數(shù)論的發(fā)展及其它學科

1、數(shù)論與或然數(shù)學的發(fā)展,7.1數(shù)論,7.1.1素數(shù)分布,費馬數(shù)Fn = +1, n = 0,1,2,…n = 0，1，2，3，4時，F(xiàn)n是素數(shù)。人們進而希望解決的問題是：是否存在著無限多個費馬素數(shù)。這也是一個至今未解決的難題,梅森數(shù)Mp = 2p－1,其中p為素數(shù)已知道的梅森素數(shù)共34個，其中從p =521開始的素數(shù)Mp是1952年以后用計算機陸續(xù)發(fā)現(xiàn)的檢驗梅森數(shù)是否為素數(shù)的方法稱為盧卡斯—萊默檢驗,例如, 用盧卡斯—萊默檢驗判斷

2、M5是否為素數(shù)，因M5=25－1=31,于是可作下述計算：U（0）=4，U（1）=（42－2）（mod31）=14(mod31)=14,U(2)=(142－2)(mod31)=194(mod31)=8,U(3)=(82－2)(mod31)=62(mod31)=0由于U（3）= 0，M5必為素數(shù)。,利用因數(shù)表研究素數(shù),拉恩于(1659年)發(fā)表了2.4萬以內的因數(shù)表；佩爾(1668年)擴大至10萬；費爾克爾(1776年)給出了

3、40.8萬以內的一切數(shù)的因數(shù)表, 19世紀不少學者算出了1000萬以內的所有數(shù)的因數(shù)表,其中布拉格大學的庫利克為此花費了20年的業(yè)余時間,素數(shù)定理,若用π（n）表示不超過n的素數(shù)的個數(shù)。當n→+時,= +。人們可以發(fā)現(xiàn)：順著自然數(shù)的序列，越往后素數(shù)的“密度” π（n）/ n就變得越小,7.1.2 陳氏定理—數(shù)學皇冠上的明珠,哥德巴赫猜想(1742年) 每個偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和；每個奇數(shù)都是三個素數(shù)之和,哥德巴赫猜想的研究進展

4、,數(shù)學家哈代和李特爾伍德(英國,1923年)在廣義黎曼猜想正確的前提下，有條件地證明了每個充分大的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和以及幾乎所有偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和。維諾格拉多夫(1937年),無條件地證明了奇數(shù)哥德巴赫猜想，即每個充分大的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和布朗(挪威1919年)證明了：每個大偶數(shù)都是兩個素因子個數(shù)均不超過9的整數(shù)之和（記為9 + 9，記號k + l表示大偶數(shù)分解為不超過k個奇素數(shù)的積與不超過l個奇素數(shù)的積之和，下同）布

5、赫夕塔布的4 + 4（1940）、瑞尼的l+c (c為一不確定大數(shù))（1948）和庫恩的a+b (a+b≤6)(1954);王元的2+3（1957）和潘承洞的1+5（1962），到1965年，歐洲數(shù)學家邦別里等三人差不多同時證明了1 + 3；1966年，中國數(shù)學家陳景潤宣布證明了1+2（1973年發(fā)表詳細證明）,陳景潤（1933~1996）簡介,圖7.1華羅庚（右）與陳景潤（左）,7.1.3費馬最后定理,費馬猜想：對每個正整數(shù)n≥3，

6、方程xn + yn = zn均沒有正整數(shù)解（x, y, z）。費馬本人利用無限下降法證明了n=4時，費馬猜想成立。1825年年僅20歲的德國數(shù)學家狄利克雷和年過七旬的法國數(shù)學家勒讓德各自獨立地證明了n = 5的情形，1839年法國數(shù)學家拉梅證明了n = 7的情形。,歐拉的整數(shù)分解的”定理”：,由a + b形式的數(shù)所形成的數(shù)系（記為,a,b為任意整數(shù)）中，有唯一因子分解定理成立，即每一個整數(shù)都可唯一地分解為這個數(shù)系中數(shù)的乘積。后來才

7、知道，對形如的數(shù)系，唯一因子分解定理并不總是成立的，例如在數(shù)系中，6 = 3×2 =（1+）（1－），就有兩種分解方式。事實上，能保證唯一因子分解定理成立的數(shù)系只有9種,德國的數(shù)學家?guī)炷瑺枺?810~1893）利用理想數(shù)的概念，證明了對于 100以內的所有素數(shù)，都能使費馬猜想成立。志村－韋伊—谷山猜想——費馬猜想的等價命題懷爾斯的論文“模曲線和費馬最后定理” （1994年）——費馬猜想終于成為定理，被稱為費馬大定理或費馬最

8、后定理,7.1.4 讓我們教猜想吧,費馬猜想是只“會下金蛋的鵝”,1966年菲爾茲獎獲得者、英國數(shù)學家阿蒂亞（1929~）認為：“與其它自然科學的情況一樣，數(shù)學中的一些發(fā)現(xiàn)也要經過幾個階段才能實現(xiàn)，而形式證明只是最后一步。最初階段在于鑒別出一些重要的事實，將它們排列成具體含義的模式，并由此提煉出看起來很有道理的定律或公式。接著，人們用新的經驗事實來檢驗這種公式。只是到了此時，數(shù)學家們才開始考慮證明問題。”,958年菲爾茲獎獲得者、突變理

9、論的創(chuàng)立者、法國數(shù)學家托姆用半開玩笑的態(tài)度說：“嚴格性是一個拉丁名詞。我們會想起僵死（rigormorits），即僵化的尸體。我要把數(shù)學分為以下的三類：第一，以嬰兒搖籃為標記。這是‘活的數(shù)學’允許改變、澄清、完成證明、反對、反駁。第二，以十字架為標記。這是墳墓上的十字架。作者聲明它已完全嚴格，具有不朽的正確性。這類工作將構成‘墳墓數(shù)學’。第三，以教堂為標記。這是外部的權威，由高級教士組成，判斷哪些工作已成為‘墳墓數(shù)學’?！?推測數(shù)學家的

10、成功范例之一是印度數(shù)學家拉馬努金（1887~1920）波利亞認為，在數(shù)學教育中，“證明與猜想，這兩類推理即論證的與合情的”都必須教給學生，“在有些情況下教猜想比教證明更為重要。”因此，波利亞強烈的呼吁：“讓我們教猜想吧！”,7.2 概率論,7.2.1 點的問題及數(shù)學期望概率論源于15世紀下半葉的博奕問題的研究。點的問題（1654年）,在兩個技巧相當?shù)馁€徒A和B之間進行賭博，A獲得2點或2點以上時為獲勝者，B則需獲得3點或3點

11、以上時為獲勝者。如果通過四次投骰子后就停止賭博，問此時如何分配賭金。,帕斯卡的解法,帕斯卡利用自己對楊輝三角（見第二章）的研究這樣解決這個問題：如果用表示0出現(xiàn)四次的情況數(shù)，表示0出現(xiàn)三次的情況數(shù)等等。于是上述點問題的解是： （++）：（+）=（1+4+6）：（4+1）=11：5。在一般情況下，若A需要至少m點取勝，B需要至少n點取勝，則可選擇揚輝三角的第m+n行，求出該行中的前n個元素和α與后m個元素和β，并按α：β之比來分配

12、賭金。,費馬的解法,分別用0、1代表A、B在一次投骰子時成為獲勝者，然后計算0、1兩種字母在每次取4個的16種排列：0000 0001 0110 11011000 1100 0101 10110100 1010 0011 01110010 1001 1110 1111在這16種排列中，0至少出現(xiàn)2次的情況有11種，而1至少出現(xiàn)3次的情況有5種。由此費馬認為，賭金應按11：5來分配

13、。,數(shù)學期望”概念的的產生（荷蘭數(shù)學家、物理學家惠更斯，1657年）,賭局開始之前，對每一個賭徒來說就已有了關于結局的一種“期望”，如果共有N種等可能的結果，其中，n種結果使他獲得賭金為a，其余結果使他獲賭金為b，則他的期望為,7.2.2 概率理論的發(fā)展,,隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象從個體上看，似乎并沒有什么規(guī)律可言，但當它們大量出現(xiàn)的時候，在總體上就會呈現(xiàn)出某種規(guī)律，即大數(shù)規(guī)律。,伯努利大數(shù)定理（1713年）：若p是出現(xiàn)單獨一次事件的概率

14、，q是不出現(xiàn)該事件的概率，則在n次試驗中該事件至少出現(xiàn)m次的概率，等于二項式（p+q）n的展開式中從pn項到包括pmqn-m為止的各項之和,棣莫弗—拉普拉斯定理。又稱為“中心極限定理”拉普拉斯（1812）明確表述了概率論的基本定義和定理。給出了概率的古典定義，廣泛應用了分析工具處理概率的問題，將以往零散的研究成果系統(tǒng)化，并將概率論的研究方法從組合技巧發(fā)展到分析方法，使概率論研究進入了一個新的發(fā)展階段。,19世紀下半葉，俄國數(shù)學家切

15、比雪夫（1821~1894）與他的學生馬爾可夫（1856~1922）利用極限理論研究概率論，取得了突出的成就。建立了關于獨立隨機變量序列的大數(shù)定律，使貝努利和泊松的大數(shù)定律成為其特例。切比雪夫還將棣莫弗—拉普拉斯極限定理推廣為更一般的中心極限定理?！榜R爾可夫鏈”則是概率論中的重要理論概率論在整個18與19世紀成了熱門學科，,7.2.3 概率論的公理化,貝特朗（法國，1899年）提出的概率論悖論，將矛頭直指概率論基本概念,20 世紀初

16、，由勒貝格創(chuàng)立的測度論和積分論為概率的研究提供了新的手段 柯爾莫戈洛夫（前蘇聯(lián)，1933年）建立概率論的公理化體系,7.3 數(shù)理統(tǒng)計,,數(shù)理統(tǒng)計是通過樣本數(shù)據(jù)的分析預測整體狀態(tài)的數(shù)學理論與方法。該分支研究的數(shù)據(jù)帶有隨機性，因此，它與概率研究有著密切的聯(lián)系數(shù)理統(tǒng)計則起源于17至18世紀地質與生物進化統(tǒng)計的研究，在20世紀形成了用數(shù)學方法研究統(tǒng)計規(guī)律的專業(yè)分支，是形成較晚的數(shù)學分支,英國數(shù)學家、生物學家皮爾遜（1857~1936）,是使

17、用數(shù)學方法系統(tǒng)研究生物統(tǒng)計的第一人。他潛心研究數(shù)據(jù)的分布理論，并先后提出標準差、正態(tài)曲線、概率、相關等一系列數(shù)理統(tǒng)計學名詞和概念。致力于大樣本的研究，在第一次世界大戰(zhàn)期間，皮爾遜還用統(tǒng)計方法處理過大量的與戰(zhàn)爭有關的特殊計算。,英國數(shù)學家、化學家戈塞特（1876~1937）,他在釀酒公司擔任釀造化學技師期間，開創(chuàng)小樣本統(tǒng)計理論， 1908年，提出了t分布函數(shù)、t檢驗，此舉成為統(tǒng)計推斷理論發(fā)展史上的里程碑。,美國數(shù)學家弗歇（1890~196

18、2）,他是另一個數(shù)理統(tǒng)計的奠基人。他從事數(shù)理統(tǒng)計在農業(yè)科學和遺傳學中應用的研究。開創(chuàng)了試驗設計、方差分析，并確立了統(tǒng)計推斷的基本方法。20世紀30—50年代，弗歇成為數(shù)理統(tǒng)計學研究的中心人物并建立了自己的學派。他所研究的成果，實用價值卻很大。在他的手里，數(shù)理統(tǒng)計學脫離生物計量學的范圍獲得獨立。他所提出的z分布由他的學生改進后被稱為F分布（用他的名字Fisher的第一個字母命名），現(xiàn)在廣泛使用的方差分析、實驗設計、參數(shù)估計,1928年原籍

19、波蘭的美國數(shù)學家奈曼（1894~1981）和K·皮爾遜之子E·皮爾遜建立了嚴格的假設檢驗理論。1946年瑞典數(shù)學家克拉梅爾出版了《統(tǒng)計數(shù)學方法》，這部書收集了半個多世紀以來的數(shù)理統(tǒng)計研究成果，它標志著數(shù)理統(tǒng)計作為一門獨立的數(shù)學分支正式確立。第二次世界大戰(zhàn)中，由于軍事的需要，數(shù)學家沃爾德（1902~1950）創(chuàng)立了“序貫分析法”，許多數(shù)理分支，如參數(shù)估計，都受到這種理論的影響而得到發(fā)展。1940年代之后，數(shù)理統(tǒng)計