研究生《工程數(shù)學》第一章

1、第1章 緒論,數(shù)值計算方法及主要內(nèi)容誤差及誤差分析//算法的穩(wěn)定性,1.1數(shù)值計算方法,如何利用計算工具求出數(shù)學問題的數(shù)值解科學計算愈來愈重要應(yīng)用遍及各行各業(yè)，天氣預報飛機、汽車及輪船的外形設(shè)計其它高科技研究三大科學方法理論研究科學實驗計算科學,意義,提供在計算機上實際可行的、理論可靠的、計算復雜性好的各種常用算法,在經(jīng)典數(shù)學中,用解析方法在理論上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困難,甚至是不可能的

2、對于這類數(shù)學問題,數(shù)值解法就顯得不可缺少,同時有十分有效.,解決問題的過程,由實際問題應(yīng)用科學知識和數(shù)學理論建立數(shù)學模型的過程，是應(yīng)用數(shù)學的任務(wù),,數(shù)學模型　　數(shù)值計算方法 結(jié)果,,,根據(jù)數(shù)學模型提出求解的數(shù)值計算方法，直到編出程序上機算出解，是計算數(shù)學的任務(wù),無限維 有限維無限過程 有限過程微分方程 代數(shù)方程非線性問題 線性問題,數(shù)學模型　　數(shù)值計算方法,,,替代問

3、題與原問題的解要保持一致誤差分析,,,,復雜的數(shù)學模型，不能直接計算,比如:exp(x),例1.1.1計算exp(1.5)的值解,重點研究,求解的數(shù)值方法及與此有關(guān)的理論方法的收斂性，穩(wěn)定性誤差分析計算時間（時間復雜度）占用內(nèi)存空間（空間復雜度）,例1 已知 a0, a1, a2 ,…, an, x, 計算多項式：直接計算：運算量（乘） 秦九韶算法（1247年）：運算量：,例 2 解線性方程組,其中

4、，? 克蘭姆(Cramer)法則： 運算量(乘除)：?高斯消元法(Gauss)： 運算量(乘除) Gauss: 2641次； Cramer:,19,21,,研究例子:求解線性方程組其準確解為x1=x2=x3=1,,如把方程組的系數(shù)舍入成兩位有效數(shù)字,它的解為x1 =-6.222...

5、 x2=38.25… x3=-33.65...,例 3 穩(wěn)定性,數(shù)整數(shù) Integer 離散 無限有理數(shù) Rational Number 稠密 無限實數(shù) Real Number 連續(xù) 無限復數(shù) Complex Number 連續(xù) 無限,1.誤差,計算機中的數(shù)整數(shù) int 離散 有限浮點數(shù) float 離散 有限,

6、計算機中數(shù)的表示和運算誤差,1.3誤差,現(xiàn) 實 世 界,研究對象,測量數(shù)據(jù),數(shù)學模型的建立,計算方法的構(gòu)成,數(shù)值運算的執(zhí)行,測量誤差,模型誤差,方法誤差,,舍入誤差,結(jié)果,,,,,,,,,,,,,,,在任何科學計算中其解的精確性總是相對的,而誤差則是絕對的.,例:試求擺長為L的單擺運動周期,,,,誤差和有效數(shù)字,誤差估計,由于準確值在一般情況下是未知的，因此絕對誤差和相對誤差常常是無法計算的但有可能給

7、出估計誤差界就是用于誤差估計的。,誤差估計,,有效數(shù)字,在工程上，舍入誤差的概念就轉(zhuǎn)化為有效數(shù)字。,3.1415,,數(shù)值計算中值得注意的問題,一、防止相近的兩數(shù)相減(會耗失許多有效數(shù)字,可以用數(shù)學公式化簡后再做).例1: 各有五位有效數(shù)字的23.034與22.993相減. 23.034-22.993=0.041 0.041只有兩位有效數(shù)字,有效數(shù)字的耗失,說明準確度減小,因此,在計算時需要加工計算公式,

8、以免這種情況發(fā)生.例2:當較大時,計算 保留4位有效數(shù)字,直接算=000.0,when x=10000,=0.005,二、防止大數(shù)吃小數(shù). 當兩個絕對值相差很大的數(shù)進行加法或減法運算時,絕對值小的數(shù)有可能被絕對值大的數(shù)"吃掉"從而引起計算結(jié)果很不可靠. 例:求一元二次方程x2-(108 +1)x+108=0 的實數(shù)根.易得x1=108,x

9、2=1. 字長為16位的單精度計算機來計算, x1≈108 ,x2≈0怎樣計算可得較好的結(jié)果?,三、防止接近零的數(shù)做除數(shù),大數(shù)做乘數(shù)分母接近零的數(shù)會產(chǎn)生溢出錯誤,因而產(chǎn)生大的誤差,此時可以用數(shù)學公式化簡后再做.,四、注意計算步驟的簡化,減小運算次數(shù).,簡化計算步驟是提高程序執(zhí)行速度的關(guān)鍵，它不僅可以節(jié)省時間，還能減少舍入誤差。例1：計算9255的值，若逐個相乘要用254次乘法，但若寫成 9255 = 9? 92 ?

10、 94 ? 98 ? 916 ? 932 ? 964 ? 9128 需做 14 次乘法運算例2：設(shè)A、B、C、D分別是10?20、 20?50、 50?1、 1?100的矩陣，試按不同的算法求矩陣乘積E=ABCD.解：由矩陣乘法的結(jié)合律，可有如下算法1. E=((AB)C)D. 計算量N=11500乘法2. E=A(B(CD)). 計算量N=125000乘法3. E=(A(BC))