博士學(xué)位論文答辯超聲層析成像的理論與實(shí)現(xiàn)

1、超 聲 層 析 成 像 的 理 論 與 實(shí) 現(xiàn),答辯人: 劉 超 指導(dǎo)教師: 汪元美 教 授 浙江大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程系二○○三年九月二日,浙江大學(xué)博士論文答辯,英國(guó)從事超聲成像的專(zhuān)家P. N. T Wells在2000年的文章《超聲成像技術(shù)的現(xiàn)狀與未來(lái)》一文中指出：“在最近的十幾年里，有關(guān)超聲成像技術(shù)的研究在醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域至少占百分之二十五以上的份額，并且這種趨勢(shì)還在繼續(xù)增長(zhǎng)

2、。”Wells還指出：“目前成功地應(yīng)用于醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的超聲成像設(shè)備大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根據(jù)超聲散射波的信息，定量地生成人體內(nèi)部的結(jié)構(gòu)圖，是超聲應(yīng)用技術(shù)的研究者追求的新目標(biāo)?！?“未來(lái)的超聲成像技術(shù)應(yīng)該是制造出不需成像專(zhuān)家或醫(yī)學(xué)專(zhuān)家才能識(shí)別的反映客觀(guān)現(xiàn)實(shí)真實(shí)圖像的超聲成像設(shè)備，即使是這種設(shè)備是不完美的?！?主要內(nèi)容,一. 超聲層析成像技術(shù)的發(fā)展歷史二. 超聲層析成像技術(shù)的基本模型及方法三. 問(wèn)題的不適定性

3、及其正則化四. 模型噪聲的判斷方法——Picard準(zhǔn)則五. 靜態(tài)正則化技術(shù)在超聲層析技術(shù)中的應(yīng)用六. 迭代正則化技術(shù)在超聲層析技術(shù)中的應(yīng)用七. 總結(jié)與展望,一. 超聲層析成像的發(fā)展歷史,1. 折射系數(shù)層析成像方法 2. 衰減系數(shù)層析成像方法 3. 射線(xiàn)跟蹤方法 4. 透射式衍射層析成像及反射式衍射 層析成像方法5. 基于精確場(chǎng)描述的層析成像方法,1.折射系數(shù)層析成像方法,,,,Refractive-in

4、dex tomography,2.超聲衰減系數(shù)層析成像 Attenuation tomography,衰減系數(shù),,綜合衰減系數(shù),,,,3.射線(xiàn)跟蹤方法 Ray Tracing Method,4. 透射式衍射層析成像及反射式衍 射層析成像方法,,從不同方向照射物體時(shí),前向散射場(chǎng)數(shù)據(jù)的傅里葉變換,5. 基于精確場(chǎng)描述的層析成像方法,二. 超聲層析成像技術(shù)的基本模型 及方法,非齊次亥姆霍茲方程(Helmhol

5、tz Equation),,,,,,1. 波動(dòng)方程及其解,全場(chǎng)方程(Total Field Equation)(第二類(lèi)Fredholm積分方程),散射場(chǎng)方程(Scattering Field Equation)探測(cè)器方程(Detector Equation),,2. 積分方程的離散化─矩量法,,,,向量形式:,,,3. 波動(dòng)方程的近似,① Born近似,,,,Born逆解O,應(yīng)滿(mǎn)足的條件:,② Rytov近似,,,,,,,應(yīng)滿(mǎn)足的條

6、件:,,,,4. 基本方法,Born迭代算法(BI),Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法,變形Born迭代方法(DBI),Born迭代算法(BI),,求Born逆解O,,,,求Born逆解O,變形Born迭代算法(DBI),Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法,,代入,,三.問(wèn)題的不適定性及其正則化,適定性問(wèn)題是指： 對(duì)于連續(xù)算子方程Kx=

7、y，如果解x滿(mǎn)足： (1). 存在； (2). 唯一； (3). 連續(xù)地依賴(lài)于數(shù)據(jù)y。 否則，即上述三個(gè)條件有一個(gè)不滿(mǎn)足，則稱(chēng)其為不適定的（Ill-posed）。,離散不適定問(wèn)題(Discrete Ill-Posed Problem),,若: (1). 矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說(shuō)矩 陣A的最大奇異值和最小奇異值之比 非常大； (2). 矩陣A的奇異值逐漸

8、下降趨于零。,對(duì)于線(xiàn)性方程組Ax=b 或最小二乘問(wèn)題:,Tikhonov正則化,,L=In，x0=0時(shí)，稱(chēng)為T(mén)ikhonov正則化的標(biāo)準(zhǔn)形式,其解可表示為:,,四.模型噪聲的判斷方法: Picard準(zhǔn)則,離散Picard準(zhǔn)則： 若方程組Ax=b的傅里葉系數(shù) 趨于零的速度在平均意義下快于矩陣A的奇異值趨于零的速度的話(huà)，則稱(chēng)該方程組滿(mǎn)足離散Picard準(zhǔn)則(條件)。,,最小二乘解:,Tikhonov正則化解

9、:,受噪聲污染和無(wú)噪聲污染的Picard圖,污染嚴(yán)重,污染較輕,A,,對(duì)比度為30％時(shí),對(duì)比度為20％時(shí),對(duì)比度為10％時(shí),五. 靜態(tài)正則化技術(shù),1.截?cái)嗥娈愔捣纸庹齽t化方法 Truncated Singular Value Decomposition (TSVD),2.截?cái)嗤耆钚《苏齽t化方法 Truncated Total Least Squares (TTLS),1.截?cái)嗥娈愔捣纸庹齽t化方法(TSVD),

10、對(duì)于線(xiàn)性方程組Ax=b 或最小二乘問(wèn)題,,最小二乘解:,Tikhonov正則化解:,,TSVD正則化解:,正則化參數(shù)的選取方法,離差原理(Discrepancy Principle)方法 廣義交叉驗(yàn)證(GCV)方法 L曲線(xiàn)(L-Curve)方法,,,?減小時(shí),?增加時(shí),,,由L曲線(xiàn)方法確定k’,,采用一維搜索的方法確定更精確的k,TSVD方法的數(shù)值仿真結(jié)果,對(duì)比度為10％時(shí),對(duì)比度為20％時(shí),對(duì)比度為30％時(shí),原始圖像,迭代過(guò)程的

11、相對(duì)誤差和相對(duì)殘差曲線(xiàn),迭代過(guò)程的相對(duì)誤差和相對(duì)殘差曲線(xiàn),2.截?cái)嗤耆钚《苏齽t化方法,滿(mǎn)足：,,,最小二乘問(wèn)題：,,完全最小二乘問(wèn)題：,滿(mǎn)足：,截?cái)嗤耆钚《说牟襟E,1. 首先，計(jì)算增廣矩陣(A，b)的奇異值分解：,,2．確定截?cái)鄥?shù)k≤min(n，rank(A，b))使得：,,,3. 記q=n-k+1,將矩陣分塊,,4.則完全最小二乘問(wèn)題的解為：,TTLS方法的數(shù)值仿真結(jié)果,原始圖像,對(duì)比度為10％時(shí),對(duì)比度為20％時(shí),對(duì)比度為

12、30％時(shí),迭代過(guò)程的相對(duì)誤差和相對(duì)殘差曲線(xiàn),六. 迭代正則化技術(shù),1.求解最小二乘問(wèn)題的共軛梯度方法(cgls),2. LSQR方法,1.求解最小二乘問(wèn)題的共軛梯度 方 法(cgls),將共軛梯度法應(yīng)用于法方程,,,相當(dāng)于在Krylov子空間：,產(chǎn)生的序列xk，使得：,,cgls方法的解可表示為:,,,的k-1次多項(xiàng)式，其系數(shù)的確定,是,其中：,依賴(lài)于：(1).方程的右側(cè)項(xiàng)b的特征； (2).矩陣A的奇異值的分布； (3).迭

13、代的次數(shù),迭代次數(shù)增加，殘差變化不大，但解的范數(shù)受影響較大,正則化參數(shù)對(duì)迭代的影響,cgls方法的數(shù)值仿真結(jié)果,對(duì)比度為10％時(shí),原始圖像,對(duì)比度為20％時(shí),對(duì)比度為30％時(shí),迭代過(guò)程的相對(duì)誤差和相對(duì)殘差曲線(xiàn),圖5.15采用clgs方法，五種不同圖像在對(duì)比度為30％時(shí)的相對(duì)殘差(RRE)曲線(xiàn)，cgls迭代次數(shù)為10,LSQR迭代方法,Lanczos三對(duì)角過(guò)程,Lanczos,,應(yīng)用于,,將矩陣A雙對(duì)角化,Golub和Kahan(196

14、5),Paige和Saunders(1982),,,,線(xiàn)性方程組Ax=b和,應(yīng)用于,,LSQR方法的優(yōu)點(diǎn):,1. 速度快 2. 對(duì)不適定性問(wèn)題數(shù)值穩(wěn)定 3. 從迭代過(guò)程很容易求得數(shù)值分析的數(shù)值,原始圖像,LSQR方法的數(shù)值仿真結(jié)果,對(duì)比度為10％時(shí),對(duì)比度為20％時(shí),對(duì)比度為30％時(shí),七. 總結(jié)與展望,首先利用Picard理論，分析了超聲層析成像問(wèn)題的中的模型噪聲問(wèn)題，給出了入射波的確定方法、以及正則化方法的適用范圍的判斷方法。

15、,采用了兩類(lèi)四種正則化方法對(duì)超聲層析成像問(wèn)題中的不適定性問(wèn)題進(jìn)行了研究，通過(guò)對(duì)正則化參數(shù)選擇的修正，完成了較大對(duì)比度物體的成像問(wèn)題。,結(jié)論：靜態(tài)正則化方法數(shù)值穩(wěn)定，但速度慢；迭代正則化方法速度快，但數(shù)值穩(wěn)定性不如靜態(tài)方法。,今后需要進(jìn)一步研究的工作,1. 前向散射問(wèn)題的研究（波動(dòng)方程的精確程度）2. 離散化方法 有限元法、邊界元法 矩量法中基函數(shù)的確定3. 正則化問(wèn)題 基于非對(duì)成方程的Krylov子空間方