計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(下)第5編數(shù)值分析

1、計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(下)第5編 數(shù)值分析,第12章 數(shù)值積分與微分(續(xù)),本章主要內(nèi)容：,高斯點(diǎn)高斯—勒讓德公式高斯求積公式等距節(jié)點(diǎn)的兩點(diǎn)求導(dǎo)公式三點(diǎn)求導(dǎo)公式重點(diǎn)：高斯求積公式難點(diǎn)：積分區(qū)間的轉(zhuǎn)化，等距節(jié)點(diǎn)的三點(diǎn)求導(dǎo)公式。,教學(xué)要求：,1。熟練掌握高斯點(diǎn)的求法，2。會(huì)用高斯求積公式計(jì)算數(shù)值積分，3．了解高斯求積公式的代數(shù)精度，4．掌握幾個(gè)數(shù)值微分計(jì)算公式。,教學(xué)資源,1．  中央電大在線平臺(tái)上文字輔

2、導(dǎo)材料《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)》數(shù)值積分(02-12)和IP課件計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(二)輔導(dǎo)2，學(xué)員需注冊(cè)才能進(jìn)入。2．  安徽電大網(wǎng)站上的教學(xué)服務(wù)欄目中有文字輔導(dǎo)材料第三次輔導(dǎo)。注意：安徽電大影音在線中的VOD教學(xué)課件中計(jì)算機(jī)本科的教學(xué)欄目?jī)?nèi)的課件全部是《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(上)》的教學(xué)內(nèi)容，不可看。而應(yīng)該在計(jì)算機(jī)專(zhuān)科的教學(xué)欄目中看《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(下)06》的教學(xué)內(nèi)容。,12.3 高斯求積公式,12.3.1 高斯求積公

3、式和高斯點(diǎn) 考察兩個(gè)點(diǎn)的求積公式：它可以是： 具有1次代數(shù)精度，也可以是： 具有3次代數(shù)精度。它表明，有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式最高可以具有2n+1次代數(shù)精度。這類(lèi)求積公式稱(chēng)為高斯求積公式。,當(dāng)求積公式：具有2n+1次代數(shù)精度時(shí)，其n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為高斯點(diǎn)。 這樣的求積公式對(duì)于一切次數(shù)不超過(guò)2n+1次的多都能精確成立，關(guān)鍵問(wèn)題是哪些節(jié)點(diǎn)是

4、高斯點(diǎn)，各節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系數(shù) 是多少。 下面，我們就給出求高斯點(diǎn)的公式：高斯—勒讓德公式。,12.3.2 高斯—勒讓德公式 通過(guò)變量替換 ，我們可以把積分區(qū)間從[a,b]變換成[-1,1]，當(dāng)t在[-1,1]間取值時(shí)， 的值在[a,b]間把以t為變量的積分值乘以 ，就得到以x為變量在區(qū)間[a,b]上的積分值。 因

5、此，我們可以在區(qū)間[-1,1]內(nèi)尋找高斯點(diǎn)。在區(qū)間[-1,1]上的求積公式稱(chēng)為高斯—勒讓德公式：,勒讓德多項(xiàng)式： 的零點(diǎn)就是在區(qū)間[-1,1]內(nèi)的高斯點(diǎn)。注意：這里的n指的是在區(qū)間[-1,1]內(nèi)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而不是下面求高斯求積公式的代數(shù)精度時(shí)所說(shuō)的n?！＝1，　n＝2， n＝3，,選取適當(dāng)?shù)南禂?shù)。就可得到高斯求積公式：1個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，具有1次代數(shù)精度。算代數(shù)精度時(shí)的n＝0。2個(gè)節(jié)點(diǎn)

6、時(shí)，具有3次代數(shù)精度。算代數(shù)精度時(shí)的n＝1。3節(jié)點(diǎn)時(shí)，具有5次代數(shù)精度。算代數(shù)精度時(shí)的n＝2。,例2 用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯—勒讓德求積公式計(jì)算積分解：取 ，n＝1，具有3次代數(shù)精度。,例3 用高斯—勒讓德求積公式計(jì)算使其具有5次代數(shù)精度。解：2n+1＝5，n＝2，用3個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯—勒讓德公式,,12.4 數(shù)值微分,本書(shū)中求數(shù)值微分的方法稱(chēng)為插值型求導(dǎo)公式。 它的思路是：利

7、用已知的函數(shù)值 ，用等距節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式Pn(x)作為f(x)的近似，然后對(duì)Pn(x)求導(dǎo)，得到f’(x)。 我們知道，兩點(diǎn)的插值函數(shù)為： 若兩個(gè)節(jié)點(diǎn)用 表示，并記,兩節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為：三點(diǎn)的插值函數(shù)為：若節(jié)點(diǎn)用 表示，并記,分別取 代入，得三節(jié)點(diǎn)處的求導(dǎo)公式 該公式比較復(fù)雜，不要死背硬記，那樣很容

8、易忘記。要尋找系數(shù)中的規(guī)律進(jìn)行記憶。,例1 已知數(shù)據(jù)為 用三點(diǎn)公式求解：,,,[2002年1月試卷選擇題4]已知當(dāng) 時(shí)的函數(shù)值 ，則,,B,[2001年7月試卷計(jì)算題13(2)]設(shè)函數(shù)值表為 取步長(zhǎng)h=0.2，計(jì)算f’(2.7)的近似值，計(jì)算保留4位小數(shù)。解：步長(zhǎng)h=0.2，計(jì)算f’(2.7)，只能用x=2.5,2.7,2.9計(jì)算,,,本課小結(jié)：

9、1． 高斯—勒讓德公式是建立在區(qū)間[-1，1]上的數(shù)值積分公式。對(duì)于積分區(qū)間是[a，b]的數(shù)值積分，可通過(guò)變量替換 ，化為[-1，1]上的數(shù)值積分。 2． 高斯點(diǎn)的求法是求勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)。勒讓德多項(xiàng)式是 。要注意的是該公式里的n表示的是高斯點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而不是求高斯求積公式的代數(shù)精度時(shí)所用到的n。,1．  一個(gè)高斯點(diǎn)的求積公式是 ，兩個(gè)高