北京交通大學(xué)最優(yōu)控制理論與算法研究生課程第五章-線性二次型最優(yōu)控制

1、線性二次型最優(yōu)控制(1/12),第5章 線性二次型最優(yōu)控制對于最優(yōu)控制問題, 極大值原理很好地描述了動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制解的存在性。但對于復(fù)雜的控制問題,如非線性系統(tǒng)的控制問題、系統(tǒng)模型與性能指標(biāo)函數(shù)對控制量u(t)不為連續(xù)可微的控制問題, 其最優(yōu)控制規(guī)律存在性確定有很多困難, 如非線性常微分方程求解最優(yōu)控制的非平凡性問題,會帶來閉環(huán)控制系統(tǒng)工程實現(xiàn)時困難性, 難以得到統(tǒng)一、簡潔的最優(yōu)控制規(guī)律的表達(dá)式。,,,線性二次型最優(yōu)控

2、制(2/12),然而，對于線性系統(tǒng), 若以狀態(tài)變量x(t)和控制變量u(t)的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)泛函, 這種動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題稱為線性系統(tǒng)的最優(yōu)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題,簡稱為線性二次型問題，則有很多好的性質(zhì)。該類問題的優(yōu)點是能得到最優(yōu)控制解u*(t)的統(tǒng)一解析表達(dá)形式和一個簡單的且易于工程實現(xiàn)的最優(yōu)狀態(tài)反饋律。因此, 線性二次型問題對于從事自動控制研究的理論工作者和工程技術(shù)人員都具有很大吸引力。近40年來,人們

3、對各種最優(yōu)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)以及設(shè)計方法進(jìn)行了多方面的研究,并且有許多成功的應(yīng)用。,,,線性二次型最優(yōu)控制(3/12),線性二次型問題是最優(yōu)控制理論中發(fā)展最為成熟、最有系統(tǒng)性、應(yīng)用最為廣泛和深入的分支。本節(jié)將陸續(xù)介紹線性二次型問題及其解的存在性、唯一性和最優(yōu)控制解的充分必要條件。線性系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題可表述如下，,,,,線性二次型最優(yōu)控制(4/12),線性二次型最優(yōu)控制問題 對于線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出

4、方程為 式中, x(t)是n維狀態(tài)向量, u(t)是r維控制向量, y(t)是m維輸出向量假定：A(t)，B(t)和C(t)分別是n×n,n×r和m×n維的分段連續(xù)的時變矩陣。 假定系統(tǒng)的維數(shù)滿足0<m?r?n, 且u(t)不受約束。z(t) 表示m維期望的輸出, 則定義輸出誤差向量如下 e(t)=z(t)-y

5、(t),,,,線性二次型最優(yōu)控制(5/12),控制的目標(biāo)是尋找最優(yōu)控制函數(shù)u*(t), 使下列二次型性能指標(biāo)泛函為最小式中, F為m×m 維非負(fù)定的常數(shù)矩陣;Q(t)為m×m 維時變的分段連續(xù)的非負(fù)定矩陣;R(t)為r×r 維時變的分段連續(xù)的正定矩陣, 且其逆矩陣存在并有界;末態(tài)時刻tf 是固定的。,,,,線性二次型最優(yōu)控制(6/12),下面對論上述性能指標(biāo)泛函:1) 性能指標(biāo)泛函J[u(&#

6、183;)]中的第1項e?(tf)Fe(tf),是為了突出對末態(tài)目標(biāo)的控制誤差的要求和限制而引進(jìn)的,稱為末端成本函數(shù)。非負(fù)定的常數(shù)矩陣F為加權(quán)矩陣,其各行各列元素的值的不同,體現(xiàn)了對誤差向量e(t)在末態(tài)時刻tf各分量的要求不同, 重要性不同。若矩陣F的第i行第i列元素值較大,代表二次項的重要性較大, 對其精度要求較高。,,,,線性二次型最優(yōu)控制(7/12),2) 性能指標(biāo)泛函J[u(·)]中的被積函數(shù)中的第1項e?(t)

7、Q(t)e(t),表示在系統(tǒng)過渡過程中對誤差向量e(t)的要求和限制。由于時變的加權(quán)矩陣Q(t)為非負(fù)定的,故該項函數(shù)值總是為非負(fù)的。一般情況下,e(t)越大,該項函數(shù)值越大,其在整個性能指標(biāo)泛函所占的份量就越大。因此, 對性能指標(biāo)泛函求極小化體現(xiàn)了對誤差向量e(t)的大小的約束和限制。在e(t)為標(biāo)量函數(shù)時,該項可取為e2(t),于是該項與經(jīng)典控制理論中判別系統(tǒng)性能的誤差平方積分指標(biāo)一致。,,,,線性二次型最優(yōu)控制(8/12),

8、非負(fù)定的時變矩陣Q(t)為加權(quán)矩陣,其各行各列元素的值的不同,體現(xiàn)了對相應(yīng)的誤差向量e(t)的分量在各時刻的要求不同、重要性不同。時變矩陣Q(t)的不同選擇, 對閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)的性能的影響較大。,,,,線性二次型最優(yōu)控制(9/12),3) 性能指標(biāo)泛函J[u(·)]中的被積函數(shù)的第2項u?(t)R(t)u(t),表示在系統(tǒng)工作過程中對控制向量u(t)的要求和限制。由于時變的加權(quán)矩陣R(t)為正定的,故該項函數(shù)值在u(t)

9、為非零向量時總是為正的。u(t)越大,該項函數(shù)值越大,其在整個性能指標(biāo)泛函所占的分量就越大。對性能指標(biāo)泛函求極小化體現(xiàn)了對控制向量u(t)的大小的約束和限制。注：如u(t)為與電壓或電流成正比的標(biāo)量函數(shù)時,該項為u2(t),并與功率成正比, ?u2(t)dt則與在[t0,tf]區(qū)間內(nèi)u(t)所做的功或所消耗的能量成正比。,,,線性二次型最優(yōu)控制(10/12),因此,該項是用來衡量控制功率大小的代價（成本）函數(shù)。正定的時變矩陣R(

10、t)亦為加權(quán)矩陣, 其各行各列元素的值的不同, 體現(xiàn)了對相應(yīng)的控制向量u(t)的分量在各時刻(t)的要求不同、重要性不同。時變矩陣R(t)的不同選擇, 對閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)的性能的影響較大。綜上所述,可見線性系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)泛函的最優(yōu)控制問題的實質(zhì)在于用不大的控制量,來保持較小的控制誤差,以達(dá)到所耗費的能量和控制誤差的綜合最優(yōu)。,,,,線性二次型最優(yōu)控制(11/12),現(xiàn)在討論上述線性二次型問題的幾種特殊情況。1) 若令C(t)

11、=I, z(t)=0,則x(t)=-e(t)。這時, 線性二次型問題的性能指標(biāo)泛函變?yōu)樵搯栴}轉(zhuǎn)化成:用不大的控制能量,使?fàn)顟B(tài)x(t)保持在零值附近, 稱為狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。2) 若令z(t)=0,則y(t)=-e(t)。這時,線性二次型問題的性能指標(biāo)泛函變?yōu)樵搯栴}轉(zhuǎn)化成:用不大的控制能量,使輸出值y(t)保持在零值附近,稱為輸出調(diào)節(jié)器問題。,,,,,線性二次型最優(yōu)控制(12/12),3) 若z(t)≠0,則e(t)=z(t)

12、-y(t)。這時,線性二次型問題為:用不大的控制能量,使輸出y(t)跟蹤期望信號z(t)的變化,稱為輸出跟蹤問題。下面將陸續(xù)介紹狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的求解方法，解的性質(zhì)以及最優(yōu)狀態(tài)反饋實現(xiàn)，具體內(nèi)容為：時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器,,,時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器(1/3),5.1 時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題為:用不大的控制能量,使?fàn)顟B(tài)x(t)保持在零值附近的二次型最優(yōu)控制問題。該問題的描述如下;,,,,時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器(2/3),有限時

13、間LQ調(diào)節(jié)器問題 設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件為式中, 控制量u(t)不受約束。尋找最優(yōu)控制函數(shù)u*(t), 使下列二次型性能指標(biāo)泛函為最小式中,F和Q(t)為非負(fù)定矩陣;R(t)為正定矩陣;末態(tài)時刻tf是固定的。,,,,時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器(3/3),由于所討論的系統(tǒng)為線性系統(tǒng), 給定的性能指標(biāo)泛函對狀態(tài)變量x(t)和控制量u(t)均連續(xù)可微, 因此,狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題可用變分法、極大值原理和動態(tài)規(guī)劃方法中的任一種求解。

14、本節(jié)采用變分法給出最優(yōu)控制解存在的充分必要條件及最優(yōu)控制問題解的表達(dá)式, 討論最優(yōu)控制解的存在性、唯一性等性質(zhì)及解的計算方法。內(nèi)容為：最優(yōu)控制的充分必要條件矩陣P(t)的若干性質(zhì)最優(yōu)控制的存在性與唯一性,,,,,最優(yōu)控制的充分必要條件(1/10)—定理14,1. 最優(yōu)控制的充分必要條件定理14(有限時間LQ調(diào)節(jié)器) 對于有限時間LQ調(diào)節(jié)器問題,為其最優(yōu)控制的充分必要條件是相應(yīng)的最優(yōu)軌線為狀態(tài)方程的解,而最優(yōu)性能值

15、為式中, P(t)為下述矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠痰恼ɑ虬胝ń?,,,,,,,,最優(yōu)控制的充分必要條件(2/10),證明 1）必要性證明。若u*(t)是最優(yōu)控制,需要證明由于系統(tǒng)性能指標(biāo)泛函的宗量為x(t), u(t) 和x(tf) 。將有限時間LQ調(diào)節(jié)器問題(條件極值問題)化為無條件極值問題。引入維向量拉格朗日算子, 性能指標(biāo)函數(shù)為,,,最優(yōu)控制的充分必要條件(3/10),因而該優(yōu)化問題就變?yōu)閷ι鲜鱿鄬τ谇髽O值問題。定義

16、哈密頓函數(shù)則式(167)可以進(jìn)一步表示為,,,,,最優(yōu)控制的充分必要條件(4/10),根據(jù)極值的必要條件?J=0,可以求得以及極值條件,,,,,最優(yōu)控制的充分必要條件(5/10),由極值條件(173)得最優(yōu)控制律為注意到狀態(tài)方程和協(xié)態(tài)方程及其終端條件均為線性,因此,?(t)和x(t), 之間必定為線性關(guān)系,可以表示為由上述兩式可以得到u(t)的最優(yōu)解。其中矩陣P(t)滿足規(guī)范方程,可由規(guī)范方程解出。求解

17、方法如下：,,,,,最優(yōu)控制的充分必要條件(6/10),對方程(175)求導(dǎo)數(shù)得由方程(171), 又有比較上述兩式,可以求得矩陣P(t)是矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠痰膶ΨQ正定或半正定解。因此,證明了定理的必要性。,,,,,最優(yōu)控制的充分必要條件(7/10),2) 充分性證明。已知,欲證u*(t)為最優(yōu)控制。引入如下等式,,,,,最優(yōu)控制的充分必要條件(8/10),進(jìn)而,利用(160)和(166),上式可以進(jìn)一步表示為

18、對上述方程進(jìn)行配方得,,,,,,,最優(yōu)控制的充分必要條件(9/10),由于P(tf)=F,可以導(dǎo)出這表明,當(dāng)u=-R-1B?Px時,性能指標(biāo)將取最小值即u*=-R-1B?Px為最優(yōu)控制。于是,定理的充分性得以證明。 ???,,,,最優(yōu)控制的充分必要條件(10/10),上述具有充分必要的最優(yōu)控制實際上是一個線性狀態(tài)反饋,因此,可以將線性系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的最優(yōu)

19、控制表示成如圖6所示的狀態(tài)反饋形式,其閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為圖6 線性系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器上述結(jié)論是線性時變系統(tǒng)的結(jié)論, 當(dāng)系統(tǒng)是線性定常的時候,上述結(jié)論仍然成立, 而且計算還要簡單。,,,,矩陣P(t)的若干性質(zhì)(1/3),2. 矩陣P(t)的若干性質(zhì)對黎卡提微分方程的解P(t),有如下性質(zhì)。1) P(t)是黎卡提微分方程末值問題的解, 與初始狀態(tài)無關(guān)。當(dāng)在區(qū)間[t0,tf]內(nèi), A(t)、B(t)、R(t)和Q(

20、t)為分段連續(xù)的時間函數(shù), R(t)為正定且其逆矩陣有界, Q(t)矩陣為非負(fù)定時,則根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性理論, P(t)的解在區(qū)間[t0,tf]內(nèi)唯一存在。,,,,,,,,矩陣P(t)的若干性質(zhì)(2/3),2) 對于任意t?[t0,tf], P(t)是對稱矩陣。事實上,將黎卡提微分方程和邊界條件的兩邊作轉(zhuǎn)置,并考慮到R(t), Q(t)和F都為對稱矩陣, 則有因此,矩陣P(t)及其轉(zhuǎn)置P?(t)滿足同一個矩陣微

21、分方程和邊界條件。根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性理論,則對任意t?[t0,tf],有P?(t)=P(t),即P(t)是對稱的。,,,,,,,矩陣P(t)的若干性質(zhì)(3/3),3) 于矩陣P(t)的對稱性,則n×n維的黎卡提矩陣微分方程實質(zhì)上是一個由n(n+1)/2個非線性標(biāo)量微分方程組成的微分方程組。因此, 求解P(t), 只要求解n(n+1)/2個非線性微分方程即可。,,,,,,,,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(1/13)—

22、定理15,3. 最優(yōu)控制的存在性與唯一性對于一般的最優(yōu)控制問題,論證最優(yōu)控制解的存在性是很困難的,但對于最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,可以證明最優(yōu)控制解的存在性和唯一性。對此,有如下定理。定理15 對線性時變系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,當(dāng)tf <?時,最優(yōu)控制u*(t)存在且唯一。,,,,,,,,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(2/13),證明 (1) 存在性證明。定理14給出最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的u*(t)的充分必要條件為u*=-R-

23、1B?Px由于黎卡提微分方程末值問題的解P(t)是唯一存在的, 因此, u*(t)的存在性得證。(2) 唯一性證明用反證法證明。 設(shè)u*(t)不唯一, 為不失一般性, 令 , 是同一最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)控制函數(shù)解。,,,,,,,,,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(3/13),由P(t)的唯一性可知, 分別為式中, 分別為對

24、應(yīng)于控制量 的最優(yōu)狀態(tài)軌線。因此, 在兩種最優(yōu)控制下的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程分別為可見, 最優(yōu)狀態(tài)軌線 滿足同一個微分方程和同樣的初始條件。,,,,,,,,,,,,,,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(4/13),根據(jù)微分方程初值問題解的唯一性,顯然有 從而有即唯一性得證。 證畢由定理14和15表明,對于

25、線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)泛函的最優(yōu)控制問題,如果控制區(qū)間[t0,tf]有限,則其最優(yōu)控制必存在,且唯一地具有狀態(tài)線性反饋律的形式。下面通過分析一個一階系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題, 進(jìn)一步領(lǐng)會該調(diào)節(jié)器的基本特性。,,,,,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(5/13)—例11,例11 已知一階被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和性能指標(biāo)分別為式中, f ?0, q?0, r>0。試求其最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)軌線。解 由定理14,可以求出該問題的最優(yōu)控

26、制為式中, p(t)是如下黎卡提微分方程及邊界條件的解,,,,,,,,,,,,,,,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(6/13),由上述微分方程可知, p(t)的解滿足積分上式,可得 其中,,,,,,,,,,,,,,,,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(7/13),最優(yōu)狀態(tài)軌線為下列一階時變微分方程的解 于是得,,,,,,,,,,,,,,,,最優(yōu)狀態(tài)軌線為對上述線性定常系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,其最優(yōu)狀態(tài)

27、反饋律和閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程都呈現(xiàn)時變的性質(zhì)。,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(8/13),,,,,,,,,,,,,,,,,圖7 狀態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖,這是最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器在tf<?的一個重要性質(zhì)。圖7是例11的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)圖。圖中信號p(t)是對黎卡提微分方程進(jìn)行電子電路模擬的結(jié)果,其初始信號p(0)是對黎卡提微分方程的解在t=0時的值。,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(9/13),圖8(a)表示在a=-1,f=0,tf=1,x(0)

28、=1和q=1時,以r為參數(shù)的一組最優(yōu)狀態(tài)軌線x(t)。當(dāng)r很小時，即控制的價值在性能指標(biāo)中不太重要,狀態(tài)x(t)（比重大）將迅速被控制到零值;當(dāng)r很大時，即控制的價值較重要,狀態(tài)x(t)（比重小）將由于控制量投入得小, 則衰減得很慢。,,,,,,,,,,,,,,,,圖8 不同r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(10/13),圖8(b)表示以r為參數(shù)的一組最優(yōu)控制u(t)的曲線?？梢婋S著r的減小,在控制區(qū)間[

29、0,1]的開始階段, 控制量u(t)增大當(dāng) r→0 時,控制將逐漸變成在 t=0 時刻的脈沖信號,,,,,,,,,,,,,,,,圖8 不同 r 值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(11/13),圖8(c)表示以r為參數(shù)時,黎卡提微分方程的解p(t)的一組曲線。可見隨著r的減小,在控制區(qū)間[0,1]的開始階段,p(t)幾乎為一常數(shù);當(dāng)r很小時, p(t)僅在控制區(qū)間的最后階段才呈現(xiàn)時變的性質(zhì)。,,,,,,,,,

30、,,,,,,,圖8 不同r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(12/13),圖9表示在 a=-1, q = r =1, f 取0或1的情況下,以tf為參數(shù)時黎卡提微分方程的解 p(t) 的一組曲線。這些曲線表明, 隨tf的增長,函數(shù)p(t)的前面部分趨于同一個穩(wěn)態(tài)值,其時變值僅在后面很小的時間段內(nèi)呈現(xiàn),而且該穩(wěn)態(tài)值與末端條件無關(guān)。,,,,,,,,,,,,,,,,圖9 不同末端時刻p(t)曲線,這一事實可用如下數(shù)學(xué)

31、關(guān)系式來說明。,,最優(yōu)控制的存在性與唯一性(13/13),當(dāng)a=-1, q=r=1，當(dāng) tf→?時, p(t)為一常數(shù)時, p(t)→0.414由此可見, 只要 tf 足夠大, 線性定常系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的時變狀態(tài)反饋律可用定常狀態(tài)反饋律近似, 其中矩陣 P(t) 用其穩(wěn)態(tài)值代替。,,,,,,,,,,,,,,,,,定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(1/12),5.2 定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器對于線性定常的被控系統(tǒng),即便性能指標(biāo)泛函中的矩陣Q(t)和R(t)

32、為定常的,在末態(tài)時刻為有限時間(tf<?)時, 其最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的最優(yōu)狀態(tài)反饋律也是時變的這使控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜，為控制器的實施帶來了相當(dāng)大的困難 。 顯然, 最優(yōu)狀態(tài)反饋律為時變的癥結(jié)在于P(t)是時變的。建立P(t)為定常矩陣的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的條件就是建立定常最優(yōu)狀態(tài)反饋律的條件。 注：以定常最優(yōu)狀態(tài)反饋律構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng), 既大大減少了控制系統(tǒng)實施的困難性,簡化了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu), 便于維護(hù)使用, 無論

33、在理論上和工程上都具有較大價值。,,,,定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(2/12),從例11的一階線性定常系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題可以看出,隨著末態(tài)時刻 tf 的無限增長,黎卡提微分方程的解 p(t) 趨于定常,而最優(yōu)狀態(tài)反饋律也轉(zhuǎn)化為定常的。因此,對線性定常系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題:若其泛函指標(biāo)中矩陣Q(t)和R(t)均為定常,最優(yōu)狀態(tài)反饋律成為定常的條件應(yīng)與末態(tài)時刻tf無限有關(guān)。下面將先給出線性定常系統(tǒng)在無限時間時最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題, 再給出和

34、證明最優(yōu)狀態(tài)反饋律為定常的條件以及定常的最優(yōu)狀態(tài)反饋解。線性定常系統(tǒng)在無限時間時最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的描述如下。,,,,定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(3/12),無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件為式中,系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B為常數(shù)矩陣;控制量u(t)不受約束。尋找最優(yōu)控制函數(shù)u*(t),使下列二次型性能指標(biāo)泛函為最小式中, Q 為非負(fù)定常數(shù)矩陣; R為正定常數(shù)矩陣。,,,,,,定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(4/12),上

35、述無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的性能指標(biāo)泛函中沒有末態(tài)性能指標(biāo)項S(x(tf),tf)。這是因為, 對無限時間調(diào)節(jié)器問題,使性能指標(biāo)泛函最小的末態(tài) x(?) 必定為原點, 否則, J[u(·)] 將趨于?。 由于x(?)=0, 此時再規(guī)定末態(tài)性能指標(biāo)項是無意義的。上述線性定常系統(tǒng)的無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的最優(yōu)狀態(tài)反饋律為定常的條件與末態(tài)時刻 tf 為無限的有關(guān)。該結(jié)論可簡單說明如下,,,,,,,定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(

36、5/12),由黎卡提微分方程解的性質(zhì)可知,矩陣P(t)是如下黎卡提微分方程末值問題的解。式中, 矩陣A，B，Q和R都為定常矩陣。由于P(t)與末態(tài)時刻tf有關(guān),可記為P( t, tf)。由微分方程理論可知, 上述定常微分方程的解P(t, tf)的值只與tf – t的差值有關(guān), 與時刻 t 無直接關(guān)系。有,,,,,,,,定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(6/12),即當(dāng)tf→?時定常微分方程(178)的解 P(t,tf) 與時間t無關(guān)。因此

37、, 只要黎卡提微分方程(178)的解P(t,tf)存在且為有限矩陣, 則P(t, tf)必為常數(shù)矩陣。所以,該黎卡提微分方程可記為如下代數(shù)矩陣方程也稱為黎卡提矩陣代數(shù)方程。因此, 上述結(jié)論可歸納為如下線性定常系統(tǒng)的無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理。,,,,,,,,,定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(7/12)—定理16,定理16(無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理) 無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)控制存在且唯一,并可由下式?jīng)Q定u*=-R-1B?Px式中,n&

38、#215;n維矩陣P是黎卡提矩陣代數(shù)方程的唯一非負(fù)定的解。此時,最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為從任意初始狀態(tài)開始的最優(yōu)性能指標(biāo)為,,,,,,,,,,,定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(8/12),關(guān)于線性定常系統(tǒng)的無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的定理,有如下說明。1) 在該定理中,強調(diào)（要求）被控的線性定常系統(tǒng)狀態(tài)要 能鎮(zhèn)定的(即能穩(wěn)的)。由狀態(tài)能穩(wěn)性的意義是:存在一個狀態(tài)反饋,使?fàn)顟B(tài)能穩(wěn)的系統(tǒng)閉環(huán)漸近穩(wěn)定。無限時間的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題要求調(diào)

39、節(jié)被控系統(tǒng)在末態(tài)時刻tf→?時的狀態(tài)x(?)為零狀態(tài)(原點)。如果被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控, 則存在線性定常狀態(tài)反饋律,使被控系統(tǒng)的反饋閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,即狀態(tài)x(t)可逐漸衰減至零(tf→?);或存在時變的狀態(tài)反饋律,使被控系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時間內(nèi)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。,,,,,,,,,,,定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(9/12),若被控系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的, 則至少要求不能控的子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的（最小相位系統(tǒng)）, 才能使得該部分子系統(tǒng)的狀態(tài)能隨時間t→?而

40、自由衰減至零狀態(tài)。因此, 在無限時間的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題中,要求系統(tǒng)至少是系統(tǒng)狀態(tài)能鎮(zhèn)定的。在前一節(jié)討論的有限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題中, 沒有要求被控系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或狀態(tài)能鎮(zhèn)定的。這是因為,該問題的末態(tài)x(tf)是自由的；控制的目的－使性能指標(biāo)泛函最小,而不是將系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的末態(tài)；即使系統(tǒng)狀態(tài)不是能控的和能鎮(zhèn)定的,也總可以找到控制u(t)使得性能指標(biāo)泛函對該系統(tǒng)而言是最小的。,,,,,,,,,,,定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(10/

41、12),2) 若被控線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)能鎮(zhèn)定的,即矩陣對(A, B)是能鎮(zhèn)定矩陣對,則黎卡提矩陣代數(shù)方程的解P至少是非負(fù)定的。下面通過一下例子：一階線性定常系統(tǒng)的無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,　領(lǐng)會定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器的基本特性。,,,,,,,,,,,定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(11/12)—例7-12,例12 已知一階被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和性能指標(biāo)分別為。式中, q?0, r>0。試求其最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)軌線。解 根據(jù)定理16,可以求