離散數(shù)學(xué)-第四章的課件

1、1,主要內(nèi)容一階邏輯命題符號(hào)化 個(gè)體詞、謂詞、量詞 一階邏輯命題符號(hào)化一階邏輯公式及其解釋 一階語(yǔ)言 合式公式 合式公式的解釋 永真式、矛盾式、可滿足式,第四章 一階邏輯基本概念,2,4.1 一階邏輯命題符號(hào)化,個(gè)體詞——所研究對(duì)象中可以獨(dú)立存在的具體或抽象的客體 個(gè)體常項(xiàng)：表示具體或特定的客體的個(gè)體詞，常用a, b, c表示 個(gè)體變項(xiàng)：表示抽象或泛指的個(gè)體

2、詞，常用x, y, z表示 個(gè)體域(論域)——個(gè)體變項(xiàng)的取值范圍 個(gè)體域可以是有窮集合，如 {a, b, c}, {1, 2} , … 也可以是無(wú)窮集合，如 自然數(shù)集合N, 整數(shù)集合Z, 實(shí)數(shù)集合R, … 全總個(gè)體域——由宇宙間一切事物組成，包括萬(wàn)事萬(wàn)物 本書(shū)在論述或推理中如不指明所采用的個(gè)體域，都是使用全總個(gè)體域。,3,謂詞,謂詞——表示個(gè)體詞性質(zhì)

3、或相互之間關(guān)系的詞，常用F，G，H，…表示。 謂詞常項(xiàng)——表示具體性質(zhì)或關(guān)系的謂詞。如, F(a)：a是人 謂詞變項(xiàng)——表示抽象的或泛指的性質(zhì)或關(guān)系的謂詞。如, F(x)：x具有性質(zhì)F n（n?1）元謂詞——表示以個(gè)體域?yàn)槎x域，以{0 , 1}為值域的n元函數(shù)或關(guān)系。 一元謂詞(n=1)——表示個(gè)體詞的性質(zhì) 多元謂詞(n?2)——表示個(gè)體詞之間的相互關(guān)系

4、 如, L(x,y)：x與 y 有關(guān)系 L，L(x,y)：x?y，… 0元謂詞——不含個(gè)體變項(xiàng)的謂詞, 例如：F(a) ，G(a,b) ，P(a1,a2,a3, …,an)等都是0元謂詞。 當(dāng)謂詞為謂詞常項(xiàng)時(shí)，0元謂詞為命題。 命題邏輯中的命題均可以表示成0元謂詞，因而可以將命題看成特殊的謂詞。,4,實(shí)例1,,例4.1 將下列命題在一階邏輯中用0元謂詞符號(hào)化，并討論它們的真值:

5、    (1)只有2是素?cái)?shù)，4才是素?cái)?shù)。     (2)如果5大于4，則4大于6.,解 (1)設(shè)一元謂詞F(x):x是素?cái)?shù)，a:2，b:4。(1)中命題符號(hào)化為0元謂詞的蘊(yùn)涵式:             F(b)→F(a) 由于此蘊(yùn)

6、涵式的前件為假，所以(1)中命題為真。     (2) 設(shè)二元謂詞G(x，y):x大于y，a:4，b:5，c:6。G(b,a)，G(a,c)是兩個(gè)0元謂詞，把(2)中命題符號(hào)化為            G(b,a)→G(a,c) 由于G(b,a)為真，而G(a,c)為假，所以(2)中

7、命題為假。,5,量詞,量詞——表示個(gè)體常項(xiàng)或變項(xiàng)之間數(shù)量關(guān)系的詞 全稱(chēng)量詞?: 表示所有的.如：“一切的”，“所有的”，“每一個(gè)”，“任意的”，“凡”，“都”等 ?x : 表示個(gè)體域中的所有個(gè)體x 如, ?xF(x)表示個(gè)體域中所有個(gè)體x都有性質(zhì)F ?x?yG(x,y)表示個(gè)體域中的所有個(gè)體x和y有關(guān)系G，其中F和G是謂詞。 存在量詞?: 表示存在, 有一個(gè). 如：

8、“存在”，“有一個(gè)”，“有的”，“至少有一個(gè)”，“有的”，“至少有一個(gè)”等 ?x : 個(gè)體域中存在個(gè)體x 如, ?xF(x)表示個(gè)體域中存在個(gè)體x具有性質(zhì)F ?x?yG(x,y)表示個(gè)體域中存在個(gè)體x和y有關(guān)系G全稱(chēng)量詞?與存在量詞?可以聯(lián)合使用。 ?x?yG(x,y)表示對(duì)個(gè)體域中每一個(gè)個(gè)體x都存在一個(gè)個(gè)體y使得

9、 x和y有關(guān)系G ?x?yG(x,y)表示個(gè)體域中存在個(gè)體x使得和個(gè)體域中的所有個(gè)體y具有關(guān)系G,6,實(shí)例2,例4.2 在個(gè)體域分別限制為(a)和(b)條件時(shí)，將下面兩個(gè)命題符號(hào)化:     (1) 凡人都呼吸。     (2) 有的人用左手寫(xiě)字。 其中:(a)個(gè)體域D1為人類(lèi)集合；&#

10、160;     (b)個(gè)體域D2為全總個(gè)體域。,解 (a) 令F(x) :x呼吸. G(x)： x用左手寫(xiě)字 (1) 符號(hào)化為 ?xF(x),(2) 符號(hào)化為 ?xG(x),(b) D2中處有人外，還有萬(wàn)物，因而在符號(hào)化時(shí)必須考慮將人先分離出來(lái)。為此引入特性謂詞M(x)：x為人, F(x) 和 G(x)的含義同(a)中。,(1) ?x(M(x)?F(x)),

11、(2) ?x(M(x)?G(x)),一定要注意正確使用特性謂詞M(x) 、 ?和?聯(lián)接詞。(a)中的公式(1),(2)是一階邏輯中兩個(gè)“基本”公式,當(dāng)F是謂詞常項(xiàng)時(shí)， ?xF(x)是一個(gè)命題。如果把個(gè)體域中的任何一個(gè)個(gè)體a代入，F(xiàn)(a)都為真，則?xF(x)為真；否則?xF(x)為假。,當(dāng)F是謂詞常項(xiàng)時(shí)， ?xF(x)也是一個(gè)命題。如果個(gè)體域中存在一個(gè)個(gè)體a，使得F(a)都為真，則?xF(x)為真；否則?xF(x)為假。,7,實(shí)例3,

12、例4.3 在個(gè)體域限制為(a)和(b)條件時(shí)，將下列命題符號(hào)化 ，并給出真值:     (1) 對(duì)于任意的x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2).     (2) 存在x，使得x+5=3. 其中: (a)個(gè)體域D1=N      (b)個(gè)體域D2=R,解 (a) 令F(x)：x2-3x+2=(x

13、-1)(x-2)，G(x): x+5=3 (1) 符號(hào)化為 ?xF(x) 真命題,(2) 符號(hào)化為 ?xG(x) 假命題,(b)在D2內(nèi)，(1)和(2)的符號(hào)化形式還是同(a)，(1)依然是真命題，而此時(shí)(2)也是真命題。,從例4.2和例4.3可以看出以下兩點(diǎn):     1. 在不同個(gè)體域內(nèi)，同一個(gè)命題的符號(hào)化形式可能不同，

14、也可能相同。     2. 同一個(gè)命題，在不同個(gè)體域中的真值也可能不同。 3.若沒(méi)有指明個(gè)體域，就采用全總個(gè)體域.,8,實(shí)例4,例4.4 將下列命題符號(hào)化，并討論真值    (1)所有的人都長(zhǎng)著黑頭發(fā)。  (2)有的人登上過(guò)月球。 (3)沒(méi)有人登上過(guò)木星。  (4)在美國(guó)留學(xué)的學(xué)生未必都是亞洲人。,解

15、 令M(x)：x為人 (1) 令F(x): x長(zhǎng)著黑頭發(fā), 則命題(1)符號(hào)化為: ?x(M(x)?F(x)) 設(shè)a為某金發(fā)姑娘，則M(a)為真，而F(a)為假，其(1)為假命題,(2)令G(x):x登上過(guò)月球,則命題(2)符號(hào)化為: ?x(M(x)?G(x)) 設(shè)a是1969年登上月球完成阿波羅計(jì)劃的美國(guó)宇航員阿姆斯特朗，則M(a)∧G(a)為真，

16、所以(2) 為真命題。,9,,(3)令H(x):x登上過(guò)木星,則命題(3)符號(hào)化為: ? ?x(M(x)?H(x)) 到目前為止，對(duì)于任何一個(gè)人(含已經(jīng)去世的人)都還沒(méi)有登上過(guò)木星，所以對(duì)任何人a，M(a)∧H(a)均為假，因而?(M(x)∧H(x))為假，所以(3) 為真命題。,(4)令F(x):x是在美國(guó)留學(xué)的學(xué)生，G(x):x是亞洲人。命題(4)符號(hào)化形式為 &#

17、160;             ? ?x(F(x)?G(x))       這個(gè)命題也為真。,例4.4 將下列命題符號(hào)化，并討論真值    (1)所有的人都長(zhǎng)著黑頭發(fā)。  (2)有的人登上過(guò)月球。

18、(3)沒(méi)有人登上過(guò)木星。  (4)在美國(guó)留學(xué)的學(xué)生未必都是亞洲人。,10,實(shí)例5,例4.5 將下列命題符號(hào)化:     (1) 兔子比烏龜跑得快。     (2) 有的兔子比所有的烏龜跑得快。     (3) 并不是所有的兔子都比烏龜跑得快。     (4

19、) 不存在跑得同樣快的兩只兔子。,解:令F(x):x是兔子，G(y):y是烏龜， H(x,y):x比y跑得快，L(x,y):x與y跑得同樣快。 這4個(gè)命題分別符號(hào)化為 (1)  ? x ? y(F(x)∧G(y)→H(x,y))   (2) ? x(F(x)∧? y(G(y)→H(x,y)) 或 ?x? y(F(x)∧(G(y)→H(x,y))(3) ??x? y(F(

20、x)∧G(y)→H(x,y))或 ?x? y(F(x)∧G(y)∧?H(x,y))   (4) ??x?y(F(x)∧F(y)∧L(x,y)) 或  ?x?y(F(x)∧F(y) → ? L(x,y)),11,,注意：1、分析命題中的表示性質(zhì)和關(guān)系的謂詞，分別符號(hào)化為一元謂詞和n(n≥2)元謂詞.2、根據(jù)命題的實(shí)際意義選用全稱(chēng)量詞?或存在量詞?.3、 一般說(shuō)來(lái)，多個(gè)量詞出現(xiàn)時(shí)，它們的順序不能隨意調(diào)換

21、. 4、命題的符號(hào)化形式不惟一.,對(duì)于含n元謂詞的命題，在符號(hào)化時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：,12,4.2 一階邏輯公式及解釋,定義4.1 設(shè)L是一個(gè)非邏輯符號(hào)集合, 由L生成的一階語(yǔ)言L 的字母表包括下述符號(hào)：非邏輯符號(hào) (1) L中的個(gè)體常項(xiàng)符號(hào)：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i ?1 (2) L中的函數(shù)符號(hào)：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i ?1 (3) L中的謂詞符

22、號(hào)：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i ?1邏輯符號(hào) (4) 個(gè)體變項(xiàng)符號(hào)：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i ?1 (5) 量詞符號(hào)：?, ? (6) 聯(lián)結(jié)詞符號(hào)：?, ?, ?, ?, ? (7) 括號(hào)與逗號(hào)：(, ), ， .,13,一階語(yǔ)言L的項(xiàng)與原子公式,定義4.2 一階語(yǔ)言L的項(xiàng)的定義如下：(1) 個(gè)體常項(xiàng)和個(gè)體變項(xiàng)是項(xiàng).(2) 若?(x1

23、, x2, …, xn)是任意的n元函數(shù)，t1, t2, …, tn是任意的 n個(gè)項(xiàng)，則?(t1, t2, …, tn) 是項(xiàng).(3) 所有的項(xiàng)都是有限次使用(1),(2)得到的 如, a, x, x+y, f(x), g(x,y),f(x+y,z), g(x·y,y) , h(x·y, x+y+z)等都是項(xiàng),定義4.3 設(shè)R(x1, x2, …, xn)是一階語(yǔ)言L的任意的n元謂詞，

24、t1, t2, …, tn是一階語(yǔ)言L的任意的n個(gè)項(xiàng)，則稱(chēng)R(t1, t2, …, tn)是一階語(yǔ)言L的原子公式. 如，F(xiàn)(x, y), F(f(x1, x2), g(x3, x4))等均為原子公式原子公式是由項(xiàng)組成的n元謂詞,14,定義4.4 一階語(yǔ)言L的合式公式定義如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，則 (?A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，則(A?B), (A?B),

25、 (A?B), (A?B)也是 合式公式 (4) 若A是合式公式，則?xA, ?xA也是合式公式 (5) 只有有限次地應(yīng)用(1)—(4)形成的符號(hào)串才是合式公式.L的合式公式也稱(chēng)為謂詞公式，簡(jiǎn)稱(chēng)公式。如, F(x), F(x)??G(x,y), ?x(F(x)?G(x)) ?x?y(F(x)?G(y)?L(x,y))等都是合式公式,一階語(yǔ)言L的合式公式,15,轄域、指導(dǎo)變?cè)?、約束變?cè)?、約束

26、出現(xiàn)、自由出現(xiàn),定義4.5 在公式 ?xA 和 ?xA 中，稱(chēng)x為指導(dǎo)變?cè)?，A為相應(yīng)量詞的轄域. 在?x和?x的轄域中，x的所有出現(xiàn)都稱(chēng)為約束出現(xiàn)，A中不是約束出現(xiàn)的其它變項(xiàng)均稱(chēng)為自由出現(xiàn). 例如，?x(F(x,y)?G(x,z))， x為指導(dǎo)變?cè)?F(x,y)?G(x,z))為?x 的轄域，x的兩次出現(xiàn)均為約束出現(xiàn)，y與 z 均為自由出現(xiàn)又如, ?x(F(x,y,z)??y(G(x,y)?H(x,y,z))), ?x中的x是指

27、導(dǎo)變?cè)? 轄域?yàn)?F(x,y,z)??y(G(x,y)?H(x,y,z))). ?y中的y是指導(dǎo)變?cè)? 轄域?yàn)?G(x,y)?H(x,y,z)). x的3次出現(xiàn)都是約束出現(xiàn), y的第一次出現(xiàn)是自由出現(xiàn), 后2次是約束出現(xiàn), z的2次出現(xiàn)都是自由出現(xiàn)。注意：在以上公式中，前件中的x（它在?x的轄域中）與后件中的x （它不在?x的轄域中）不是同一個(gè)東西，而是兩個(gè)不同的東西使用了同一個(gè)符號(hào)，如同兩個(gè)人都叫李四，是兩個(gè)不同的人起了同一個(gè)名字。

28、,16,封閉的公式,定義4.6 若公式A中不含自由出現(xiàn)的個(gè)體變項(xiàng)，則稱(chēng)A為封閉的公式，簡(jiǎn)稱(chēng)閉式.例如，?x?y(F(x)?G(y)?H(x,y)) 為閉式，而 ?x(F(x)?G(x,y)) 不是閉式,17,設(shè)公式A，規(guī)定在解釋I下, 取個(gè)體域DI , 把A中的個(gè)體常項(xiàng)符號(hào)a、函數(shù)符號(hào)f、謂詞符號(hào)F分別替換成它們?cè)贗中的解釋 、 、 , 稱(chēng)所得到的公式A?為A在I下的解釋, 或A在I下被解釋成 A

29、?.,公式的解釋,,,,定義4.7 設(shè)L是非邏輯符號(hào)集合L生成的一階語(yǔ)言, L的解釋I由4部分組成： (a) 非空個(gè)體域 DI . (b) 對(duì)每一個(gè)個(gè)體常項(xiàng)符號(hào)a?L, 有一個(gè) ?DI , 稱(chēng) 為a在I 中的解釋. (c) 對(duì)每一個(gè)n元函數(shù)符號(hào)f?L , 有一個(gè)DI上的n元函數(shù) , 稱(chēng)

30、 為f在I中的解釋. (d) 對(duì)每一個(gè)n元謂詞符號(hào)F?L, 有一個(gè)DI上的n元謂詞常項(xiàng) , 稱(chēng) 為F在I中的解釋.,18,實(shí)例,,,,例4.8 給定解釋 I 如下： (a) 個(gè)體域 D=N (b) (c) (d) 寫(xiě)出下列公式在I下的解釋, 并指出它的真值.    (1)F(f(x,y),g(x,y))

31、    (2)F(f(x,a),y)→F(g(x,y),z)     (3)┐F(g(x,y),g(y,z))     (4) ? xF(g(x,y),z)     (5) ? xF(g(x,a),x)→F(x,y)     (6) ? xF

32、(g(x,a),x)     (7) ? x ? y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))     (8) ? x ? y ? zF(f(x,y),z)     (9) ? xF(f(x,x),g(x,x)),在I下，(1)中公式被解釋成“x+y=x·y”，這不是命題。真值不確定。,在I下，

33、(2)中公式被解釋成“(x+0=y)→(x·y=z)”，這不是命題。真值不確定。,在I下，(3)中公式被解釋成“x·y≠y·z”，這不是命題。真值不確定。,在I下，(4)中公式被解釋成“?x(x·y＝z)”，不是命題。真值不確定。,在I下，(5)中公式被解釋成“?x(x·0=x)→(x=y)”，由于蘊(yùn)涵式的前件為假，所以被解釋的公式為真。,在I下，(6)中公式被解釋成“?x(x·

34、;0=x)”，為假命題。,在I下，(7)中公式被解釋成“?x?y((x+0=y)→(y+0=x))”，為真命題。,在I下，(8)中公式被解釋成“?x?y?z(x+y=z)”，這也為真命題。,在I下，(9)中公式被解釋成“?x(x+x=x·x)”，為真命題。,19,公式的類(lèi)型,定理4.1 閉式在任何解釋下都是命題注意: 不是閉式的公式在某些解釋下可能是命題, 也可能不是命題. 定義4.8 若公式A在任何解釋下均為真, 則

35、稱(chēng)A為永真式(邏輯有效式). 若A在任何解釋下均為假, 則稱(chēng)A為矛盾式(永假式). 若至少有一個(gè)解釋使A為真, 則稱(chēng)A為可滿足式.幾點(diǎn)說(shuō)明： 永真式為可滿足式，但可滿足式不一定是永真式。 判斷公式是否是可滿足的(永真式, 矛盾式)是不可判定的。,20,代換實(shí)例,定義4.9 設(shè)A0是含命題變項(xiàng) p1, p2, …, pn的命題公式，A1, A2, …, An是n個(gè)謂詞公式，用Ai 處處代替A0中的pi ，1?i?n

36、，所得公式A稱(chēng)為A0的代換實(shí)例.例如， F(x)?G(x), ?xF(x)??yG(y)等都是p?q的代換實(shí)例.定理4.2 重言式的代換實(shí)例都是永真式，矛盾式的代換實(shí)例都是矛盾式.,21,實(shí)例,例4.9 判斷下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？(1) ?x(F(x)?G(x)),解：解釋I1: 個(gè)體域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式為真 解釋I2: 個(gè)體域N, F(x):x<

37、;5, G(x):x<4, 公式為假結(jié)論: 非永真式的可滿足式,22,實(shí)例,例4.9 判斷下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？,(2) ?x(F(x)?G(x)),解：解釋I1: 個(gè)體域?yàn)閷?shí)數(shù)集合R，F(xiàn)(x):x2+1=1，G(x): x+1=1，公式（2）在I1下為真。公式（2）是可滿足式。解釋I2: 個(gè)體域?yàn)閷?shí)數(shù)集合R，F(xiàn)(x): x2-1=1，G(x): x2+1=1，公式（2）在解釋I2下為假。公式（

38、2）不是永真式。結(jié)論: 公式（2）是非永真式的可滿足式,23,實(shí)例,例4.9 判斷下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (3) ?xF(x)?(?x?yG(x,y)??xF(x)),解：重言式 p?(q?p) 的代換實(shí)例，故為永真式.,(4) ?(?xF(x)??yG(y))??yG(y),解：矛盾式 ?(p?q)?q 的代換實(shí)例，故為永假式.,24,實(shí)例,例4.10 判斷下列公式的類(lèi)型： (1) ?xF(x)??x

39、F(x),解：記(1)中的公式為A。 設(shè)I為任意一個(gè)解釋?zhuān)瑐€(gè)體域?yàn)镈. 若后件?xF(x)為假，則對(duì)所有的x∈D ，F(xiàn)(x)為假。于是，?xF(x)為假，從而A為真。所以，在I下A為真。由I的任意性，A是永真式。,25,實(shí)例,例4.10 判斷下列公式的類(lèi)型： (2) ?x?yF(x , y)??x?yF(x , y),解：記(2)中的公式為B。 解釋I1：個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)集合N，F(xiàn)(x , y)：x≤y 。在

40、I1下B的前件與后件均為真，B為真，所以B是可滿足式。 解釋I2：個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)集合N， F(x , y)：x＝y(tǒng) 。在 I2下，B的前件為真后件為假， B為假，所以B不是永真式。 故B為非永真式的可滿足式。,26,實(shí)例,例4.10 判斷下列公式的類(lèi)型： (3) ?x(F(x)∧G(x))??yG(y),解：記(3)中的公式為C。 解釋I1：個(gè)體域?yàn)閷?shí)數(shù)集合R，F(xiàn)(x)：x是無(wú)理數(shù)，G(x)：x

41、能表示成分?jǐn)?shù)。在I1下C的前件為假，所以C為真，C是可滿足式。 解釋I2：個(gè)體域?yàn)閷?shí)數(shù)集合R，F(xiàn)(x)：x是整數(shù)，G(x)：x是有理數(shù)。在I2下，C的前件為真后件為假，C為假，所以C不是永真式。 故C為非永真式的可滿足式。,27,作業(yè),書(shū)本第66頁(yè)第9題的第（1）和（3）兩個(gè)小題第11題的第（1）、（3）、（6）三個(gè)小題 請(qǐng)大家把答案寫(xiě)在科作業(yè)紙上，注意寫(xiě)明題號(hào)。下次上課之前交給我。,28,第四

42、章 習(xí)題課,主要內(nèi)容個(gè)體詞、謂詞、量詞一階邏輯命題符號(hào)化一階語(yǔ)言L 項(xiàng)、原子公式、合式公式公式的解釋 量詞的轄域、指導(dǎo)變?cè)€(gè)體變項(xiàng)的自由出現(xiàn)與約束出現(xiàn)、閉式、解釋公式的類(lèi)型 永真式(邏輯有效式)、矛盾式(永假式)、可滿足式,29,基本要求,準(zhǔn)確地將給定命題符號(hào)化 理解一階語(yǔ)言的概念 深刻理解一階語(yǔ)言的解釋 熟練地給出公式的解釋 記住閉式的性質(zhì)并能應(yīng)用它 深刻理解永真式、矛盾式、可滿足式的概

43、念, 會(huì)判斷簡(jiǎn) 單公式的類(lèi)型,30,練習(xí)1,1. 在分別取個(gè)體域?yàn)?(a) D1=N (b) D2=R (c) D3為全總個(gè)體域的條件下, 將下面命題符號(hào)化，并討論真值 (1) 對(duì)于任意的數(shù)x，均有,解 設(shè)G(x): (a) ?xG(x),(b) ?xG(x),(c) 又設(shè)F(x):x是實(shí)數(shù) ?x(F(x)?G(x)),真,真,假,31,練習(xí)1

44、(續(xù)),解 設(shè)H(x)：x+7=5 (a) ?xH(x),,(2) 存在數(shù)x，使得 x+7=5,(b) ?xH(x),(c) 又設(shè)F(x)：x為實(shí)數(shù) ?x(F(x)?H(x)),本例說(shuō)明：不同個(gè)體域內(nèi)，命題符號(hào)化形式可能不同（也可能相同），真值可能不同（也可能相同）.,真,真,假,32,練習(xí)2,2. 在一階邏輯中將下列命題符號(hào)化 (1) 大熊貓都可愛(ài),(2) 有人愛(ài)發(fā)脾氣,(3) 說(shuō)所有人

45、都愛(ài)吃面包是不對(duì)的,設(shè)F(x): x為大熊貓，G(x): x可愛(ài) ?x(F(x)?G(x)),設(shè)F(x): x是人，G(x): x愛(ài)發(fā)脾氣 ?x(F(x)?G(x)),設(shè)F(x): x是人，G(x): x愛(ài)吃面包 ??x(F(x)?G(x)) 或 ?x(F(x)??G(x)),33,練習(xí)2,(4) 沒(méi)有不愛(ài)吃糖的人,(5) 任何兩個(gè)不同的人都不一樣高,(6) 不是所有的汽車(chē)都比所有的火車(chē)快,設(shè)F(x):

46、x是人，G(x): x愛(ài)吃糖??x(F(x)??G(x)) 或 ?x(F(x)?G(x)),設(shè)F(x):x是人, H(x,y), x與y相同, L(x,y): x與y一樣高 ?x(F(x)??y(F(y)??H(x,y)??L(x,y))) 或 ?x?y(F(x)?F(y)??H(x,y)??L(x,y)),設(shè)F(x):x是汽車(chē), G(y):y是火車(chē), H(x,y):x比y快 ??x?y(F(x)?G(

47、y)?H(x,y)) 或 ?x?y(F(x)?G(y)??H(x,y)),34,練習(xí)3,?x(2x=x) 假,,3. 給定解釋 I 如下: (a) 個(gè)體域D=N (b) =2 (c) (d) 說(shuō)明下列公式在 I 下的涵義,并討論真值 (1) ?xF(g(x,a),x),(2) ?x?y(F(f(x,a),y)?F(f(y,a),x)),?x?y(x+2=y

48、?y+2=x) 假,35,練習(xí)3,(3) ?x?y?zF(f(x,y),z),,(5) ?xF(f(x,x),g(x,x)),(4) ?x?y?zF(f(y,z),x),?x?y?z(y+z=x) 假,?x?y?z(x+y=z) 真,?x(x+x=x?x) 真,(3),(4)說(shuō)明?與?不能隨意交換,36,練習(xí)4,4. 證明下面公式既不是永真式，也不是矛

49、盾式:,(1) ?x(F(x)?G(x)),(2) ?x?y(F(x)?G(y)?H(x,y)),解釋1: D1=N, F(x):x是偶數(shù), G(x): x是素?cái)?shù), 真,解釋2: D2=N, F(x):x是偶數(shù), G(x): x是奇數(shù), 假,解釋1: D1=Z, F(x):x是正數(shù), G(x): x是負(fù)數(shù), H(x,y):x>y

50、 真,解釋2: D2=Z, F(x):x是偶數(shù), G(x): x是奇數(shù), H(x,y):x>y 假,37,練習(xí)5,5. 證明下列公式為永真式: (1) (?xF(x)??yG(y))??xF(x)??yG(y),(2) ?x(F(x)?(F(x)?G(x))),(A?B)?A?B的代換實(shí)例,設(shè)I是任意的一個(gè)解釋, 對(duì)每一個(gè)x?DI, F(x)?(F(x)?G(x))