地圖學的數(shù)學基礎3

1、,,,,,,,1.按變形性質(zhì)分類,地圖投影,等角投影,等面積投影,任意投影,三種變形的比較,,由變形橢圓看投影變形,等角,等距,等積,,１）等角投影,角度變形為零，ω=0，a=b（或θ=90°，m=n），變形橢圓是圓。在小區(qū)域內(nèi)，投影后的圖形與實地是相似的，故又叫正形投影。在一點上任何方向的長度比都相等，但在不同地點是不同的，圓形大小不同，從大范圍來講，投影后的圖形與實地并不相似。多用于編制航海圖、洋流圖和風向圖等。,

2、2）等積投影,面積變形等于零,Vp=0, P=a.b=m.n.sinθ=1。在不同點上，變形橢圓的長、短軸發(fā)生變化，但此消彼長，形狀變化較大，角度變形比別的投影亦大。有利于圖上面積對比。常用于對面積精度要求較高的自然和經(jīng)濟地圖。,3)任意投影,長度、面積和角度都有變形，但又都不大。任意投影中，有一種等距投影。它不是沒有長度變形，只是在特定方向上沒有長度變形。等距投影的面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影。多用于一般

3、參考用圖和教學地圖。,三種變形的關系：,小結：（1）在等積投影上不能保持等角特性，在等角投影上不能保持等積特性。（2）等積投影的形狀變形比較大，等角投影的面積變形比較大。（3）在任意投影上不能保持等角和等積的特性,,,1.按變形性質(zhì)分類,地圖投影,幾何投影,非幾何投影,2.按地圖投影構成方法分類,1）幾何投影：建立在透視的幾何原理上，它是把橢球面直接透視到平面上，或透視到可展開的曲面上，成為有幾何意義的投影。,方法：假設將地球按比

4、例縮小成一個透明的地球儀般的球體，在球心、球面、或球外安置一個光源，將地球儀上的經(jīng)緯線、控制點、地物及地貌圖形投影到球外的一個平面或可展曲面上，即成為地圖。,透視投影示意圖,,方位和圓柱投影,球心正軸方位投影的幾何做圖法,方位投影: x=?cos? y=?sin?,幾何面的變化引出的投影變化,幾何透視法是一種最初級的投影方法，它不能將全球都投影下來；多數(shù)情況下不能用此法構建經(jīng)緯網(wǎng)圖形。當前絕大多數(shù)地圖投

5、影都采用數(shù)學分析法。,1）幾何投影分類,根據(jù)幾何面形狀，分為：（1）方位投影：以平面作為投影面,相割,相切,正軸　　　　橫軸　　　　　斜軸,正軸的經(jīng)緯線形狀稱為標準網(wǎng)。緯線為同心圓，經(jīng)線為同心圓的半徑，經(jīng)線間的夾角等于相應的經(jīng)度差。,方位投影的幾種情況,正軸方位投影的變形規(guī)律,正軸　橫軸　　斜軸,無窮遠球外處,等角正軸切方位投影（又稱球面極地投影）：特點：1.極點為中心； 2.緯線為同心圓；

6、 3.經(jīng)線為輻射的直線。 4.中心部分變形較小，向外變形逐漸增大。,用于編繪兩極地區(qū)國際１：１００萬地形圖。,,等積斜切方位投影；（又稱蘭勃脫投影地平投影）特點：1.投影中心隨需要而定。 2.中經(jīng)為直線，緯線為同焦點橢圓弧,主要用于編制亞洲、歐洲、北美等大地區(qū)圖。,陸半球圖。,等積斜切方位投影應用舉例：,水半球圖,,等積斜切方位投影應用舉例：,投影中心：東105°，北30

7、6;；ω：２－３° V μ ±２％,中國全圖,1,,,2）圓柱投影：　 以圓柱面作為投影面，最后將圓柱面展為平面而成。,正軸　　　　　斜軸　　　　　橫軸,相切,相割,正軸圓柱投影：　緯線為一組不等距平行線，經(jīng)線為與緯線垂直、且間隔相等的平行直線。,正軸圓柱投影示意圖,切、割圓柱投影變形,等角正切圓柱投影是荷蘭學者墨卡托于1569年所創(chuàng)，又名墨卡托投影。其經(jīng)線為豎直等距平行直線，緯線為非等距垂直于經(jīng)線的平行直

8、線。,墨卡托投影的變形規(guī)律,1. 投影圖上各緯線與赤道等長，被放大了1/cosφ倍，由m＝n知：則經(jīng)線亦作了同樣的放大?！?.離赤道愈遠（緯度愈高），緯線間距愈大。面積變形愈大（是緯線增大倍數(shù)的平方） 。北極地區(qū)的格陵蘭島原為南美洲的1／8，圖上竟比南美洲大。,格陵蘭島,南美洲,墨卡托投影,等角航線：是地球表面上與經(jīng)線相交成相同角度的曲線。在地球表面上除經(jīng)線和緯線以外的等角航線，都是以極點為漸近點的螺旋曲線。 等角航線

9、在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有很重要的意義。,大圓航線：地球面上兩點間最短距離是通過兩點間的大圓弧，也稱為大圓航線。,好望角——墨爾本,墨卡托投影將等角航線投影為直線（即斜航線），按此直線的方位角航行，一直可以到達目的地。,等角航線不是大圓航線（正航線）例：好望角——墨爾本，等角航線為 6020，大圓航線為 5450海里。,地圖上等角航線（除經(jīng)線和赤道外），在球面上是以極點為漸近點的螺旋曲線。,球心投影（透視方位投影中的一種）圖

10、上的大圓航線,① 正軸等角圓柱投影 墨卡托投影。,,墨卡托投影應用：1.在航海業(yè)上得到廣泛的應用。2. 還用于編制赤道附近等國家和地區(qū)的地圖，3.作世界時區(qū)圖和衛(wèi)星軌跡圖。,用墨卡托投影表示衛(wèi)星軌跡,,3）圓錐投影：　 以圓錐面作為投影面，最后將圓錐面展為平面而成。,相割,相切,正軸　　　斜軸　　　　橫軸,,正軸圓錐投影：緯線為同心圓弧，經(jīng)線為同心圓弧的半徑，經(jīng)線間的夾角與相應的經(jīng)差成正比 。,正軸切圓錐投影示意圖

11、,圓錐投影變形規(guī)律圖,等距正軸割圓錐投影：特點：1.緯線呈同心圓弧，經(jīng)線呈輻射的直線束；　　　2.兩條標準緯線無長度變形；　　　3.兩條標緯之間，變形為負，兩外側為正；,適于：東西方向長、南北方向稍寬的區(qū)域。如蘇聯(lián)全圖。,,等積正軸割圓錐投影特點：1.經(jīng)緯線形狀同等距正軸割圓錐投影。　　　2.由ｍ.ｎ.sinθ＝l 條件知，經(jīng)線以緯線縮小的程度放大。則兩標緯外側經(jīng)線放大。內(nèi)側縮??；變形情況如圖示?！　　?.角度變形：離標緯愈

12、遠，變形則愈大。,適于 1.東西南北近乎等大的地區(qū)， 2.要求面積正確的各種圖。,經(jīng)緯線形狀,,變形規(guī)律,,等角正軸割圓錐投影,特點： 1.經(jīng)緯線形狀同等距正軸割圓錐。 2.由保角知：m＝n，經(jīng)線與緯線作相同的縮放，兩標緯內(nèi)側縮小，變形為負，外側放大，變形為正。 3.標緯上無變形，離開標緯愈遠，變形愈大 。,適于：要求方向正確、形狀相似的自然圖、 （風向圖、洋流圖等）和航空

13、圖，并廣泛用作各種比例尺地形圖的數(shù)學基礎,一、在百萬分一普通地圖中應用 1. 1962年波恩百萬分一國際地圖會議上提出了使用等角正割圓錐投影。 2. 1978年我國用作 1：100萬分幅地形圖的投影。 3.投影特點： ①.投影帶的劃分：國際標準，緯差4°為一帶，從赤道起，由南到北共分15次（我國位于北緯4°－60°）獨立投影，單獨計算坐標。每帶的兩標緯按下式近似求出：

14、?1=?ｓ＋３0'；?２=?ｎ－３０ ',據(jù)上述，投影不同經(jīng)緯線網(wǎng)形狀不同。反映的是變形分布的差異，為了使地圖上盡量減少變形，通常按照制圖區(qū)域的范圍、所在的地理位置及輪廓形狀選用不同的投影方法。,,,2）非幾何投影(數(shù)學分析法) 為了使地圖滿足某些特定要求，地圖投影就得跳出借助于幾何面構成投影的局限性，而建立按數(shù)學條件構成的投影。　　 不借助于幾何面，根據(jù)某些條件，用數(shù)學解析法，確定球

15、面與平面之間點與點的函數(shù)關系。,以正軸等角圓錐投影為例 投影后經(jīng)緯線特點： 1.緯線為同心圓弧， 2.經(jīng)線為同心圓弧的半徑， 3.兩條經(jīng)線間的夾角δ與球面相應經(jīng)差△λ成正比。 δ=αλ,式中α為圓錐系數(shù)。,,,?cos?,,,,偽方位投影,1.緯線為同心圓；2.中央經(jīng)線為直線；3.其余經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線，且相交于緯線的共同圓心。,偽方位投影經(jīng)緯線圖,其

16、它投影簡介,偽方位投影,經(jīng)緯線形狀：1.緯線為同心圓圓??；2.經(jīng)線為對稱于中央直經(jīng)線的曲線。因緯線相當于方位投影，而經(jīng)線又不同于方位投影，故稱之。,其它投影簡介,偽圓柱投影,偽圓柱投影,緯線為平行直線，中央經(jīng)線為直線，其余的經(jīng)線均為對稱于中央經(jīng)線的曲線。,偽圓柱投影(桑遜投影),,經(jīng)線為對稱于中經(jīng)（直線）的正弦曲線；緯線為等距平行線，,偽圓柱投影 　等積,（一）、桑遜投影　投影特性：1.等積（P＝1）；2.所有緯線無

17、長度變形（n＝1）；3.中央經(jīng)線保持等長（m＝1）。4.該投影離中經(jīng)愈遠、緯度愈高變形愈大?！∵m于：沿赤道或中央經(jīng)線伸展的地區(qū)。,,⑵ 摩爾威特（Mollweide）投影 經(jīng)線為橢圓弧的等積偽圓柱投影， 1.經(jīng)線為對稱于中央直經(jīng)線的橢圓，赤道長度是中央經(jīng)線的2倍；緯線為間隔相等的平行直線，每條緯線上經(jīng)線間隔相等。 2.Δλ＝±90°的經(jīng)線投影成一個

18、圓，面積等于地球面積一半。由德國摩爾威特于1805年設計。,投影特點：P = 1 無面積變形S90 = Searth / 2赤道長度= 中央經(jīng)線 × 2常用于編制世界地圖及東、西半球地圖,40°44 ′11.8 ″,,,偽圓柱投影 　等積,偽圓錐投影,1.緯線為同心圓??；2.中央經(jīng)線為直線；3.其余經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線。,偽圓錐投影 （等積）彭納投影,,亞洲部分,用于編制中、小比例尺較

19、大地區(qū)的地圖?。ㄈ鐏喼夼c歐洲地圖）。,多圓錐投影,1.緯線為同軸圓弧其圓心均位于中央經(jīng)線上；2.中央經(jīng)線為直線，3.其余經(jīng)線均為對稱于中央經(jīng)線的曲線。,,多圓錐投影示意圖,等差分緯線多圓錐投影,1.經(jīng)線對稱于中央直經(jīng)線，離中央經(jīng)線愈遠，經(jīng)線間隔成等差比例遞減；2.緯線投影為對稱于赤道的同軸圓弧，其圓心位于中經(jīng)上；3.極點表示為圓。其長度為赤道投影長度的二分之一。 它是任意投影。我國的世界地圖多采用該投影。我國位于地圖中接

20、近中央的位置，形狀比較正確。,,哈默（Hammer）投影,該投影的橫坐標是等面積圓柱和偽圓柱投影（桑遜投影）兩者的算術平均值，縱坐標由等面積條件導出。 投影屬于等面積性質(zhì)。用于制作世界地圖。,其它投影簡介,桑遜分瓣投影,為了改善桑遜投影離中經(jīng)愈遠、緯度愈高變形愈大。對不同區(qū)域采用不同的中央經(jīng)線，而在赤道上連接在一起分瓣。本圖是保持世界上陸地完整而將海洋部分裂開。,其它投影簡介,古德分瓣投影,,其它投影簡介,摩爾威特—古德分瓣投影,

21、,其它投影簡介,圓錐、偽圓錐組合分瓣投影,利用圓錐和偽圓錐投影在某一條緯線處進行組合。該投影的經(jīng)緯線網(wǎng)和變形，與所采用的各個組合投影相同。為了保持大陸完整，而將南半球海洋裂開。它應用于小比例尺大地區(qū)的地圖。,其它投影簡介,心形投影,以北極為投影主點，中央經(jīng)線等長并保持等面積。該投影中僅北極附近保持較正確的圖形。,其它投影簡介,星形投影,中央部分是一個正軸等距離方位投影，其外部是機械劃分的。緯線為同心圓圓弧，經(jīng)線則等分地會聚于

22、五個點，形成一個五角星?？晒┑貓D集及地圖制圖書刊裝飾用。,其它投影簡介,正方體中心投影,,將地球內(nèi)接于一個正立方體中，以中心投影將球面上經(jīng)緯網(wǎng)投影到正立方體面上進行展開。　　該投影中所有經(jīng)線和赤道投影為直線，緯線為曲線?！　≡撏队坝米魇澜绲貓D裝飾圖案。,其它投影簡介,三角形等面積投形,經(jīng)線為交于一點的傾斜直線，緯線為平行線，具有等面積性質(zhì)。　　我國清代《內(nèi)府輿圖》用此投影；它是以東側經(jīng)線、西側的經(jīng)線與緯線傾斜成45°角

23、而繪制的。,其它投影簡介,阿木狄羅（Armidillo）投影,有立體感。給人以自球剝離下來而沒有展平的印象。 此投影對歐洲及附近較好。　　邊緣部分有變形大。屬于任意性質(zhì)。,其它投影簡介,某種透視方位投影,選取適當?shù)囊朁c，使制圖區(qū)域的遠處背景出現(xiàn)弧形的地平線和部分天空，而經(jīng)緯線網(wǎng)呈現(xiàn)球狀感，具有立體效果。作為宣傳圖的數(shù)學基礎。如透視方位投影中的外心投影、正射投影。,其它投影簡介,放大鏡式投影,,其它投影簡介,,課后作業(yè)：1 利用