計算藥物分析藥學與生物信息學第二章

1、第2章 化學中常用的計算方法,矩陣及其基本運算線性方程組和回歸分析 高次方程的求解插值和擬合,一、矩陣概念,1. 矩陣的定義,簡記為,實矩陣: 元素是實數,復矩陣： 元素是復數,例如：,是一個 實矩陣,是一個 復矩陣,是一個 矩陣,,是一個 矩陣.,是一個 矩陣,,2.一些特殊的矩陣,零矩陣(Zero Matrix):,注意：,不同

2、階數的零矩陣是不相等的.,例如：,元素全為零的矩陣稱為零矩陣， 零矩陣記作 或 .,行矩陣(Row Matrix):,列矩陣(Column Matrix):,方陣(Square Matrix):,只有一行的矩陣,稱為行矩陣(或行向量).,只有一列的矩陣,稱為列矩陣(或列向量).,例如：,是一個 3 階方陣.,對角陣(Diagonal Matrix):,方陣，主對角元素不全為零，非主對角元素都為零。,數量矩陣(Sca

3、lar Matrix):,方陣，主對角元素全為非零常數k，其余元素全為零。,單位矩陣(Identity Matrix):,記作:,行列式與矩陣的區(qū)別:,1. 一個是算式 ，一個是數表,2. 一個行列數相同 , 一個行列數可不同.,3. 對 n 階方陣可求它的行列式. 記為:,方陣，主對角元素全為1，其余元素都為零。,系數矩陣,個變量,與,個變量,之間的,關系式,其中,為常數.,,,,,,,系數矩陣,二、矩陣的基本運算,1. 矩陣相

4、等,矩陣相等:,例：,同型矩陣：兩個矩陣的行數相等、列數也相等,2. 矩陣的加減法,設有兩個 矩陣 那末矩陣 與 的和記作 ，規(guī)定為,加法:,注意：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.,例如：,3. 數與矩陣相乘,數乘:,注意：矩陣數乘與行列式數乘的區(qū)別.,數乘矩陣滿足的運算規(guī)律：,矩陣相加與

5、數乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.,（設 為 矩陣， 為數）,定義：,并把此乘積記作,4. 矩陣與矩陣相乘,設 是一個 矩陣， 是一個 矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣 的乘積是一個 矩陣 ，其中,例１：,例2：,,,,,,,求AB,故,解:,注意:只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時， 兩個矩

6、陣才能相乘.,例如:,不存在.,矩陣乘法滿足的運算規(guī)律：,（其中 為數）;,矩陣乘法不滿足交換律,例 : 設,則,注意：,5. 矩陣的轉置,定義: 把矩陣 的行換成同序數的列得到的 新矩陣，叫做 的轉置矩陣，記作 .,例:,轉置矩陣滿足的運算規(guī)律：,對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等.,說明：,例:,設 為 階方陣，如果滿足 ，即那末 稱為對

7、稱陣.,對稱陣:,,,,,6.方陣的行列式,定義：由 階方陣 的元素所構成的行列式， 叫做方陣 的行列式，記作 或,運算規(guī)律：:,MatLab 概述與運算基礎,Matrix Laboratory,20世紀70年代中期，美國New mexico 大學計算機系主任的Cleve Moler和其同事在美國國家科學基金的資助下研究開發(fā)了調用LINPACK和EISPACK子程序庫。并于1984年編寫了便于使用LIN

8、PACK和EISPACK的接口程序，并將該程序取名為MATLAB。由美國 MathWorks 公司推向市場以來，現(xiàn)已成為國際公認的最優(yōu)秀的工程應用開發(fā)環(huán)境。MATLAB功能強大、簡單易學、編程效率高，深受廣大科技工作者的歡迎。,MatLab 概述與運算基礎,2001年初推出了MATLAB6.0(R12)正式版，不僅在數值計算、符號運算和圖形處理等功能上進一步加強，而且又增加了一些工具箱。目前MATLAB已擁有數十個工具箱，控制系統(tǒng)工具

9、箱、信號處理工具箱、神經網絡工具箱、最優(yōu)化工具箱、金融工具箱偏微分方程工具箱等… 。MATLAB語言的算法先進，許多功能函數都帶有算法的自適應性，且運算速度快捷。MATLAB編程容易、效率高，調試方便、簡單，人機交互性強。,MatLab 概述與運算基礎,MATLAB的數值計算功能包括：矩陣運算、多項式和有理分式運算、數據統(tǒng)計分析、數值積分、優(yōu)化處理等。符號計算可以得到問題的解析解。,MATLAB除了命令行的交互式操作以外，還可以程序

10、方式工作。使用MATLAB可以很容易地實現(xiàn)C或FORTRAN語言的幾乎全部功能，包括Windows圖形用戶界面的設計。,MATLAB提供了兩個層次的圖形命令：一種是對圖形句柄進行的低級圖形命令，另一種是建立在低級圖形命令之上的高級圖形命令。利用MATLAB的高級圖形命令可以輕而易舉地繪制二維、三維，并可進行圖形和坐標的標識、視角和色彩精細控制等操作。,逗號或空格用于分隔某一行的元素，分號用于區(qū)分不同的行。除了分號，在輸入矩陣時，按Ent

11、er鍵也表示開始一新行。輸入矩陣時，嚴格要求所有行有相同的列。 例 m=[1 2 3 4 ；5 6 7 8；9 10 11 12] p=[1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3],1、矩陣的建立,MatLab,特殊矩陣的建立：,d=eye(m，n) 產生一個m行、n列的單位矩陣,c=on

12、es(m，n) 產生一個m行、n列的元素 全為1的矩陣,b=zeros(m，n) 產生一個m行、n列的零矩陣,a=[ ] 產生一個空矩陣，當對一項操作無結 果時，返回空矩陣，空矩陣的大小為零.,MATLAB 程序： 矩陣的建立,m=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12]p=

13、[1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3]a=[ ]b=zeros(2,3)c=ones(2,3)d=eye(2,3)e=eye(3,3),2、矩陣中元素的操作,,（1）矩陣A的第r行：A（r，：）,（2）矩陣A的第r列：A（：，r）,（4）取矩陣A的第i1~i2行、第j1~j2列構成新矩陣:A(i1:i2, j1:j2),（5）以逆序提取矩陣A的第i1~i2行，構成新矩陣:A(i2:-1：i1，：）,（6

14、）以逆序提取矩陣A的第j1~j2列，構成新矩陣:A(:, j2:-1：j1 ）,（7）刪除A的第i1~i2行，構成新矩陣:A(i1:i2，：)=[ ],（8）刪除A的第j1~j2列，構成新矩陣:A(：， j1:j2)=[ ],（9）將矩陣A和B拼接成新矩陣：[A B]；[A；B],（3）依次提取矩陣A的每一列，將A拉伸為一個列向量：A（：）,MATLAB 程序： 矩陣元素的操作,a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]a1=a

15、(2,:)a2=a(:,2)a3=a(:)a4=a(1:2,2:3)a5=a(2:-1:1,:)a6=a(:,3:-1:2)a7=a;a7(1:2,:)=[]a8=a;a8(:,1)=[]a9=[a a2]a10=[a;a1],（2）矩陣-矩陣運算 [1] 元素對元素的運算，同數組-數組運算。,3、矩陣的運算,（1）標量-矩陣運算 同標量-數組運算。,[2]

16、矩陣運算：矩陣加法：A+B矩陣乘法：A*B方陣的行列式：det（A）方陣的逆：inv（A）,MATLAB 程序：矩陣元素的操作,a=[1 2 3 4 5 6]b=[1 2 1 2 1 2]c1=a+ac2=a*bc=[2 7 3;3 9 4;1 5 3]c3=det(c)c4=inv(c),矩陣的基本運算,轉置: AT或A’ (矩陣的行與列互換),對稱矩陣（A=AT）,求逆: A，B均

17、為方陣，如AB=BA，則A是可,逆的，記為B=A-1,,矩 陣 解 法,正規(guī)方程組 （m=n，方陣）AX=BA-1AX=A-1B （ A-1A=In ）InX=A-1B （ InX=In ）X=A-1B,例 解：,超定方程組 （ ）AX=B(ATA) X=ATB(ATA)-1 (ATA) X= (ATA)-1 ATB InX =(ATA)-1 ATB X= (ATA)-1 ATB,矩 陣 解

18、法,,應用示例：（光譜分析中的多組分測定 ）A=ECLA=A1+A2+…+An,,,應努力建立條件數小的方程組，避免因解病態(tài)方程組造成的誤差。由于方程組的條件數取決于系數矩陣，根據研究體系的特征，選擇適當的實驗點，是避免產生病態(tài)方程組的關鍵。如計算分光光度法中當各組分光譜完全相同，將得到無解的奇異矩陣；但假如雖然有差別，可差別很小，則條件數必然很大，則將得到病態(tài)方程組。分光光度法中波長的選擇十分重要。,二、 線性方程組和

19、回歸分析,,克萊姆公式高斯消去法矩陣解法,矩陣解法,系數矩陣-A,未知數矩陣-X,常數矩陣-B,矩陣形式：AX=B X=inv(A)*B=A\B,一元線性回歸及有關計算,一元線性回歸 - 二變量間x和y的線性關系,,,,y,x,*,*,*,*,*,,,線性相關系數的求算,總變差平方和,,,0,S=Q(殘差平方和)+U(回歸差平方和),,,,,三、高次方程的求解,迭代法,三、高次方程的近似求解,,對方程f(x)

20、= 0 求近似解，使f(x*)≈0,設初值x0，按一定規(guī)則生成新值x1依次計算生成數列: x0,x1,x2,x3……xn lim xn =x*,│ xn-xn-1│< ε,弦截法,基本原理,迭代通式,收斂指標,牛頓-雷扶生法的基本思想,設 是f(x)=0的一個近似根，把f(x)在 處作泰勒展開 若取前兩項來近似代替f(x)(稱為f(x)的線性化)，則得近似的線性方程 設

21、 ，令其解為 ，得 這稱為f(x)=0的牛頓迭代格式。,牛頓-雷扶生法,切線逼近法,,特點：一個初始值；收斂速度快，求根方便,,,x0=1, x1 = 1- (1-2-5)/(3*1-2) =7x2=4.7655 x3=3.

22、3487 x4=2.5316 x5=2.1739 x6=2.09788 x7 =2.094552 x8=2.094552,注意點：1、 收斂標準：2、 初始值：3、 可能有多個解,,設函數 在區(qū)間 上有定義，且已知在點,上的,函數 ，,,成立，就稱 為 的插值函數，點 稱為插,值節(jié)點，包含節(jié)點的區(qū)間 稱為插值區(qū)間，求插值函數,若存在一簡單,使,的方

23、法稱為插值法。,四、插值和擬合,,若 是次數不超過 的代數多項式，,其中 為實數，就稱 為插值多項式，,若 為分段的多項式，就稱為分段插值.,若 為三角多項式，就稱為三角插值.,即,相應的插值法稱為多項式插值.,從幾何上看，插值法就是就曲線 ，使其通過給定的 個點 ，并用它近似已知曲線 .,,見圖,,對表2-2 的數據，如僅用末兩列數

24、據，則只能用線性插值得到正確的結果。 上式中x應為滴定劑體積V, y為對應的電位二次微商值(△2E/△V2)，這里要求結果為0。Ve=interp1(x,y,0,‘method’,) 0可為數組，‘method’為linear（缺?。?，nearest(最近鄰點插值)，cubic (三次插值)。,polyfit可廣泛用于各種擬合,設初始劑量為D0，每次注射劑量為D，注射間隔時間為τ，給藥方案為[D0,D,τ]。血藥濃度

25、 應保持在10～25 ug/mL之間, 則 D0 =vc2 = 375 mg, D=v(c2-c1)=225 mg 可制定給藥方案首次注射375mg，其余每次注射225mg，注射的間隔時間為4小時。,help polyfit POLYFIT Polynomial curve fitting. POLYFIT(x,y,n) finds the coefficients of a polynomial p(x

26、) of degree n that fits the data, p(x(i)) ~= y(i), in a least-squares sense. [p,S] = POLYFIT(x,y,n) returns the polynomial coefficients p and a matrix S for use with POLYVAL to produce error estimates on predicti