5、域內(nèi)f(t)的拉普拉斯變換F(s)存在， 在收斂域外則不存在。 F(s)的所有極點必須在收斂域外。,,2、單邊拉普拉斯變換收斂域的判別方法,1. 持續(xù)時間有限的單個脈沖信號,,3、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域,收斂域為整個s平面，拉斯變換無條件存在。,能量有限信號，因此不管σ取何值總是滿足,,收斂域為不包含虛軸的右半平面,,,2. 單位階躍信號,,,3. 單邊指數(shù)信號,,,,,,4. 單邊斜變信號,,1、在電子技術中常用的有

6、始函數(shù)一般都屬于指數(shù)階函數(shù)，單邊拉普拉斯變換存在，有收斂域。2、能量有限的信號，單邊拉普拉斯變換的收斂域為整個復平面。3、有始無終的單邊函數(shù)，單邊拉普拉斯變換的收斂域總是在某一收斂軸的右邊。4、在收斂域中不包含極點。5、凡符合絕對可積條件的函數(shù)不僅存在拉普拉斯變換，而且存在傅里葉變換，收斂域必定包含虛軸；反之，凡不符合絕對可積條件的函數(shù)，收斂域必不包含虛軸，傅里葉變換不一定存在。,結論：,§5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變

7、換,,,,,,收斂域為 σ > Re(α),,,,推論：,,,,,,2、單位階躍函數(shù),,,3、單位沖激函數(shù),,,,,,,衰減的正弦、余弦、雙曲函數(shù)等都可用同樣的方法求出,4、單邊正弦函數(shù),,,,,5、t 的正冪函數(shù) tnε(t) （n為正整數(shù)）,,,,,,,,,,符合絕對可積條件的函數(shù)不僅存在拉普拉斯變換，而且存在傅里葉變換。所以，其傅里葉變換和拉普拉斯變換可以相互轉(zhuǎn)化。,不符合絕對可積條件的函數(shù)，其傅里葉變換和拉普拉斯變換則

8、不符合上面的轉(zhuǎn)化關系。,,,,,常用函數(shù)的拉普拉斯變換：,,記?。?§5.6 拉普拉斯變換的性質(zhì),拉普拉斯變換和傅里葉變換變換的性質(zhì)有些是 相似的，而有些是有區(qū)別的，要注意它們的相似 之處和不同之處不要混淆。,,這些性質(zhì)都是針對單邊拉普拉斯變換的。,,,,,1、線性,若：則：,,,3、時間平移,若：,則：,例1：f(t)如圖，求F(s)。,解：,,,,例2: 如圖有始周期函數(shù) f(t)， 若其第一個周期

9、 的函數(shù)記為f1(t)， 且,,求：F(s)。,解：,,,結論：,周期為T的有始周期函數(shù) ，其拉普拉斯變換為,為 第一個周期的普拉斯變換,,,,4、復頻域平移,若：,,例如：由,可得：,又如：,,,,,5、時域微分,若：,證明：,本性質(zhì)可推廣到n階導數(shù)，即：,,,,說明：這里的,是指函數(shù),及其各階導數(shù)在,時刻的值，如果都取,時刻的系統(tǒng)稱為,系統(tǒng)。,及其它的各階導數(shù)在,和,它們的拉普拉斯變換不同,

10、本書采用,系統(tǒng),的值不同時，,,,,例：,，求：,和,系統(tǒng)下，,的拉普拉斯變換。,解：,系統(tǒng)：,系統(tǒng)：,,6、時域積分,,,本性質(zhì)也可推廣到多重積分,,,則：,區(qū)間為,如積分,,,,,7、復頻域微分與積分,,8、對參變量的微分與積分,,,,,1、使用微分性質(zhì)：,2、使用參變量微分性質(zhì)：,,,,9、初值定理：,,若函數(shù) 及導數(shù) 存在，且,則 的初值,,,,,如果f(t)在t=0處有沖激及其導數(shù)存在，則F(s) 為假分式，可

11、分解為s的多項式與真分式之和：,注意：,,,,10、終值定理,則f(t)的終值,證明：前面已證,,,,,,解：,例1：,,,,,解：,例2：,,,,11、卷積定理,,證明：時域,,,,頻域,,,,,,§5.5 拉普拉斯反變換,已知 求,求反變換,,,1.部分分式展開法,2.留數(shù)法（圍線積分法）,,,一、部分分式展開法,,,若象函數(shù) 為有理分式：,為正整數(shù),為實數(shù),時,,,,,,為真分式,i) 若

12、 有n個單階極點,則,,,,,,,,,例1：,已知：,解：,,,,分析：F(s)為假分式，先化為真分式,解：,例2：,,,,若F(s)分母中的二次式有一對共軛復根，則在部分分式展開時可把它們作為整體來處理。,解：,,,,解一：,用待定系數(shù)法確定：,例4：,兩邊同乘 ：,得：,,,,解二:,例4：,,,,ii)若F(s) 有一個p階極點s1，另有n-p個單極點sp+1， ... sn。,,則：,,,

13、,,,,,例5：,,,,,,,二、留數(shù)法（圍線積分法）,,表示復變函數(shù)g(s)沿s平面中不經(jīng)過極點的閉合路徑c的積分（積分方向為反時針方向），可由g(s)在圍線內(nèi)極點上的留數(shù)來確定。,,復變函數(shù)中的圍線積分,對照拉普拉斯反變換公式：,,可見拉普拉斯反變換也是一個復變函數(shù)的積分問題，被積函數(shù)為F(s)est， 積分路徑為σ-j∞→σ+j∞不是圍線，為此我們補充一個半徑為無窮大的半圓使它成為一個閉合路徑，同時可以保證被積函數(shù)的所有極點在圍線

14、內(nèi)。,,t>0時，若σt<σ0t 應取左半圓弧t<0，若σt<σ0t應取右半圓弧,,,,,,,若為0,則,,約當引理：1、當∣s∣=R→∞時，∣F(s)∣→02、因子est中指數(shù)st的實部σt應滿足σt<σ0t，σ0為大于σc的某一常數(shù)。,F(s)為真分式即可,,,單邊拉普拉斯變換t>0，所以積分路徑取左半圓弧,,,,小結：,1、拉普拉斯變換中的被積函數(shù)為F(s)est，顯然F(s)的

15、 極點就是F(s)est的極點。,2、對于單邊拉普拉斯變換，F(xiàn)(s)的收斂域在收斂軸 的右邊，因而積分路徑取左半圓弧。,3、左半圓弧的半徑取無窮大，則圍線中包含了F(s) 也是F(s)est的所有極點。,4、根據(jù)約當引理，F(xiàn)(s)拉普拉斯反變換就等于 F(s)est的所有極點上的留數(shù)之和。,,F(s)極點的留數(shù)的求法：,,,,,,,,,,,,,,,,,,先化為真分式,,,,,,,,,,,,,§

16、;5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析法,一、由微分方程的拉普拉斯變換求解系統(tǒng),全響應的拉普拉斯變換,自動計入初始條件直接求得全響應,,,,例：已知一個二階系統(tǒng)的微分方程為：,方程兩邊取拉普拉斯變換：,求全響應,解：,代入初始條件并整理得：,,依據(jù)兩個方面的約束：,,,,,二、由電路的S域模型求解系統(tǒng),1、元件的伏安特性,2、電路的基本定律(KVL,KCL),,,例1：電路如圖所示，求回路電流i1(t)。,解：,畫原電路的S域模型：,,,

17、列方程,,,,,,求回路電流i1(t)，要求分零輸入和零狀態(tài)求。,解：畫s域模型：,例:,,,1、先求零輸入響應，將電路中的激勵短路列回路方程：,,,,2、求零狀態(tài)響應，將電路中的等效電源短 路，列 回路方程：,全響應,,,,,,,三、由系統(tǒng)函數(shù)H(s)求解系統(tǒng),,,,系統(tǒng)函數(shù)H(s)的求法：,1).由h(t)求:,2).由微分方程求:,3).由S域模型求:,方程兩邊取拉氏變換，所有初始條件為零,,,,微分算子H(p)與

18、 H(s)、 H(jw)的關系：,,,已知系統(tǒng)的微分方程,例：,,,例2-3：,求RC電路的沖激響應h(t)。,激勵為e(t)，響應為i(t)，,解：,特征根=自然頻率=系統(tǒng)函數(shù)的極點,,,,,2.求零輸入響應,系統(tǒng)的特征根（自然頻率）,,(系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點),,,,,,,2.求零輸入響應,2).根據(jù)極點的階數(shù)寫出零輸入響應的形式,3).由初始條件求待定系數(shù),1).由H(s)求其極點,由H(s)求 的步驟：,(單根),(k

19、重根),,,,例5.14,例5.15,對于一個線性系統(tǒng)可用微分方程（數(shù)學模型）描述，也可以用具體的物理模型（如：電路）描述。但對一些高階的復雜系統(tǒng)，用具體物理模型描述是困難的?？梢苑奖愕赜靡恍┗镜倪\算器從數(shù)學意義上來模擬其輸入輸出關系,§5.10 線性系統(tǒng)的模擬,適合用計算機軟件實現(xiàn)或集成化,,線性系統(tǒng)的模擬,,模擬框圖,信號流圖,,,一、基本運算器,,（2）.標量乘法器,,（1）.加法器,,,（3）. 積分器（初值為0）,

20、初值不為0時,采用書上的符號：輸出 用y(t)表示，簡記為y激勵 用x(t)表示，簡記為x求導 用函數(shù)加撇表示。,二、系統(tǒng)模擬（零狀態(tài)）,,則原方程可改寫為：,,,,二階系統(tǒng)（不含x的導數(shù)）,,,,,直接型模擬框圖,,引入中間變量,令,則,,,n階系統(tǒng)(若m=n-1):,直接型模擬框圖,,三、系統(tǒng)的級聯(lián)與并聯(lián),H(s)可分為r個子系統(tǒng)的級聯(lián)或并聯(lián)：,,,,,,,作出直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型模擬框圖。,例：,已知：,,,作出直接

21、型、級聯(lián)型、并聯(lián)型模擬框圖。,例：,已知：,,,§5.11 信號流圖,信號流圖:,一種簡化的系統(tǒng)模擬圖,由結點、支路和環(huán)組成,更簡潔、更通用,可用梅森(Mason)公式求出系統(tǒng)任意兩點之間的傳輸值,,,信號用小圓圈（結點）表示 信號的傳輸路徑用有向線段（支路）表示 傳輸值標在支路旁,,例：,,,等效為乘積,一、信號流圖的化簡,1、支路串聯(lián)（各支路首尾相接）,,,2、支路并聯(lián)（始于同一結點，終于同一結點）,等效為和,,,3、

22、結點消除,,,4、自環(huán)消除,,(1)、出支路不變；(2)、入支路乘以1/(1-t)。,,,,,,二、梅森公式,梅森公式則可以根據(jù)流圖直接計算任意兩個結點之間的傳輸值：,圖形行列式,Li ——第i個環(huán)的傳輸值,LiLj ——兩個互不接觸的環(huán)的傳輸值之積,LiLjLk ——三個互不接觸的環(huán)的傳輸值之積,Gk ——前向傳輸路徑的傳輸值,Δk ——不與第k條前向路徑接觸的子圖的Δ值,,例：,用梅森公式求總傳輸值H,解：1、求Δ,2、求Gk和