雙曲線的幾何性質(zhì)課件

1、,雙曲線 的簡單幾何性質(zhì),,襄安中學(xué) 李向林,,,,o,Y,X,關(guān)于X,Y軸,原點對稱,(±a,0),(0,±b),(±c,0),A1A2 ; B1B2,|x|?a,|y|≤b,,,F1,F2,A1,A2,,,B2,B1,復(fù)習(xí) 橢圓的圖像與性質(zhì),上述性質(zhì)其研究方法各是什么？,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,形式一：

2、 （焦點在x軸上，（-c，0）、 （c，0））,形式二：（焦點在y軸上，（0，-c）、（0，c）） 其中,復(fù) 習(xí),,,Y,X,,,,,,F1,F2,A1,A2,B1,B2,焦點在x軸上的雙曲線圖像,2、對稱性,一、研究雙曲線 的簡單幾何性質(zhì),1、范圍,關(guān)于x軸、y軸和原點都是對稱

3、。,x軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心，又叫做雙曲線的中心。,(-x,-y),(-x,y),,(x,y),,(x,-y),,課堂新授,,,,3、頂點,（1）雙曲線與對稱軸的交點，叫做雙曲線的頂點,,,,M(x,y),4、漸近線,,N(x,y’),,,,,慢慢靠近,,證明:雙曲線 的漸近線方程為,這一部分的方程可寫為,設(shè)M(x,y)是它上面的點，N(x,Y)是直線 上與M有相同橫坐標(biāo)的點，則,

4、先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進行證明.,,,,,N,M,Q,,,,,如何根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定雙曲線的漸近線方程,方法一 (幾何法) 矩形對角線所在直線,方法二,把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中等號右邊的1改為0,就得到了雙曲線的漸近線方程,反過來,能否由漸近線方程確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢?這樣的雙曲線是否是唯一的?,探求:以 為漸近線的雙曲線有哪些?,?,雙曲線

5、 的漸近線方程為,觀察它們形式上的聯(lián)系,,已知漸近線方程,不能確定a,b的值,只能確定a,b的關(guān)系,如果兩條漸近線方程為 ,那么雙曲線的方程為,當(dāng)λ >0時,,當(dāng)λ <0時,,當(dāng)λ =0時,,,這里λ是待定系數(shù),共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。通過分析曲線的方程，發(fā)現(xiàn)二者具有相同的漸近線。此即為共軛之意。,雙曲線

6、焦點在x軸上,雙曲線焦點在y軸上,即為雙曲線的漸近線方程,1）性質(zhì)：共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上。,2）如何確定雙曲線的共軛雙曲線？,將1變?yōu)?1,,,,,根據(jù)以上四項性質(zhì),能較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的圖形嗎?,練習(xí):畫出雙曲線 的草圖,,,,,,,雙曲線的開口大小有沒有限制?向遠處伸展有沒有約束范圍?,當(dāng)x→∞時,方程近似變?yōu)?,即雙曲線上的點無限接近直線,,5、

7、離心率,離心率。,c>a>0,e >1,e是表示雙曲線開口大小的一個量,e越大開口越大,（1）定義：,（2）e的范圍：,（3）e的含義：,（4）等軸雙曲線的離心率e= ?,,( 5 ),,,A1,A2,B1,B2,,a,b,c,幾何意義,焦點在x軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)復(fù)習(xí),雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：,,,Y,X,,,雙曲線性質(zhì)：,1、,范圍：,x≥a或x≤-a,2、對稱性：,關(guān)于x軸，y軸，原點對稱。,3、頂點,A1（-a，0）

8、，A2（a，0）,4、軸：實軸 A1A2 虛軸 B1B2,A1,A2,,B1,B2,5、漸近線方程：,6、離心率：,e=,,,,,,X,Y,,,,F1,F2,O,B1,B2,A2,A1,焦點在y軸上的雙曲線圖像,焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)口答,雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：,,,Y,X,,,雙曲線性質(zhì)：,1、,范圍：,y≥a或y≤-a,2、對稱性：,關(guān)于x軸，y軸，原點對稱。,3、頂點,B1（0，-a），B2（0，a）,4、軸：實軸 B1B2

9、; 虛軸 A1A2,A1,A2,,B1,B2,5、漸近線方程：,6、離心率：,e=c/a,,F2,,F2,o,如何記憶雙曲線的漸進線方程？,小 結(jié),或,或,關(guān)于坐標(biāo)軸和原點都對稱,橢圓與雙曲線的性質(zhì)比較,,,,,小 結(jié),|x|?a,|y|≤b,|x| ≥ a，y?R,對稱軸：x軸，y軸 對稱中心：原點,對稱軸：x軸，y軸 對稱中心：原點,（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b)長軸：2a

10、短軸：2b,(-a,0) (a,0)實軸：2a虛軸：2b,無,例1 :求雙曲線,的實半軸長,虛半軸長,,焦點坐標(biāo),離心率.漸近線方程。,解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,,可得:實半軸長a=4,虛半軸長b=3,半焦距c=,焦點坐標(biāo)是(0,-5),(0,5),離心率:,漸近線方程:,例題講解,1、填表,|x|≥,6,18,|x|≥3,(±3,0),y=±3x,4,4,|y|≥2,(0,±2),10,14,|y|≥

11、5,(0,±5),,,例2 求中心在原點,對稱軸為坐標(biāo)軸,經(jīng)過點P(1,3)且離心率為 的雙曲線方程,1.已知雙曲線 的實軸的一個端點為A1,虛軸的一個端點為B1,且 則b等于________,2.雙曲線的離心率為2,則它的一個頂點把焦點之間的線段分成長,短兩段的比是______________________,3:1,

12、3.已知雙曲線 的離心率 則m的取值范圍是__________,(-12,0),4.雙曲線與橢圓 有相同的焦點,一條漸近線為y=x,求雙曲線的方程.,3,練習(xí),5.雙曲線和它的共軛雙曲線離心率分別為e1和e2，則e1、e2應(yīng)滿足的關(guān)系_________________________,6.雙曲線的離心率為2,則兩漸近線的夾角為_______

13、___,60°,例3 已知雙曲線的漸近線方程 為 ，實軸長為12，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.,,注：,稱為與雙曲線,共漸近線的雙曲線系方程,（ λ是參數(shù)）,P113， 1,小結(jié)： 本節(jié)課討論了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)：范圍，對稱性，頂點，離心率，漸近線，請同學(xué)們熟練掌握。,作業(yè) 113 ，1,例2:以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線叫原雙曲線的共軛雙曲線,求證:

14、 (1)雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線; (2)雙曲線和它的共軛雙曲線的四個焦點在同一個圓上.,,,Y,X,,,A1,A2,,B1,B2,F1,F2,o,,F’2,F’1,證明:(1)設(shè)已知雙曲線的方程是:,則它的共軛雙曲線方程是:,漸近線為：,漸近線為:,可化為：,故雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線,(2)設(shè)已知雙曲線的焦點為F(c,0),F(-c,0),它的共軛雙曲線的焦點為F1(0,c), F2(0,-