基于魚群算法的函數(shù)尋優(yōu)算法-應用數(shù)學畢業(yè)論文

1、<p>　　西 南 交 通 大 學</p><p>　　本科畢業(yè)設計（論文）</p><p>　　基于魚群算法的函數(shù)尋優(yōu)算法</p><p>　　年 級:2013級</p><p>　　學 號:20133798</p><p>　　姓 名:林安森</p><p>　　

2、專 業(yè):數(shù)學與應用數(shù)學</p><p><b>　　指導老師:卿銘</b></p><p>　　2017年 5 月 </p><p>　　院 系 數(shù)學學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p&

3、gt;　　年 級 2013 姓 名 林安森 </p><p>　　題 目 基于魚群算法的函數(shù)尋優(yōu)算法 </p><p><b>

4、　　指導教師</b></p><p>　　評 語 </p><p>　　指導教師 (簽章)</p><p><b>　　評 閱 人</b></p><p>　　

5、評 語 </p><p>　　評 閱 人 (簽章)</p><p><b>　　成 績</b></p><p>　　答辯委員會主任 (簽章)</p>&l

6、t;p>　　年 月 日</p><p>　　畢業(yè)設計（論文）任務書</p><p>　　班 級 學生姓名 學 號 </p><p>　　發(fā)題日期： 年 月 日 完成日期： 月

7、 日</p><p>　　題 目 </p><p>　　1、本論文的目的、意義 </p><p>　　2、學生應完成的任務

8、 </p><p>　　3、論文各部分內(nèi)容及時間分配：（共 12 周）</p><p>　　第一部分 ( 周) </p><p>　　第二部分

9、 ( 周) </p><p>　　第三部分 ( 周)</p><p>　　第四部分 ( 周) </p><p>　　第五部分

10、 ( 周)</p><p>　　評閱及答辯 ( 周)</p><p>　　備 注

11、</p><p>　　指導教師： 年 月 日</p><p>　　審 批 人： 年 月 日</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　群體智能算法已經(jīng)成為尋優(yōu)算法的重要研究方向，國內(nèi)外的學者都在不斷的探索新的智能算法。在一些尋優(yōu)問題中，如在對R

12、osenbrock函數(shù)這一類非凸，病態(tài)單峰函數(shù)的尋優(yōu)，傳統(tǒng)方法如牛頓法等并不能得到全局最優(yōu)解，容易陷入局部最優(yōu)解，并且計算過程復雜，但群體智能算法就能很好的解決此類問題。智能優(yōu)化算法包括遺傳算法、蟻群算法。模擬退火算法和人工魚群算法等。</p><p>　　本文主要講述人工魚群算法。該算法是一種模擬低等生物行為的仿生算法，是一種新型的尋優(yōu)策略，并且具有魯棒性強、全局收斂性好、對初值敏感度低等眾多優(yōu)點。本文首先對人

13、工魚群算法的原理以及基本行為思想和實現(xiàn)方式進行了詳細的描述，給出了流程圖和主要實現(xiàn)方法，并編寫尋優(yōu)代碼，利用經(jīng)典智能算法驗證函數(shù)，帶入實驗進行模擬仿真。然后通過對其中一些關鍵參數(shù)如視野、步長等進行分析，了解到算法后期收斂精度低收斂速度慢等缺點，對該算法進行改進。加入了自適應步長，初始值均勻分布等改進方案，使得算法在前期能更好的照顧全局性，在后期加快收斂速度。最后把改進后的人工魚群算法應用到了組合優(yōu)化問題中。通過旅行商問題（Travell

14、ing Salesman Problem簡稱TSP）舉例，描述人工魚群算法在該問題上的實現(xiàn)方式，編程解決了16個城市的TSP問題。</p><p>　　目前魚群算法的應用還局限于無約束、連續(xù)、單目標的確定性優(yōu)化問題上，在日后的研究中，應當注重該算法在多約束、離散、多目標等不確定優(yōu)化問題上的研究和應用。</p><p>　　關鍵詞：人工魚群算法 全局 鄰域 最優(yōu)值</p>

15、<p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Group intelligence algorithm has become an important research direction of the optimization algorithm, domestic and foreign scholars are constantly exploring n

16、ew intelligent algorithms. In some problems, for example, in the case of Rosenbrock function, we can not obtain the global optimal solution, which is easy to fall into the local optimal solution and the complicated proce

17、ss, but the traditional method such as Newton method can be obtained. The group intelligence algorithm can solve such pro</p><p>　　This paper focuses on the artificial fish swarm algorithm. The algorithm is

18、a kind of bionic algorithm which simulates the low biological behavior. It is a new kind of optimization strategy, and has many advantages such as strong robustness, good global convergence and low sensitivity to the ini

19、tial value. In this paper, the principle of artificial fish swarm algorithm and the basic behavior thought and realization method are described in detail. The flow chart and main implementation method are</p><

20、p>　　At present, the application of fish algorithm is also limited to the problem of deterministic optimization of unconstrained, continuous and single target. In the future research, we should pay attention to the res

21、earch of discrete, multi-objective and other uncertain optimization problems. application.</p><p>　　key words：AFSA Global Area The optimal value</p><p>　　摘 要5</p><p>　　A

22、bstract5</p><p><b>　　7</b></p><p><b>　　緒論8</b></p><p>　　1.課題學術背景和意義8</p><p><b>　　2.國內(nèi)外進展8</b></p><p>　　3.論文各部分的主要內(nèi)容

23、9</p><p>　　第一章 魚群算法原理9</p><p><b>　　1.1群體智能9</b></p><p>　　1.1.1群體智能遵守五條行為準則：10</p><p>　　1.1.2 群體智能的特點：10</p><p>　　1.2人工魚群模式10</p>&

24、lt;p>　　1.2.1人工魚群算法的概念11</p><p>　　1.1.2 人工魚群算法的主要行為12</p><p><b>　　1.3人工魚13</b></p><p>　　1.4問題的解決13</p><p>　　第二章 魚群算法的實現(xiàn)13</p><p>　　2.1變量

25、及函數(shù)定義14</p><p>　　2.2行為描述15</p><p>　　2.3算法描述17</p><p>　　2.4算法驗證18</p><p>　　2.5各個參數(shù)對結果的影響20</p><p>　　2.6人工魚群算法的收斂基礎23</p><p>　　第三章 算法的改進2

26、4</p><p>　　3.1自適應步長魚群算法24</p><p>　　3.1.2仿真實驗以及分析26</p><p>　　3.2初始均勻分布全局人工魚群算法28</p><p>　　3.2.1初始均勻分布28</p><p>　　3.2.2 全局人工魚群算法29</p><p>　

27、　3.2.3仿真實驗以及分析30</p><p>　　第四章 魚群算法應用32</p><p>　　4.1組合優(yōu)化問題33</p><p>　　4.2 旅行商問題33</p><p>　　4.3TSP問題求解34</p><p>　　4.3.1TSP求解一般思路34</p><p>

28、　　4.3.2人工魚群算法求解TSP35</p><p>　　4.3.3行為選擇36</p><p>　　4.4.4仿真實驗36</p><p><b>　　結論38</b></p><p><b>　　參考文獻39</b></p><p><b>　　緒

29、論</b></p><p>　　1.課題學術背景和意義</p><p>　　隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，科學研究正式步入了多學科相互交叉、滲透、影響的時代。人類對宇宙奧秘的探尋從未停止前進的步伐，在探索的過程中，越來越多的問題開始呈現(xiàn)在我們的眼前。面對系統(tǒng)的復雜性，傳統(tǒng)方法已然陷入困境，尋找一個適合大規(guī)模并行操作，且具有智能特征的優(yōu)化算法已成為許多有關學科的主要研究目標。</p

30、><p>　　最優(yōu)化（Optimization）問題，是應用數(shù)學的一個重要分支，是一門研究問題相當廣泛的學科，它主要目標是尋找目標函數(shù)的最優(yōu)解，然后來選擇決策問題的最佳方案，并討論這種算法的理論基礎和在實際問題中的表現(xiàn)。在計算機時代隨著技術的進步，越來越多的大規(guī)模優(yōu)化問題得到了解決方案。所以最優(yōu)化問題才能廣泛的應用于經(jīng)濟計劃、工程設計、生產(chǎn)管理、交通運輸、國防等重要領域，并受到政府部門、科研機構和產(chǎn)業(yè)部門的高度重視。

31、</p><p>　　國內(nèi)外的應用研究表明，通過經(jīng)過優(yōu)化技術的處理，能大大提高系統(tǒng)效率，降低能耗，經(jīng)濟效益和資源利用的方式均有顯著的提升，隨著問題規(guī)模的擴大，這種效果越加顯著。</p><p>　　在面對一些大型問題時，常規(guī)的尋優(yōu)算法無論是在計算速度，精度，收斂方式等方面都不能滿足要求。因此，針對常規(guī)算法的缺點，應運而生出了一些群體智能優(yōu)化算法，研究群體智能優(yōu)化算法來解決這些問題，對于時代

32、具有很重要的意義。</p><p>　　一些常見的群體智能算法，如遺傳算法，粒子群算法，混沌算法和人工魚群算法等。</p><p><b>　　2.國內(nèi)外進展</b></p><p>　　人工魚群算法自2002年李曉磊等人提出以來，已經(jīng)獲得了國內(nèi)外學者的廣泛關注，算法已經(jīng)應用實施到了許多領域，從一維靜態(tài)問題發(fā)展到解決多維組合動態(tài)問題，從連續(xù)問題

33、發(fā)展到解決離散問題。</p><p>　　一些學者對本算法的參數(shù)，結構以及各種行為進行調整，從而提出了改進的魚群算法，在文獻[1]中，主要針對人工魚群算法尋優(yōu)精度不高，后期收斂慢等特點，通過采用一種自適應步長的調整方式對算法進行了改進。文獻[2]中從魚群生活的行文特性出發(fā)，從圖論的角度觀察算法的搜索過程，控制搜索過程中每條魚的行進方向，對基本人工魚群算法進行改進。而其他一些文獻表明，從去除步長限制，加入“跳躍”行

34、為來改變?nèi)斯~的參數(shù)，或者通過基于多群體競爭的改進方式對本算法做出了改進。</p><p>　　而為了提高算法的性能，一些學者把其他的智能算法，如模擬退火算法，粒子算法等智能算法與人工魚群算法相結合，大大加快了算法的收斂速度，加強了算法的局部搜索性能。</p><p>　　經(jīng)過幾年的發(fā)展，雖然人工魚群算法沒有像蟻群算法，遺傳算法等算法受到廣泛關注和應用，但是在國內(nèi)的電力系統(tǒng)，神經(jīng)網(wǎng)絡，油田

35、定位，信號處理，模糊控制器設計等方面得到了初步的應用。</p><p>　　3.論文各部分的主要內(nèi)容</p><p>　　本文的第一章主要是對群體智能模式和低級物種的群體行為來展開敘述，由魚群的一些基本行為來引申出算法的一些基本步驟，圖示給出算法實現(xiàn)的基本原理。第二章主要給出了基本行為（如覓食行為，聚群行為等）的具體實現(xiàn)方法和算法描述以及流程圖，再通過驗證函數(shù)編程對算法進行驗證，再而討論算

36、法的參數(shù)對算法結果的影響。第三章根據(jù)目前對算法的改進建議做出改進，評價改進前后算法的優(yōu)劣程度。第四章對主要介紹了了本算法在組合優(yōu)化問題上的運用，以一個實際的案例，旅行商（TSP）問題舉例，利用人工魚群算法來求解該問題。</p><p>　　第一章 魚群算法原理</p><p><b>　　1.1群體智能</b></p><p>　　人類在早起就

37、開始對自然界中存在的群體行為產(chǎn)生了濃厚的研究興趣，比如為什么鳥群在集體遷徙過程中，幾萬只鳥一起飛行而不會產(chǎn)生碰撞。大雁排成人字形飛行更符合空氣動力學，蝙蝠在黑暗的洞穴中快速飛行卻不會碰撞到巖壁。對于這現(xiàn)象，有一種解釋是說群居生物有自己的一套行為準則，個體在準守這種行為準則的前提下活動，就可以表現(xiàn)出上述行為。</p><p>　　群體智能（Swarm/Collection Intelligence）這個概念是通過對

38、自然界中的群居生物是觀察而得來的。在自然界中，如螞蟻一般的群居生物在對覓食方法和交流方式上與獨居生物的表現(xiàn)形式不同，其中不具備人類所認為的高級智能是最明顯的特征。群居生物通過合作交互來表現(xiàn)出的宏觀智能即為群體智能。</p><p>　　1.1.1群體智能遵守五條行為準則：</p><p>　　(1) 鄰近原則( Proximity Principle) ,群體能夠進行簡單的空間和時間計算;

39、</p><p>　　(2) 品質原則(Quality Principle) ,群體能夠響應環(huán)境中的品質因子;</p><p>　　(3) 多樣性反應原則( Principle of Diverse Response) ,群體的行動范圍不應該太窄;</p><p>　　(4) 穩(wěn)定性原則(Stability Principle) ,群體不應在每次環(huán)境變化時都改變自身

40、的行為;</p><p>　　(5) 適應性原則(Adaptability Principle) ,在所需代價不太高的情況下,群體能夠在適當?shù)臅r候改變自身的行為。</p><p>　　1.1.2 群體智能的特點：</p><p>　　(1) 控制是分布式的,不存在中心控制。具有很強的魯棒性，對工作環(huán)境的適應性強，不會應為個體的故障而影響群體的性能。</p>

41、;<p>　　(2) 個體之間通過“激發(fā)工作”方式來間接通信，這種工作模式下個體都具有改變環(huán)境的能力。與非直接通信方式相比，這種模式通信具有更高的可擴充性和更低的通信損耗。</p><p>　　(3) 由于群體中個體能力的行為規(guī)則相對簡單，所以能更方便的實現(xiàn)群體智能，因此具有簡單性。</p><p>　　(4) 群體的復雜行為都是通過個體的簡單交互來實現(xiàn) ,因此群體具有自組織

42、性。</p><p><b>　　1.2人工魚群模式</b></p><p>　　魚群生活在水里，通過覓食來養(yǎng)活自身，在覓食的過程中，魚個體主要通過探尋環(huán)境和尾隨其它個體來尋找食物濃度更高的地方，所以在個體大規(guī)模聚集的地方一般是本水域中食物濃度較高的地方，也是尋優(yōu)過程中函數(shù)值較優(yōu)的區(qū)域。人工魚群算法主要是通過模仿魚群覓食和追尾這一系列特征來實現(xiàn)函數(shù)尋優(yōu)。</p&

43、gt;<p>　　1.2.1人工魚群算法的概念</p><p>　　人工魚群算法（Artificial Fish Swarm Algorithm，AFSA）是2002年，李曉磊博士等人受魚群行為的啟發(fā)，基于群體智能而提出的優(yōu)化算法，該算法主要是通過模仿魚群生活習性，在搜索域中尋找最優(yōu)值，是群體智能思想的一個具體應用。</p><p>　　生物的視覺功能是極其復雜的，即使是尖端

44、的影像技術也不能達到生物視覺的能力。為了簡單的實現(xiàn)魚類視覺概念，通過以下方式來實現(xiàn)人工魚的視覺功能。圖1- 1 人工魚視覺</p><p>　　如圖1-1所示，設置在位置處放置一條人工魚,視野表示它能觀察到環(huán)境的最遠距離，記為,每次移動的最大距離稱為步長記為.位置是當前時刻人工魚的一個視點，如果視點位置處的食物濃度高于當前所處位置，那么人工魚則向視點方向前進一步，即到達位置;如果視點位置的食物濃度低于當前位置的食

45、物濃度，那么人工魚繼續(xù)觀察視野范圍內(nèi)其他的視點,如等位置。隨著巡視的次數(shù)增多，人工魚對環(huán)境中食物的分布情況了解更全面，這樣有助于做出下一步相應的判斷和決策。在巡視狀態(tài)無限循環(huán)的情況下可以通過隨機行為來跳出巡視，這樣能一定程度的幫助算法擺脫局部最優(yōu)，有利于全局尋優(yōu)。</p><p>　　設上圖中人工魚所處的位置為，視點位置為那么巡視過程如式（1-1）、移動過程如式（1-2）：</p><p>

46、;<b>　?。?-1）</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　其中，為區(qū)間[0,1]之間的隨機數(shù)，和分別為視野和步長的最大值。由于在環(huán)境中同伴的個體數(shù)目有限，所以人工魚個體在環(huán)境中感應其他同伴的距離和同伴處的食物濃度并作出相應決策并調整自身位置的方式與以上方法類似。</p><p>

47、　　1.1.2 人工魚群算法的主要行為</p><p><b>　　覓食行為</b></p><p>　　魚群通過覓食生存，個體覓食的行為稱為覓食行為，該行為主要體現(xiàn)在人工魚向食物濃度高的地方移動。該行為的主要實現(xiàn)方式是通過視覺等功能，尋找環(huán)境中的食物分布?；驹砗蜕显V視覺概念的實現(xiàn)方式相同。該過程的算法描述為向著較優(yōu)的方向前進。食物濃度即為函數(shù)值。</p&g

48、t;<p><b>　　聚群行為</b></p><p>　　魚類在生活中，為了躲避天敵來保證生存，會自然的聚集在一起，而聚集更多魚的地方一般為食物濃度較高的地方，這是魚類生活的常見現(xiàn)象，稱為聚群行為。聚群要保證盡量避免過多的個體擁擠在一起，個體的方向保持是一致，盡量向伙伴的中心一動。</p><p><b>　　追尾行為</b>&

49、lt;/p><p>　　當鄰近的一條或者幾條魚發(fā)現(xiàn)食物后，附近范圍內(nèi)的魚會尾隨其后，向它游來，進而會招致更遠的魚游向該方向。算法可以理解為向附近最優(yōu)的方向移動。</p><p><b>　　隨機行為</b></p><p>　　當魚在水中自由的游動時，可以認為該魚的游動方向是隨機的，事實上這是為了在大范圍中搜尋食物和伙伴。在尋優(yōu)算法中可以描述為隨機

50、尋找一個初值，計算其函數(shù)值。</p><p>　　以上行為是魚的典型行為，基本行為每時每刻都會發(fā)生，他們之間既能相互轉換也能相互聯(lián)系。在算法實施過程中，如何利用有效的方法來實現(xiàn)以上行為將會是未來尋優(yōu)算法建立所面臨的重要問題。</p><p><b>　　1.3人工魚</b></p><p>　　生物魚的虛擬實體稱為人工魚，主要是用來存儲數(shù)據(jù)和通

51、過一些列行為對環(huán)境實現(xiàn)探索。通過感知環(huán)境刺激來做出一些列的行為，從而改變自身的參數(shù)。人工魚所處的環(huán)境是問題的定義域，目標函數(shù)的函數(shù)值表示當前位置食物濃度。它下一時刻的行為選擇取決于自身狀態(tài)和目前的環(huán)境，還通過自身的行為，影響其他同伴的活動。</p><p>　　人工魚能夠自主游動是通過行為評價的方式來實現(xiàn)的。在優(yōu)化問題中，可以選用以下兩種評價方式：①選擇最優(yōu)行為執(zhí)行，即在當前狀態(tài)下，哪一種行為的前進方向最優(yōu)，則選

52、擇哪種行為；②選擇較優(yōu)行為前進，即任意選擇一種行為，只要該行為能向優(yōu)的方向前進，則選擇該行為。兩種評價方式的選擇應該根據(jù)具體問題具體分析。</p><p><b>　　1.4問題的解決</b></p><p>　　問題的解決是通過人工魚自治體的活動以某種形式表現(xiàn)出來的。在尋優(yōu)過程中，通過兩種方式表現(xiàn)出：一種是通過人工魚在尋優(yōu)的最終結果分布情況在確定最優(yōu)解，隨著在尋優(yōu)的

53、過程的進行，人工魚最終會向極值點附近聚集，在全局極值點周圍的人工魚會更多；另一種表現(xiàn)方式是通過個體來表現(xiàn)出來的，在尋優(yōu)過程中，記錄最優(yōu)個體的狀態(tài)，并在尋優(yōu)結束后比較分析所以狀態(tài)中的最優(yōu)值。</p><p>　　第二章 魚群算法的實現(xiàn)</p><p>　　通過上一章對人工魚模式的介紹，我們對人工魚有了初步的理解，對人工魚個體的自治行為有所了解，本章將從深層意義上對人工魚群算法的機制原理進行探

54、討分析，實現(xiàn)人工魚行為的算法描述，從解決問題的角度對基本人工魚群算法的數(shù)學模型進入深入的分析，給出具體的實現(xiàn)步驟和程序流程圖并編程計算函數(shù)尋優(yōu)問題。算法基于animals模式，采用自上而下的設計方法，所有代碼通過matlab實現(xiàn)。帶入具體函數(shù)尋優(yōu)問題，用本算法解決該問題，尋找最優(yōu)值。</p><p>　　2.1變量及函數(shù)定義</p><p>　　算法中所用到的變量名以及變量含義如表2-1所

55、示，各個行為所用的函數(shù)命名以及功能如表2-2所示，實現(xiàn)的代碼在附件中。</p><p><b>　　表2- 1變量名稱</b></p><p><b>　　表2- 2函數(shù)名稱</b></p><p><b>　　2.2行為描述</b></p><p>　　1.初始化魚群(ini

56、t)</p><p>　　魚群中每條人工魚初始值為一組實數(shù)，該實數(shù)在待優(yōu)化問題的定義域隨機生成。例如，一個二元的優(yōu)化問題，生成魚群的大小為N，待優(yōu)化參數(shù)x,y的取值范圍分別為[x1,y1][x2,y2],那么產(chǎn)生2行N列的初始魚群，每條人工魚的兩個參數(shù)由列向量表示，所以人工魚初值儲存在一個2行N列的矩陣中，以后對個體的參數(shù)改變均通過改變該矩陣的參數(shù)實現(xiàn)。</p><p>　　覓食行為(pr

57、ey)</p><p>　　設當前人工魚的狀態(tài)（即位置）為,在其視野范圍內(nèi)按式（2-1）感知環(huán)境中的某一隨機位置。表示生成一個[0,1]內(nèi)的隨機數(shù)。</p><p><b>　　（2.1）</b></p><p>　　如果在求極大值為問題中（極大值問題和極小值問題之間可以相互轉化，所以下文均只討論極大值問題。），那么人工魚則向該方向前進一步到下

58、一位置，前進方式如式（2-2）所示：</p><p><b>　　（2.2）</b></p><p>　　如果不滿足，則再按式（2.1）重新選擇視點，判斷是否滿足前進條件，這樣總共嘗試次后，如果任不滿足條件，則隨機移動一步。該過程算法流程如圖2-1所示：</p><p><b>　　圖2- 1</b></p>

59、<p>　　聚群行為(swarm)</p><p>　　設人工魚當前狀態(tài)為，探索當前視野范圍內(nèi)()的伙伴數(shù)目以及伙伴中心位置，其中心位置計算方式如式（2.3）：</p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　如果滿足，那么則表示當前視野內(nèi)伙伴中心有較多的食物并且不太擁擠，則按照式（2.4）向伙伴中心方向移動&l

60、t;/p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　??；否者執(zhí)行覓食行為。流程圖如2-2：</p><p><b>　　圖2- 2</b></p><p><b>　　追尾行為</b></p><p>　　設人工魚當前狀態(tài)為，巡視視野范圍內(nèi)(

61、)的伙伴數(shù)目及伙伴中食物濃度最大的伙伴位置，如果滿足，則伙伴所處位置不擁擠且有多遠的食物，那么則按照式（2.5）向伙伴方向移動；</p><p><b>　　（2.5）</b></p><p>　　否者執(zhí)行覓食行為。流程圖如2-3如下</p><p><b>　　圖2- 3</b></p><p>

62、<b>　　隨機行為</b></p><p>　　在視野內(nèi)隨機選擇一個視點，向該視點方向移動，這種行為是覓食行為的默認行為。移動方式如式（2-6）</p><p><b>　　（2.6）</b></p><p><b>　　2.3算法描述</b></p><p>　　人工魚群算

63、法開始時并行指定算法的必要參數(shù)如人工魚的條數(shù)，函數(shù)定義域，視野迭代次數(shù)等參數(shù)，然后利用init函數(shù)根據(jù)定義域初始化魚群，計算初始魚群當前的食物濃度，每條人工魚根據(jù)自身的參數(shù)開始執(zhí)行覓食行為，魚群在一次迭代中，分別根據(jù)聚群行為和追尾行為得到的食物濃度進行判斷，選擇較為優(yōu)秀的結果方向前進，并把本次迭代的較優(yōu)結果記錄下來，在進行MAXGEN次后，選擇最優(yōu)的結果視為尋優(yōu)結果。</p><p>　　流程圖如2-4所示：&l

64、t;/p><p><b>　　圖2- 4</b></p><p><b>　　2.4算法驗證</b></p><p>　　本次驗證我們選擇Rastrigin函數(shù)的反函數(shù)，該函數(shù)式如（2-7）</p><p><b>　?。?-7）</b></p><p>　

65、　該函數(shù)是一個多峰函數(shù)，在時取得全局最大值點，最大值為0。由于為了實驗的直觀性，我們本次函數(shù)選取的維數(shù)D=2。</p><p>　　該函數(shù)的三維圖象如圖2-5所示，極值點位于（0,0）處，極值為0并且可以看出該函數(shù)在極值周圍有許多的局部極值點，通常算法易陷入局部極值或者在局部極值附近震蕩，所以該函數(shù)比較適和用于智能算法的驗證。</p><p><b>　　圖2- 5</b&

66、gt;</p><p>　　本次實驗我們設定魚群數(shù)量N=50,迭代次數(shù)MAXGEN=50,Try_number=50,視野visual=2，擁擠度δ=0.618，步長step=1.2。</p><p>　　經(jīng)過仿真實驗可以得到如下四幅圖，圖中的黑點表示當前迭代次數(shù)內(nèi)的最優(yōu)值?？梢钥闯?，魚群迭代的最優(yōu)值開始比較離散，魚群沒有向最優(yōu)值附近靠近。隨著迭代次數(shù)的增加，魚群越來越向(0,0)點靠近。

67、最后幾乎都在極值點附近搜尋。但是從圖2-10可以看出，在迭代的過程中，魚群陷入了局部最優(yōu)，在第37次迭代才跳出局部最優(yōu)，找到了全局最優(yōu)，所以該算法目前還是有瑕疵的（容易長時間停留在局部最優(yōu)，損失迭代精度）。以后的改進可以從該方面入手。</p><p>　　圖2- 6.10次迭代結果 圖2- 7.25次迭代結果</p><p>　　圖2- 8.40

68、次迭代結果 圖2- 9.50次迭代結果</p><p>　　圖2- 10.迭代過程</p><p>　　運行10次算法，所得結果如表2-3所示</p><p><b>　　表2- 3</b></p><p>　　表中結果可以看出，算法目前的精度還不夠高，需要進一步的改進。&l

69、t;/p><p>　　2.5各個參數(shù)對結果的影響</p><p>　　算法存在一定的隨機性，在相同的參數(shù)下，收斂的結果也存在差異，所以在接下來的討論中所有的驗證函數(shù)為Rastrigin函數(shù)，設置不同的參數(shù)，對每一組參數(shù)的多次尋優(yōu)結果作為一組數(shù)據(jù)，然后再多組數(shù)據(jù)中進行分析，從而確定參數(shù)的性質和影響。</p><p>　　擁擠度因子δ（delta）</p>&

70、lt;p>　　擁擠度因子δ是人工魚群算法中的一個基本參數(shù)之一，算法是通過擁擠度因子來限制人工魚的聚群規(guī)模，使得在較優(yōu)的領域內(nèi)盡可能多的聚集人工魚，在次優(yōu)或者更為次的領域內(nèi)少的聚集人工魚最好能做的不聚集。</p><p>　　在聚群行為和追尾行為中，分別用到了和兩個公式，分別用來判斷魚群伙伴中心位置和人工魚視野中心的位置是否能前進。如果不擁擠則前進，擁擠則不前進，執(zhí)行覓食行為。</p><

71、p>　　通過文獻[3]中的介紹可以得知δ的由來是根據(jù)一下公式（2-8）得到</p><p><b>　?。?-8）</b></p><p>　　其中α為極值接近水平，為該期望鄰域內(nèi)聚集的最大人工魚數(shù)目。例如，希望在接近極值70％水平的領域內(nèi)不會聚集超過3只人工魚，那么=1/(0.7x3)=0.47。</p><p>　　那么當，則認為當前

72、鄰域內(nèi)人工與聚集過多，不適合向位置移動。</p><p>　　為了驗證擁擠度因子對算法的影響，我們通過兩個求極大值的函數(shù)來驗證進行仿真實驗，其中人工魚的總數(shù)設為10，迭代次數(shù)為50，Try_number=10,視野和步長根據(jù)函數(shù)的定義域來選取。</p><p>　　F1函數(shù)如式（2-9）</p><p><b>　?。?-9）</b></

73、p><p>　　該函數(shù)在（0,0）處有極大值為1，設其閥值為0.99</p><p>　　F2函數(shù)如式（2-10）</p><p><b>　?。?-10）</b></p><p>　　該函數(shù)在（0,0）處有全局極值點為3600，四個局部極值點分別為（-5.12，5.12）（-5.12，-5.12）（5.12，-5.12）（

74、5.12，5.12）局部極值為2758.7823</p><p>　　設其閥值為3500.</p><p>　　其中平均迭代次數(shù)為收斂到閥值內(nèi)所需迭代次數(shù)的平均值。仿真結果如表2-4所示。</p><p><b>　　表2- 4</b></p><p>　　由仿真結果可以看出擁擠度因子的變化對收斂性能的影響沒有明顯的規(guī)律

75、，對收斂結果的影響也不大，基本上可以忽略不計。在此后的改進過程中，基本可以忽略擁擠度因子對算法的影響，也可把算法設計成不需要擁擠度因子的簡單魚群算法。</p><p>　　Step對算法的影響</p><p>　　在覓食行為中，人工魚個體在鄰域內(nèi)搜尋更優(yōu)的前進方案，這就奠定了算法的收斂基礎。</p><p>　　分別設步長Step=10和0.5，人工魚數(shù)目為50，迭

76、代次數(shù)為100，進行算法仿真，圖2-11中，橫坐標為迭代次數(shù)，縱坐標為本次迭代最優(yōu)結果，有圖可以看出，大步長的震蕩大，迭代精度也不如小步長。而對于不同步長值所用時間，我們計算仿真十次取平均時間可以得到大步長所用時間為5.3s，小步長所用時間為7.9s。</p><p><b>　　圖2- 11</b></p><p>　　由以上仿真結果可以看出，選擇較大的步長，有利于

77、人工魚快速的向極值點收斂，而且收斂速度比小步長快，但是在算法迭代過程中會造成人工魚在全局極值點附近來回震蕩。</p><p>　　小步長雖然不能快速的收斂到想要的結果，但是對于算法的后期，靠近極值點的精度會有所提高，震蕩幅度也沒有大步長大。</p><p>　　對于算法的改進，可以考慮在計算前期采用較大的步長，以使算法能快速的收斂，而在算法的后期，可以減小步長，然算法能得到更高的精度。&l

78、t;/p><p>　　2.6人工魚群算法的收斂基礎</p><p>　　對于一種優(yōu)化算法，其收斂性往往是大家所關心的問題。在人工魚群算法中，人工魚的覓食行為奠定了算法的收斂基礎，聚群行為能增強算法收斂的全局性和穩(wěn)定性，追尾行為則能加快算法的收斂速度和保持算法的全局性?？傮w看來，算法對于各個參數(shù)的取值范圍要求還是很寬松的，并且對于算法的初始值并無基本要求。</p><p>

79、;　　在人工魚群算法中，查找文獻[3]可知，以下幾點因素可以使得人工魚逃離局部極值實現(xiàn)全局最優(yōu)。</p><p>　　①在覓食行為中，如果有較少的Try_number次數(shù)，那么人工魚在視野范圍內(nèi)能覓食的更加食物濃度的幾率大大減少，那么人工魚執(zhí)行隨機行為，從而能實現(xiàn)跳出局部極值范圍。</p><p>　?、诰廴盒袨槟軐崿F(xiàn)讓少數(shù)陷入局部極值領域內(nèi)的人工魚向全局極值的人工魚方向聚集。從而跳出局部

80、極值領域。</p><p>　?、圩肺残袨閯t加快了人工魚向更優(yōu)方向移動，使得陷入局部極值的人工魚跳出局部極值范圍。</p><p>　　④每次移動的步長是在[-step,step]范圍內(nèi)的一個隨機步長,那么當人工魚向局部極值方向游動時，也有可能轉向游向更優(yōu)方向。當然也有可能游向更壞的方向，但是通過聚群行為等趨于更優(yōu)的行為的加入，魚群大體能保持向更優(yōu)方向移動。</p><

81、p>　　⑤擁擠度因子的加入，使得魚群不會無限制的聚集在一個領域中，食物濃度越大的地方越能聚集更多的魚群，控制了魚群的聚集規(guī)模，使得魚群能更為廣泛的分布在整個領域。但是這種性質也限制了人工魚在全局最優(yōu)點附近不能聚集更多的人工魚。</p><p>　　該方法的設計思想采用自上而下的設計方式，各個人工魚之間即相互獨立也相互聯(lián)系，使得算法具有更為穩(wěn)定的收斂基礎。</p><p><b&

82、gt;　　第三章 算法的改進</b></p><p>　　雖然魚群算法有著穩(wěn)定，收斂速度快，對初值不敏感等一些列優(yōu)點，但是算法后期也有尋優(yōu)結果精度低并且運行的速度慢，容易陷入局部極值等缺點。通過對算法的實驗數(shù)據(jù)分析，和查找文獻了解，可以對算法做出一些簡單的改進。從而獲得更優(yōu)的性能。</p><p>　　3.1自適應步長魚群算法</p><p>　　魚群算

83、法具有克服局部極值，取得全局極值的能力，但是該算法在后期，搜索的盲目性較大，尋優(yōu)的結果精度很低并且運行的速度慢。</p><p>　　通過對大量文獻資料的閱覽，在文獻[5]中得到啟示，在人工魚覓食行為中直接移動到較優(yōu)位置，能加快算法的搜索速度，同時采用動態(tài)調整人工魚的視野和步長的方法，能顯著增強算法探索與開發(fā)的能力，提高算法的優(yōu)化精度。</p><p>　　研究表明，當視野范圍較大時，人工

84、魚的全局搜索能力強且收斂速度快，視野范圍小，人工魚的局部搜索能力強。步長越大，收斂速度越快，但有時會產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象；步長小，收斂速度慢，但求解精度高。</p><p>　　由此可見，對于難以優(yōu)化的函數(shù)，需要加強全局搜索能力，一旦定位到最優(yōu)解的大概位置，就需要加強局部搜索能力。所以，在算法前期，在取值范圍內(nèi)，盡可能的采用較大的視野和步長，使人工魚能在更大的范圍內(nèi)進行粗搜索，能增強算法的全局搜索能力和收斂速度。隨著搜索

85、的進行，則需要更高的精度，所以在后期需要減小視野和步長，使算法變?yōu)榫植克阉?，在最?yōu)解附近進行更為精細的搜索。</p><p>　　基于此原理，剛開始計算時，視野和步長盡可能的大。尋找值域在（0,1）內(nèi)并隨著迭代次數(shù)單調遞減的函數(shù)，逐步縮小視野和步長，但是考慮到視野和步長不能縮小到0，則為函數(shù)添加一個盡可能不影響函數(shù)值的下限和。</p><p>　　視野和步長按照式（3-1）動態(tài)調整<

86、/p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　其中，gen為當前迭代次數(shù)，MAXGEN為最大迭代次數(shù)，S為[1,30]之間的整數(shù)</p><p>　　圖3-1為函數(shù)中s取值分別為1，5,10,15的曲線圖，其中MAXGEN為100</p><p><b>　　圖3- 1</b><

87、;/p><p>　　對覓食行為的改進：在原來覓食行為中，人工魚隨機選擇一個狀態(tài)，如果該位置優(yōu)于當前位置，則向該位置方向移動一步。這種方法的搜索方式速度較慢，且向該位置方向移動的過程中不一定能移動到更優(yōu)的值，為了加快搜索速度，可以讓該人工魚直接移動到該位置，從而能提高尋優(yōu)速度。</p><p>　　3.1.2仿真實驗以及分析</p><p>　　以三個最小值函數(shù)為例進行仿

88、真實驗。</p><p>　?。?）Rastrigin函數(shù)，如式（3-2）</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　此函數(shù)是多峰函數(shù)，在時達到全局最小值0。</p><p>　　Griewank函數(shù)，如式（3-3）</p><p><b>　　（3-3）<

89、;/b></p><p>　　此函數(shù)是多峰函數(shù)，極其難找到全局最優(yōu)點，查閱資料得知該函數(shù)在時，達到全局最優(yōu)點，最優(yōu)值為0。</p><p>　　Rosenbrock函數(shù)，如式（3-4）</p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　此函數(shù)是一個非凸，病態(tài)單峰函數(shù)，在時，達到全局最優(yōu)點，最優(yōu)值為

90、0。</p><p>　　本次仿真實驗參數(shù)設置如表3-1：</p><p><b>　　表3- 1</b></p><p>　　對三個函數(shù)進行仿真模擬，運行條件為cpu:i5 3230m 內(nèi)存：8gb </p><p>　　每個函數(shù)的程序獨立運行50次，把50次結果相加后，取平均值為最終結果并且記錄下50次模擬中的最小值

91、（取小數(shù)點后六位），填入表3-2：</p><p>　　算法性能采用如下評價方法：①固定迭代次數(shù)，評估算法的收斂精度和速度②固定收斂精度目標值，比較算法達到改精度的迭代次數(shù)</p><p><b>　　表3- 2</b></p><p>　　如上表所示，3個測試函數(shù)改進前后結果可以看出，改進后的魚群算法能明顯提高計算結果的精度，并且從模擬50次

92、的時間來看，改進后的算法用時更少，更快的達到目標。</p><p>　　以算法運行模擬次數(shù)為橫坐標，單次輸出結果為縱坐標，統(tǒng)計Rastrigin函數(shù)運行結果得到如下圖3-2和3-3</p><p>　　圖3-2.改進前運行結果 圖3-3.改進后運行結果</p><p>　　如圖所示，明顯能看出，改進后的程序，每次運行的結果比改進前的結果更加穩(wěn)定

93、，單次運行結果精度更高。</p><p>　　3.2初始均勻分布全局人工魚群算法</p><p>　　3.2.1初始均勻分布</p><p>　　在魚群算法主程序開始計算時，需要對人工魚群初始化，魚群初始化的過程就是對魚群中每一條人工魚賦初始值。然而在基本魚群算法中，初始值的賦值由式（3-5）產(chǎn)生：</p><p><b>　?。?

94、-5）</b></p><p>　　應而可能存在人工魚初始時聚集在一個小范圍的情況，從而使人工魚在初始化后就陷入局部最優(yōu)值，雖然該種情況可以通過覓食行為等基本行為跳出局部最優(yōu)值，但是如果我們能讓魚群在初始時就均勻的分布在全局范圍內(nèi)，就能有效的避免此情況的發(fā)生，使得魚群在算法初期就能對極值分布情況有所了解。</p><p>　　本思想的基本原理很簡單，在魚群算法的主函數(shù)中增加一個

95、魚群數(shù),該值把一個魚群分為群，每個小種群中的人工魚個數(shù)為。然后再把定義域分為q段，然后每一個小種群在一段小定義域內(nèi)隨機初始化。這樣就能實現(xiàn)魚群初始化的均勻分布。</p><p>　　通過仿真實驗得知，魚群初始化的過程中，人工魚初始就隨機聚集在一個小范圍的這種情況極其罕見，該想法若獨立實現(xiàn)，基本對算法的影響不大。所以根據(jù)初始的全局性我們通過文獻[4]了解到全局人工魚群算法。我們把初始化均勻分布的思想和全局人工魚算法

96、相結合。</p><p>　　3.2.2 全局人工魚群算法</p><p>　　在人工魚群算法中，人工魚個體的行為都是局部行為，只在視野范圍內(nèi)覓食，所以很難避免個體趨同，容易陷入局部最優(yōu)。為了提高人工魚的全局搜索能力，克服算法后期精度低，收斂慢等一些列缺點，我們把全局最優(yōu)人工魚的位置加入到聚群行為等基本行為中。</p><p>　　在第二章中介紹了人工魚群算法的主要

97、行為，可以看出，人工魚的位置更新都是在局部范圍內(nèi)實現(xiàn)的，為了使得人工魚個體位置更新能具有全局性，我們加入一個新的量，此變量代表所有人工魚個體中，當前食物濃度最高的人工魚。通過執(zhí)行每個行為與相聯(lián)系，可以做到更好的全局通信。</p><p><b>　　改進覓食行為</b></p><p>　　在原來的覓食行為中我們可以得知，人工魚當前位置為在其視野范圍內(nèi)隨機感知一個位置

98、，如果該位置的食物濃度大于當前位置，那么魚群向該位置方向移動一步。我們把該模式改為如果該位置的食物濃度大于當前位置，那么人工魚向該位置和全局最優(yōu)位置的向量和方向前進一步。前進方法如式（3-6）：</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　同覓食行為一樣滿足則前進一步，否則繼續(xù)覓食，直到嘗試次后，執(zhí)行隨機行為。</p><p

99、><b>　　改進聚群行為</b></p><p>　　人工魚初始位置為,在其視野范圍內(nèi)伙伴的數(shù)目和及其中心位置。如果滿足，則表示伙伴中心有較多的食物且不擁擠，那么則向伙伴中心和全局最優(yōu)位置移動一步，前進的公式改為式（3-7）：</p><p><b>　?。?-7）</b></p><p>　　否者則執(zhí)行覓食行為。

100、</p><p><b>　　改進追尾行為</b></p><p>　　人工魚初始位置為,在其視野范圍內(nèi)伙伴的數(shù)目和及食物濃度最大位置。如果滿足，則表示伙伴中心有較多的食物且不太擁擠，那么則向伙伴中心和全局最優(yōu)位置移動一步，前進的公式為式（3-8）：</p><p><b>　　（3-8）</b></p>&

101、lt;p><b>　　否者執(zhí)行覓食行為。</b></p><p>　　加入自適應步長視野：在3.1中我們提出了自適應視野的人工魚群算法，該改進方法能加快算法后期的收斂速度提高后期的精度。所以我們在改進過程中，默認加入自適應步長魚群算法，在此算法的基礎上進行改進。</p><p>　　3.2.3仿真實驗以及分析</p><p>　　我們引入

102、三個測試函數(shù)，對算法進行仿真，選擇高，中，低維三個典型的多極值函數(shù)進行測試在試驗中，人工魚的初始位置均勻分布，由于函數(shù)的維數(shù)不同，我們設置了不同的迭代次數(shù)，分別為50，100和250，步長由所用函數(shù)的定義域給出，初始步長盡可能的大。所有函數(shù)的人工魚數(shù)目N=20，Try_number=2.5,δ=8。</p><p>　　F1.如式（3-9）:</p><p><b>　　（3-9

103、）</b></p><p>　　其函數(shù)的最優(yōu)值在x=y=0處取得為0。</p><p>　　F2.公式如式（3-10）：</p><p><b>　?。?-10）</b></p><p>　　其最優(yōu)值在處取得為0.</p><p>　　F3.如式（3-11）：</p>&

104、lt;p><b>　?。?-11）</b></p><p>　　其最優(yōu)值在處取得為0.</p><p>　　每個函數(shù)算法獨立運行10次，當每次運行結果與理論最優(yōu)值的差值在0.001以內(nèi)就認為實驗成功。其中平均迭代次數(shù)是每次迭代過程中第一次達到所需精度的平均值。平均最優(yōu)解是最優(yōu)解的平均值，最優(yōu)解為10次允許中的最優(yōu)值。</p><p>&l

105、t;b>　　表3- 3</b></p><p>　　由仿真結果可以看出，初始均勻分布的魚群算法的性能明顯比魚群算法的性能更加優(yōu)異。算法迭代到所需精度的迭代次數(shù)明顯減少，精度更高。全局人工魚群算法的由于步長視野隨著迭代次數(shù)的減小，加快了前期和后期的迭代，提高了算法的運行速度，算法的執(zhí)行時間可以得到明顯的降低，且在全局最優(yōu)解的附近，能有更多的人工魚個體。</p><p>　　

106、第四章 魚群算法應用</p><p>　　人工魚群算法自2002年面世以來，已經(jīng)經(jīng)歷了15個年頭，該算法在這15年內(nèi)，已經(jīng)有了很多種改進，而且也實際運用在了各個方面，例如科學工程領域的應用在車間調度問題，信號處理去噪，圖像處理，數(shù)據(jù)挖掘等各個方面。而在數(shù)學方面的應用主要是由優(yōu)化組合問題，積分計算，函數(shù)尋優(yōu)等。但大多數(shù)還是用在連續(xù)性問題尋優(yōu)上，對于離散問題求解和少。</p><p><

107、b>　　4.1組合優(yōu)化問題</b></p><p>　　最優(yōu)化問題主要可以分為兩大類，函數(shù)優(yōu)化問題和組合優(yōu)化問題，我們前三章做的仿真模擬主要是函數(shù)優(yōu)化問題，在一個給定的區(qū)域內(nèi)尋求函數(shù)的最優(yōu)值（最大值或者最小值）。而組合優(yōu)化問題是通過對數(shù)學方法的研究去解決離散問題，尋找最優(yōu)編排，分組，篩選等，是運籌學的的一個重要分組。 </p><p>　　優(yōu)化組合問題的數(shù)學模型可以描述為

108、式（4-1）：</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　其中。是目標函數(shù)；為約束函數(shù)，是決策變量，D是有限個點組成的集合。</p><p>　　在組合優(yōu)化問題中用D表示決策變量的定義域，表示可行解域，在中的任意一個元素是該問題的一個可行解，用表示目標函數(shù),那么該問題可用表示。只要可行解滿足，那么則稱為問題的最優(yōu)解。原

109、始思想是只要把D中的元素逐一判別是是否滿足的約束條件然后比較目標值的大小，那么該問題的最優(yōu)解一定能找到?，F(xiàn)實中的優(yōu)化問題即是從有限個狀態(tài)中選取的最好的，所以大量的優(yōu)化的問題就是組合優(yōu)化問題。</p><p><b>　　4.2 旅行商問題</b></p><p>　　旅行商問題（Travelling Salesman Problem）簡稱為TSP問題。問題描述為一個商

110、人計劃到n個城市推銷商品，每兩個城市i和j間的距離為，如何選擇一條道路，使得商人從起點城市出發(fā)，每個城市走一遍后再回到起點城市所走的路徑最短。</p><p>　　TSP問題可以分為兩大類：對稱問題和非對稱問題。當從i出發(fā)到j的距離和從j到i出發(fā)的距離相等時，這類問題稱為對稱距離TSP，否者為非對稱距離TSP。</p><p>　　該問題是一個NP難問題，其計算復雜性隨著輸入數(shù)據(jù)的規(guī)模呈現(xiàn)

111、出指數(shù)式的增長。</p><p>　　該問題的簡單描述為：</p><p>　　設有n個城市，每個城市用1到n進行編號，每個城市之間的距離都是固定的，記為其中。TSP問題是要找到能夠遍歷每個城市一次的一條回來，且這條回路的總路徑為最短。如下圖4-1所示，右邊的路程要明顯小于左邊的路程：</p><p><b>　　圖4- 1</b></p

112、><p>　　該問題的數(shù)學描述為式（4-2）：</p><p><b>　　（4-2）</b></p><p>　　4.3TSP問題求解</p><p>　　TSP的求解有很多種中方法，本文主要介紹人工魚群算法解決TSP問題。</p><p>　　4.3.1TSP求解一般思路</p>&

113、lt;p>　　該問題的求解可以通過排列組合的方式求解，即把每一種可行的路線方案列舉出來，然后再逐一比較，選擇其中最優(yōu)的方案。該方法在遍歷城市比較少的時候是可行的，但是隨著城市個數(shù)的增加，該方法的可行方案呈現(xiàn)出階乘式增長。例如20個城市，那么選擇其中一個城市作為起點就有種方案，如果每個方案都計算一次，即使用計算機模擬，工作量非常大的。</p><p>　　4.3.2人工魚群算法求解TSP</p>

114、<p>　　求解tsp問題的算法面描述：</p><p>　　編碼方式：以遍歷城市的次序進行編碼。如14678235則表示為依次走過1，4,6,7...,5，最后返回1號城市，所有的編碼均從1號城市開始。每條人工魚所記錄的即為編碼次序如。</p><p>　　目標函數(shù)：遍歷所有城市的路徑的總長度為目標函數(shù)，最優(yōu)路徑即為總長度最小時對應的路徑。</p><p&

115、gt;　　新路徑的產(chǎn)生：將k和m兩個城市的行走順序交換，即產(chǎn)生了新的路徑。</p><p>　　距離表示：兩條人工魚和之間的距離可以表示為式（4-3）：</p><p><b>　　（4-3）</b></p><p>　　解空間：每一條人工魚中的參數(shù)為一種可行解，所有的解構成解空間。</p><p>　　該算法流程圖如圖