化工應(yīng)用數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)

1、連續(xù)性方程 化工傳遞過(guò)程所研究的體系一般遵循質(zhì)量守恒定律。并且，質(zhì)量守恒不僅適用于單組分流體，而且也適用于多組分流體。運(yùn)用質(zhì)量守恒原理進(jìn)行微分質(zhì)量衡算，所得方程稱為連續(xù)性方程。連續(xù)方程的推導(dǎo)采用歐拉(Euler)觀點(diǎn)。,1.3 化工傳遞及反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型,（去年考試題）請(qǐng)采用微元體推導(dǎo)無(wú)源條件下的直角坐標(biāo)的連續(xù)性方程！,,1.3 化工傳遞及反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型,在直角坐標(biāo)系中取如圖1-1所示的無(wú)限小微元體，微元體體積為dxdydz，假定流體

2、的質(zhì)量流率在某一方向存在微小變化 而在三維空間上應(yīng)滿足質(zhì)量守恒定律，即,1.3 化工傳遞及反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型,流入與流出微元控制體的質(zhì)量流率可按x，y，z三個(gè)方向分別考慮。在x方向，流體經(jīng)控制體的左側(cè)面流入控制體的質(zhì)量通量為 ，則質(zhì)量流率為 ；而由控制體右側(cè)平面流出的質(zhì)量通量則為 ，故由右側(cè)平面流出的質(zhì)量流率為于是，x方向流出與流

3、入微元控制體的質(zhì)量流率之差為,1.3 化工傳遞及反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型,同理，可得y和z方向流出與流入微元控制體的質(zhì)量流率之差分別為控制體內(nèi)任一時(shí)刻的流體質(zhì)量為 ，因此累積率為,1.3 化工傳遞及反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型,將式(a)、(b)、(c)和(d)聯(lián)立，即可得微分質(zhì)量衡算方程如下式(e)即為流體流動(dòng)時(shí)的微分質(zhì)量衡算方程，亦稱連續(xù)性方程。任何流體的流動(dòng)均滿足此方程，即對(duì)于穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)、理想流體或?qū)嶋H流體、不可壓縮

4、流體或可壓縮流體、牛頓型或非牛頓型流體均使用。連續(xù)性方程是研究動(dòng)量、熱量與質(zhì)量傳遞過(guò)程的最基本和最重要的微分方程之一。,1.3 化工傳遞及反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型,數(shù)值分析法（主要基于建立曲線方程、微分方程等）利用數(shù)值分析法建立化工數(shù)學(xué)模型一般要遵循以下原則：首先對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行觀察分析，確定輸入和輸出變量，作出合理的假設(shè)和簡(jiǎn)化，抽象出問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型（曲線方程、微分方程等）；根據(jù)已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求解數(shù)學(xué)模型（擬合、解方程、解方程組、解微分方程）

5、。,1.4 化工數(shù)學(xué)建模及求解方法,理論分析法（主要基于三傳一反主要方程建模）利用理論分析法建立化工數(shù)學(xué)模型一般要遵循以下原則：首先對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行觀察分析，根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和精度要求，作出合理的假設(shè)和簡(jiǎn)化，抽象出問(wèn)題的物理模型；在充分了解物理模型內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，確定輸入和輸出變量以及模型參數(shù)，根據(jù)相關(guān)的守恒及平衡原理建立基本模型方程；,1.4 化工數(shù)學(xué)建模及求解方法,利用有關(guān)物理和化學(xué)原理，引入附加的函數(shù)關(guān)系對(duì)不完全封閉的基本模型方程

6、進(jìn)行封閉完善；根據(jù)研究對(duì)象和環(huán)境之間的關(guān)系，為基本模型方程補(bǔ)充初始條件和邊界條件；對(duì)所建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，直至得到能夠反映問(wèn)題內(nèi)在本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型為止。,1.4 化工數(shù)學(xué)建模及求解方法,檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的手段通常是將模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而考察模型的準(zhǔn)確性?；そ?duì)象往往涉及各種不同尺度的問(wèn)題，例如有事需要研究小至一個(gè)催化劑顆粒的催化效率，有時(shí)需要描述一個(gè)裝置的特性，而有時(shí)需對(duì)大至整個(gè)化工廠進(jìn)行建模分析。在建立化工數(shù)

7、學(xué)模型的過(guò)程中，抓住主要矛盾，充分利用“三傳一反”基本方程和合理簡(jiǎn)化，均存在一定技巧。,1.4 化工數(shù)學(xué)建模及求解方法,實(shí)驗(yàn)歸納法（“黑箱”模型，主要基于量綱分析）根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行歸納建立的數(shù)學(xué)模型稱為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停@類數(shù)學(xué)模型又分為物理量關(guān)聯(lián)和特征數(shù)關(guān)聯(lián)兩種形式。物理量關(guān)聯(lián)沒有任何普適性，只能就事論事，如物質(zhì)的密度、比熱容、黏度等參數(shù)隨溫度變化的關(guān)聯(lián)式就是這樣。,1.4 化工數(shù)學(xué)建模及求解方法,而對(duì)于特征數(shù)關(guān)聯(lián)模型，通常是具有一定普適

8、性的，如對(duì)流傳質(zhì)或傳熱特征數(shù)關(guān)聯(lián)式就能適用于很多設(shè)備和流體體系。廣泛應(yīng)用特征數(shù)關(guān)聯(lián)模型是化學(xué)工程科學(xué)的一大特色，應(yīng)在工程研發(fā)和應(yīng)用中給予充分重視。,1.4 化工數(shù)學(xué)建模及求解方法,1）相似論因次分析相似論是在尋求實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c真實(shí)模型之間內(nèi)在聯(lián)系時(shí)值得遵循的工程研究方法。它在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和工程放大中均有廣泛的應(yīng)用?；ぶ械南嗨普摪瑑蓚€(gè)定理：一是π定理，即一個(gè)系統(tǒng)的無(wú)因次數(shù)群（特征數(shù)）的個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的變量個(gè)數(shù)與基本量綱個(gè)數(shù)之差。二是相似定理

9、：如果化工系統(tǒng)可由相同的一組特征數(shù)描述，并且其數(shù)值相等，則另個(gè)系統(tǒng)是相似的；相反，如果兩個(gè)系統(tǒng)相似，則對(duì)應(yīng)的特征數(shù)一定相等。,1.4 化工數(shù)學(xué)建模及求解方法,根據(jù)相似論進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，一方面可以減少系統(tǒng)自變量的數(shù)目，從而可以提高實(shí)驗(yàn)效率和節(jié)省實(shí)驗(yàn)費(fèi)用；另一方面可以拓寬實(shí)驗(yàn)結(jié)果的適用范圍，為實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行工程放大提供方便。但是，化工中的相似論一般只適用于單一的物理過(guò)程或化學(xué)反應(yīng)過(guò)程。因?yàn)橥瑫r(shí)滿足物理過(guò)程和化學(xué)過(guò)程都相似是很困難的。,1.4 化

10、工數(shù)學(xué)建模及求解方法,2）特征數(shù)關(guān)聯(lián)模型化工中廣泛使用著特征數(shù)關(guān)聯(lián)模型，尤其是涉及湍流這類尚無(wú)法定量描述的復(fù)雜過(guò)程時(shí)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪俏ㄒ豢尚械姆椒āＨ缭谘芯繉?duì)流傳熱時(shí)，發(fā)現(xiàn)影響給熱系數(shù)hp的主要因素包括體系特征長(zhǎng)度L、流體流速u、流體密度ρ、黏度μ、導(dǎo)熱率λ和熱容cp。利用因次分析法，可得描述對(duì)流傳熱過(guò)程的三個(gè)無(wú)因次特征數(shù)：Nusselt數(shù)、Reynolds數(shù)和Prandtl數(shù)：,1.4 化工數(shù)學(xué)建模及求解方法,,,,直接

11、迭代法迭代公式通過(guò)代數(shù)恒等變形，將方程f(x)=0化成與之等價(jià)的方程x=φ(x)。令xk+1=φ(xk)，此式即為直接迭代法的迭代公式。給定初值x0,由迭代公式產(chǎn)生點(diǎn)列{xk}k=0,1,2...,若 則x*即是方程f(x)=0的根。,2.2 迭代法求解非線性方程,,收斂判定對(duì)于方程 f(x)=0 構(gòu)造的多種迭代格式xk+1=φ(xk) ，怎樣判斷構(gòu)造的迭代格式是否收斂？收斂是否與迭代的初值有關(guān)？根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，我們可以

12、直接利用以下收斂條件：（1） 當(dāng)x∈[a,b]有a≦φ(x)≦b（2） φ(x)在[a,b]上可導(dǎo)，并且存在正數(shù)L<1，使任意的x∈[a,b ]，有|φ(x)|≦L。 若滿足上述收斂條件，則在[a,b]上有唯一的點(diǎn)x*滿足x*=φ(x*) ，此時(shí)稱x* 為φ(x) 的不動(dòng)點(diǎn)。,2.2 迭代法求解非線性方程,,迭代格式構(gòu)造迭代格式xk+1=φ(xk)對(duì)任意初值x0∈[a,b] ，均收斂于φ(x) 的不動(dòng)點(diǎn)x*，

13、并有下面誤差估計(jì)式：構(gòu)造收斂迭代格式有兩個(gè)要素：（1）等價(jià)形式x=φ(x)應(yīng)滿足 |φ’(x*)|<1；（2）初值必須取自x* 的充分小鄰域，其大小決定于函數(shù)f(x)，及做出的等價(jià)形式x=φ(x) 。,2.2 迭代法求解非線性方程,,迭代控制 在一般的迭代計(jì)算中，都會(huì)給定精度控制量ε，當(dāng)時(shí)，迭代終止。在Excel迭代計(jì)算中，所求解的方程一般迭代次數(shù)較少，很快就能達(dá)到要求精度。,2.2 迭代法求解非線性方程,,松

14、弛迭代法當(dāng)?shù)绞諗亢苈龝r(shí)，我們可以從x=φ(x)出發(fā)構(gòu)造新的迭代形式，以加快收斂速度，這里先介紹松弛迭代法。迭代公式 其中， 為第k次迭代的預(yù)報(bào)值； 稱為松弛因子。,2.2 迭代法求解非線性方程,,埃特金（Aitken）迭代法為了避免確定松弛因子 的麻煩，Aitken又對(duì)松弛迭

15、代法做了改進(jìn)，提出了兩次校正的加速迭代公式，即為下式。,2.2 迭代法求解非線性方程,,牛頓（Newton）迭代法迭代公式不同于直接迭代法是將非線性方程f(x)=0恒等變形得到迭代公式，牛頓法則是將非線性方程f(x)=0在x0點(diǎn)展開，即并令用線性方程p(x)=0近似代替非線性方程f(x)=0，從中解得,2.2 迭代法求解非線性方程,,令 作為f(x)=0的根的第一級(jí)近似值。一般地，記

16、作為方程f(x)=0的根的第k+1級(jí)近似值，此式即為牛頓迭代公式。,2.2 迭代法求解非線性方程,,牛頓迭代幾何意義方程f(x)=0的解就是曲線y=f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x*。設(shè)xk為初值，過(guò)點(diǎn)(xk,f(xk))作y=f(x)的切線，則切線方程為令與 x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為,令 ，即是第K次迭代點(diǎn)。,2.2 迭代法求解非線性方程,,牛頓迭代法的應(yīng)用求重根求f(

17、x)=0的m重根的牛頓公式，收斂速度快于單根公式。求復(fù)根牛頓迭代公式 不僅可以求單實(shí)根，也可以用來(lái)求復(fù)根，但初值必須是復(fù)數(shù)。,2.2 迭代法求解非線性方程,,牛頓下降法牛頓迭代法在單根附近具有較快的收斂速度（至少平方收斂）。因此在運(yùn)用該方法時(shí)初始點(diǎn)x0應(yīng)取在單根x*的附近。當(dāng)x0偏離x*較遠(yuǎn)時(shí)，在某些情形下就不能保證收斂。此種情形下，通常采用牛頓下降法，其迭代公式為

18、式中，λ∈(0,1]為阻尼因子，應(yīng)滿足|f(xk+1)|<|f(xk)|。,2.2 迭代法求解非線性方程,,割線法迭代公式在牛頓迭代法中，需要先求得非線性方程的導(dǎo)數(shù)，但有時(shí)導(dǎo)數(shù)并不好求。針對(duì)此問(wèn)題，可用一階差商代替牛頓迭代公式中的導(dǎo)數(shù)f’(x)，就得到割線法迭代公式割線法中需要給定兩個(gè)初值x0和x1。,2.2 迭代法求解非線性方程,,線性方程組線性方程組是各個(gè)方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。其一般形式如下

19、：其中aij、bi為已知常數(shù)，xj為未知數(shù)。,2.3 求解線性方程組,用線性代數(shù)中的概念來(lái)表達(dá)，則線性方程組可以寫成：A 是m×n矩陣，x是含有n個(gè)元素列向量，b是含有m個(gè)元素列向量。,,2.3 求解線性方程組,行列式解法根據(jù)Cramer法則，線性聯(lián)立方程有唯一解的條件是其系數(shù)行列式為非零值：此時(shí)方程的解為：,,2.3 求解線性方程組,,|Di|是方程組的系數(shù)行列式，但其中的第i列元素

20、被常數(shù)列陣b所取代。例如|D1|是用常數(shù)b列陣取代系數(shù)矩陣的第一列元素所得的行列式：,2.3 求解線性方程組,2.4 求微分方程數(shù)值解,化工實(shí)際問(wèn)題的提出,例子1. 方形蓄水箱加水和排水問(wèn)題要得到水位高度和流量的關(guān)系（方形水槽）,2.4 求微分方程數(shù)值解,化工實(shí)際問(wèn)題的提出,例子2. 三角剖面水槽進(jìn)水和排水問(wèn)題 (去年考試題目)要得到水位高度和流量的關(guān)系（三角剖面水槽）,第二章待定,第二章 待定,§1.單位和量綱,單位：度

21、量同一物理量的大小。如長(zhǎng)度有 m、cm、mm， 時(shí)間有 h、min、s。,量綱（因次）：物理量的種類。如長(zhǎng)度用[L]，時(shí)間[T],質(zhì)量［M］，無(wú)論量的大小都用同一符號(hào)表示。,量綱分析,基本量綱：相互獨(dú)立的量綱，相互之間不能導(dǎo)出，而其它量的量綱可由基本量導(dǎo)出。一般取長(zhǎng)度［L］、時(shí)間［T］、質(zhì)量 ［M］、溫度［Θ］,導(dǎo)出量綱：其它物理量的量綱可由基本量綱導(dǎo)出，例如速度量綱［ ］ ，面積［ ］，壓強(qiáng) ［

22、 ］,單位、量綱、基本量綱、導(dǎo)出量綱舉例,任何物理量都有量綱，基本量綱用大寫字母表示，如下表 表 1 基本量綱 每個(gè)基本量綱都有一個(gè)基本單位，該基本單位與單位制有關(guān)。下表為兩種主要單位制 表 2 國(guó)際單位制和英制單位,去年考題：寫出任意5個(gè)基本單位及量綱,為了便于描述物理量，復(fù)合單位應(yīng)運(yùn)而生，例如

23、和 。下表列出了常用前綴 表 3 復(fù)合單位的前綴 最后一種單位是導(dǎo)出單位。它是基本單位的衍生物并具有特定的名稱。如下表 表 4 導(dǎo)出單位與量綱,,單位、量綱、基本量綱、導(dǎo)出量綱舉例,去年考題：推導(dǎo)五個(gè)導(dǎo)出單位及量綱,量綱一致性: 求和關(guān)系中的各量必須具有相同的量綱 例：總能量=動(dòng)能+勢(shì)能

24、 (1) (2) (3)符號(hào)[=]表示“具有……的量綱”。2. 求和

25、關(guān)系中的各量必須具有相同的單位,方程中各項(xiàng)可同時(shí)用m、cm、mm但量綱都是［L］。,去年考題：量綱一致性推導(dǎo)及無(wú)因次數(shù)群推導(dǎo),例子. 鐘擺的量綱分析 下面用量綱分析的方法得到鐘擺運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述(鐘擺模型如右圖) 表 5 鐘擺參數(shù) 希望利用小鐘擺模并由物理參數(shù)預(yù)測(cè)擺動(dòng)周期。我們假設(shè)有下方程的形式

26、 的函數(shù) (4) 或 (5) 由之前講到的兩條基本規(guī)則可知，上面函數(shù)的每一項(xiàng)必須為時(shí)間量綱。這就意味著式(5)應(yīng)該和質(zhì)量無(wú)關(guān)，因?yàn)闆]有能消除質(zhì)量量綱的互補(bǔ)項(xiàng)！這樣，函數(shù)簡(jiǎn)化為

27、 (6),如果長(zhǎng)度 出現(xiàn)在式(6)中，則必須用 除 以消除長(zhǎng)度量綱，即 (7) 也就是說(shuō)，如果長(zhǎng)度出現(xiàn)在式(6)中，那么必然以 的形式出現(xiàn)。這樣式(6)變?yōu)?

28、 (8) 又 (9) 且， 是無(wú)量綱的，因此

29、 (10) 上式中量綱不能為函數(shù) 提供任何信息。接下來(lái)，我們只需要測(cè)定不同 和 時(shí)鐘擺的行為了，而不需要去花費(fèi)時(shí)間考慮質(zhì)量的影響。這說(shuō)明量綱分析縮短了實(shí)驗(yàn)的進(jìn)程。而且，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析時(shí)，我們有理由相信可在固定擺幅的情況下將 對(duì) 作圖，這說(shuō)明量綱分析簡(jiǎn)化了數(shù)據(jù)分析過(guò)程。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定發(fā)現(xiàn)，當(dāng)擺幅較小時(shí)( ),周期與擺幅無(wú)關(guān)，也就是說(shuō) 和 之間為線性關(guān)系，斜率為 。因此，任何擺鐘運(yùn)

30、動(dòng)由以下簡(jiǎn)單的函數(shù)形式 (11),§2.量綱分析法,,量綱分析法是將物理現(xiàn)象所涉及的物理量組成無(wú)量綱綜合量。利用 定理使無(wú)量綱綜合量構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，該關(guān)系式反映了物理量之間的內(nèi)在規(guī)律，并使自變量的個(gè)數(shù)減到最少。,無(wú)量綱綜合量：由n個(gè)物理量組合成的無(wú)量綱數(shù)稱之。用 表示。例如：,表示無(wú)量綱綜合

31、量，解出有理數(shù)m可得 項(xiàng)。,白金漢?定理：設(shè)某個(gè)物理現(xiàn)象與n個(gè)物理量有關(guān) q1,q2,?,qn，這n個(gè)物理量的函數(shù)關(guān)系為F(q1,q2,?,qn)=0。若這n個(gè)物理量的基本量綱為m個(gè)，則這n個(gè)物理量可組成（n-m）個(gè)無(wú)量綱數(shù)?1, ?2,?, ?n-m，這些無(wú)量綱數(shù)也存在函數(shù)關(guān)系 F(?1, ?2,?, ?n-m)=0。,去年考題：無(wú)因次數(shù)群推導(dǎo)（2題，25分）,例子. 步行的量綱分析 由于人的構(gòu)造是相似的，因此應(yīng)當(dāng)

32、可以根據(jù)一些物理參數(shù)用量綱分析的方法預(yù)測(cè)人的速度。通過(guò)分析，下標(biāo)列出一些可能與人的步行速度相關(guān)的物理量 表 6 步行參數(shù) 現(xiàn)在用量綱分析來(lái)指導(dǎo)步行數(shù)據(jù)的測(cè)量和分析。先回想一下鐘擺的分析思路： 以上的分析過(guò)程簡(jiǎn)單直觀，但是只是針對(duì)此類簡(jiǎn)單問(wèn)題。下面介紹一種通用方法——無(wú)量綱分析法。

33、 把式(11)寫成 (12) 上式就是一個(gè)無(wú)量綱的式子。,一個(gè)無(wú)量綱的項(xiàng)稱為 數(shù)群?，F(xiàn)在要尋找一個(gè)能夠描述步行的 數(shù)群。如下

34、 (13)式中 是待定參數(shù)。式(13)的量綱表達(dá)式為 (14) 由于 必須是無(wú)量綱的，所以有 (15)

35、 從上式可知，質(zhì)量對(duì)步行過(guò)程無(wú)貢獻(xiàn)( )。上式剩2個(gè)方程4個(gè)未知數(shù)，有無(wú)窮的組合能滿足方程。因此必須指定一些情況。引入白金漢 定律： (16) 因此，在此例中 。為了確定這2個(gè)無(wú)因次數(shù)群，還需以下規(guī)則,無(wú)因次數(shù)群數(shù)目( ) = 參數(shù)個(gè)數(shù) - 量綱數(shù)

36、目(方程數(shù)目),對(duì)于每個(gè) 數(shù)群，必須選擇一個(gè)“核心變量”,核心變量是指出現(xiàn)在一個(gè) 數(shù)群中的參數(shù)。它是一個(gè)無(wú)因次數(shù)群的核心。我們的目的是: 尋找一個(gè)用無(wú)因次數(shù)群表示的函數(shù)形式。如

37、 (17) 現(xiàn)在， 和 這兩個(gè) 數(shù)群。這兩個(gè)數(shù)群分別以速度和步長(zhǎng)為核心變量。 : 該無(wú)因次數(shù)群包含 而不包含 。因此 的指數(shù)項(xiàng)必須為0，即 。任選一數(shù)作為 的指數(shù)( )。故得

38、 (18) 所以 (19) 上式的平方就是該數(shù)群的傳統(tǒng)形式(弗勞數(shù) )，且取該數(shù)群的平方不會(huì)影響分析結(jié)果。我們采用傳統(tǒng)形式，即

39、 (20),：該無(wú)因次數(shù)群包含 而不包含 。同上面的分析有 和 。故得

40、 (21) 所以 (22) 我們決定，將含步

41、長(zhǎng)的無(wú)因次數(shù)群作為含速度無(wú)因次數(shù)群的函數(shù)(反過(guò)來(lái)也一樣): (23)

42、 (24) 對(duì)上式的解釋: 對(duì)比步長(zhǎng)是對(duì)比速度的函數(shù)。也就是說(shuō)，平方按 進(jìn)行了比例縮放，步長(zhǎng)按腿長(zhǎng)進(jìn)行了比例縮放。通過(guò)這些縮放(動(dòng)態(tài)比例縮放)，使得所有步行者都滿足式(24)——普適關(guān)聯(lián)式。也就是說(shuō)，按照同樣方法縮放步長(zhǎng)，則一個(gè)8in與一個(gè)6in的人，他們的步行可能是動(dòng)態(tài)相似的。 對(duì)比步長(zhǎng)與對(duì)比速度之間的確定關(guān)系不能從量綱分析中得到，這需要實(shí)驗(yàn)的測(cè)定以及數(shù)據(jù)分析

43、。例如，做 的關(guān)于 的圖。 步行者的弗勞常數(shù)越大，則步行速度就越快。,,例：不可壓粘性流體在水平直管中作定常運(yùn)動(dòng)，其壓力損失 與下列因素有關(guān) ， 試用 定理確定 的規(guī)律。,1）由題意假定函數(shù)關(guān)系式：,2）寫出無(wú)量綱方程：,取基本量綱為長(zhǎng)度［L］、時(shí)間［T］質(zhì)量 ［M］由 定理可知，可寫出(n-m)=4 個(gè)無(wú)量綱量,即無(wú)量綱方程為

44、,3）取獨(dú)立變量,選直徑 d、速度 V、密度ρ為獨(dú)立變量,,獨(dú)立變量的量綱分別為：,其它幾個(gè)變量的量綱為：,,4）寫出量綱方程,利用量綱和諧原理，方程兩邊量綱應(yīng)相等,解得：,令：,,同理：,,令：,解得：,,同理,5）組成無(wú)量綱函數(shù)關(guān)系式,,達(dá)西公式,考試題目舉例,量綱分析設(shè)計(jì)工具 無(wú)因次數(shù)群之間的相互關(guān)系即設(shè)計(jì)工具。前面介紹到的對(duì)比步長(zhǎng)與 的關(guān)系對(duì)于機(jī)器人是一種設(shè)計(jì)工具。根據(jù)量綱分析開發(fā)設(shè)計(jì)工具的過(guò)程如下圖:

45、 無(wú)因次數(shù)群之間的關(guān)聯(lián)式很多，我們沒必要記住所有的關(guān)聯(lián)式，而重要的是，要知道如何應(yīng)用動(dòng)態(tài)相似原理來(lái)建立新的設(shè)計(jì)工具。,例子1 固體球在流體中運(yùn)動(dòng)的量綱分析 現(xiàn)在將量綱分析應(yīng)用于另一種現(xiàn)象:球的終端速度。 例如： a. 水中淤泥的沉降。泥水澄清需要多長(zhǎng)時(shí)間。 b. 空氣中的灰塵。公司煙囪的灰塵會(huì)落在自己公司的地界上、附近城鎮(zhèn)，還是落入海中？核冬天能持續(xù)多久？ c. 在流體

46、中拖動(dòng)一個(gè)球需要什么力？ 在這些例子中，顆粒要么太小，要么終端速度太慢(核冬天預(yù)計(jì)可持續(xù) ), 這樣直接測(cè)量實(shí)際過(guò)程是不現(xiàn)實(shí)的。所以，考慮對(duì)一個(gè)方便可測(cè)的系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)定，并利用量綱分析將實(shí)驗(yàn)結(jié)果縮放到我們感興趣但又無(wú)法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的實(shí)際過(guò)程。 確定球在流體中的物理參數(shù)。通過(guò)分析得到如下參數(shù)表： 表 7 球在流體中運(yùn)動(dòng)的有關(guān)參數(shù) 備注1：球的密度

47、歸結(jié)到浮力當(dāng)中了，流體的質(zhì)量歸結(jié)到流體密度當(dāng)中了。 備注2：黏度量綱的計(jì)算： 剪應(yīng)力/面積,,,現(xiàn)在確定這些無(wú)因次數(shù)群，任何數(shù)群都具有一般形式 (25)

48、 (26) 同樣有， (27) 根據(jù)白金漢 定律: 。需要選定3個(gè)核心變量。選擇核心變量的原則： a. 我們想知道什么？因變量是速度。 b

49、. 在實(shí)驗(yàn)中，我們打算改變哪些參數(shù)? 通過(guò)分析可以選出3個(gè)核心變量，但此例中選擇傳統(tǒng)的核心變量，即， ， 和 。下面來(lái)推導(dǎo) 數(shù)群。,: 包含 ,但不包含另外兩個(gè)核心變量。同理有 ， 和 。 故有

50、 (28) 所以 (29) 即，浮力按照流體密度進(jìn)行了

51、縮放，不妨稱為對(duì)比浮力。 :包含 ,但不包含另外兩個(gè)核心變量。同理有 ， 和 。故有 (30) 所以

52、 (31),所以 (32) 上式的倒數(shù)即是弗勞德數(shù) 。上式取倒數(shù)不會(huì)影響分析結(jié)果，而且取倒數(shù)便于與類似的系統(tǒng)進(jìn)行分析比較，所以式(32)采用其倒數(shù)形式 慣性力/重力

53、 (33) ：數(shù)群包含 ，但不包含另兩個(gè)核心變量。同理有 ， 和 。故有 (34) 所以， (3

54、5) 取上式的倒數(shù)并不會(huì)影響分析結(jié)果，上式變?yōu)?(36),式(36)也許是最著名的無(wú)因次數(shù)群——雷諾數(shù) 。與上面的弗勞德數(shù)一樣，雷諾數(shù)也可以表示為兩個(gè)力之比

55、 慣性力/黏性力 (37) 到這里之后，量綱分析不能給我們帶來(lái)更多的東西了。現(xiàn)在需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定和數(shù)據(jù)分析才能得出對(duì)比浮力、弗勞德數(shù)和雷諾數(shù)之間的關(guān)系。 下面直接給出相關(guān)結(jié)果: a. 當(dāng) 時(shí)，球體在流體中處于層流區(qū)域，函數(shù)形式為: (斯托克斯定律) (38)

56、 b. 當(dāng) 時(shí)，球體在流體中處于過(guò)渡流區(qū)域，函數(shù)形式為: (39) c. 當(dāng) 時(shí)，球體在流體中處于湍流區(qū)域，函數(shù)形式為:

57、 (牛頓阻力定律) (40),如何運(yùn)用式(38)-(40)解決實(shí)際問(wèn)題呢？ 例：要計(jì)算直徑1微米的固體顆粒在50千米的高空下落到地面時(shí)所用的時(shí)間t。且 假設(shè)，該系統(tǒng)處在層流區(qū)域，即 。則用式(38)來(lái)計(jì)算，即用斯科托斯定律 來(lái)計(jì)算，這里直接給出速度結(jié)果

58、 (41) 所以 (42) 現(xiàn)在計(jì)算雷諾數(shù)，可知 ，因此可以應(yīng)用斯科托斯定律。,例子2 動(dòng)態(tài)放大—阿拉斯加管線 前面實(shí)例，都是先通過(guò)量綱分析，然后實(shí)驗(yàn)，最終得出函數(shù)關(guān)系式，用函數(shù)關(guān)系式外推到量綱

59、相似的一些現(xiàn)象。如果我們不想得到具體的函數(shù)關(guān)系，還可以采用什么方法來(lái)分析呢？ 我們可以通過(guò)模型體系上的一次實(shí)驗(yàn)來(lái)預(yù)測(cè)該實(shí)際體系在“這些特定條件”的行為，“這些特定條件”就是動(dòng)態(tài)相似原理告訴我們的“模型體系與實(shí)際體系無(wú)因次數(shù)群的大小必須相等”。 現(xiàn)在，我們來(lái)考察阿拉斯加輸油管線的一臺(tái)泵， 如右圖所示。假定每1000m安裝一個(gè)泵，希望其流率 為 。問(wèn)每臺(tái)泵必須提供多大壓力?即

60、 (43) 如果建立一個(gè)全尺寸的模型來(lái)測(cè)定壓力降是不現(xiàn)實(shí)的。我們來(lái)搭建一個(gè)模型裝置，僅在模型裝置上做一次實(shí)驗(yàn)。我們令模型系統(tǒng)與阿拉斯加管線系統(tǒng)的無(wú)因次數(shù)群值相等，這樣，兩個(gè)系統(tǒng)就是動(dòng)態(tài)相似的。以下是步驟： a. 導(dǎo)出管內(nèi)流體流動(dòng)的無(wú)因次數(shù)群； b. 令實(shí)際系統(tǒng)和模型系統(tǒng)的無(wú)因次數(shù)群相等。,步驟(a1): 通過(guò)分析

61、，我們得到以下參數(shù)表 表 8 管內(nèi)流體流動(dòng)的參數(shù) 步驟(a2): 寫出無(wú)因次數(shù)群的通式 (44)

62、 (45) 所以 (46),步驟(a3):根據(jù)白金漢 定律: 。需要選定3個(gè)核心變量。 步驟(a4): 選擇與3個(gè) 數(shù)群對(duì)應(yīng)的3個(gè)核心變量 我們要求的一個(gè)參數(shù)。

63、 這是可以調(diào)節(jié)的一個(gè)參數(shù)。 這是流體的一種性質(zhì)。 正如前面介紹的一樣，選擇一套適合的核心變量是有章可循的。 規(guī)則1：系統(tǒng)的所有量綱必須體現(xiàn)在核心變量中 規(guī)則2：核心變量之間不能形成一個(gè)無(wú)因次數(shù)群 步驟(a5):導(dǎo)出 數(shù)群 :包含 而不包含其他兩核心變量。從而有

64、 (47) 解得 (48),上式即歐拉數(shù) ，它是化學(xué)工程中的一個(gè)常用數(shù)群。

65、 摩擦力/慣性力 (49) :包含 而不包含其他的兩個(gè)核心變量，從而有 (50) 解得

66、 (51) :包含 而不含其他的兩個(gè)核心變量，從而有 (52),解得

67、 (53) 上式的倒數(shù)就是雷諾數(shù)的變形。 慣性力/黏性力 (54) 的大小表征了流體流動(dòng)的特

68、征。 雷諾數(shù)和直接導(dǎo)出的式(53)一樣都可以作為第三個(gè)無(wú)因次數(shù)群。為了方便起見，就用雷諾數(shù)作為第三個(gè)無(wú)因次數(shù)群。 現(xiàn)在，設(shè)計(jì)一個(gè)模型系統(tǒng)來(lái)預(yù)測(cè)實(shí)際系統(tǒng)的特性。為此這兩個(gè)系統(tǒng)中無(wú)因次數(shù)群的大小必須相同，即 (55) 這就是動(dòng)態(tài)相似性。,去年考題：量綱分析

69、設(shè)計(jì)（1題，15分）,現(xiàn)在設(shè)計(jì)一個(gè)室內(nèi)操作的模型裝置系統(tǒng)。 通過(guò)適當(dāng)大小的玻璃管內(nèi)水的流動(dòng)過(guò)程來(lái)模擬阿拉斯加管線的實(shí)際情況。先將流率轉(zhuǎn)化為SI制。

70、 (56) 現(xiàn)在計(jì)算平均流速。 (57) 所以平均流速為 (58) 該系統(tǒng)的參數(shù)見下表