淺談伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　淺談伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p&g

3、t;<p>　　伴隨矩陣是矩陣?yán)碚摷熬€性代數(shù)中的一個(gè)基本概念, 是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具. 伴隨矩陣作為矩陣中較為特殊的一類, 它的性質(zhì)理論與應(yīng)用有其自身的特點(diǎn). 而在高等代數(shù)和線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中, 伴隨矩陣只是作為求解逆矩陣的工具出現(xiàn), 并沒(méi)有深入的研究. 本課題首先根據(jù)伴隨矩陣的基本性質(zhì), 系統(tǒng)地討論了伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)、在特征值和特征向量方面的性質(zhì)及伴隨矩陣對(duì)原矩陣性質(zhì)的繼承性, 然后對(duì)某些特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)

4、進(jìn)行了研究, 并將伴隨矩陣作了兩方面的推廣, 最后探討了其在線性代數(shù)解題中的應(yīng)用. 既拓寬了解決線性代數(shù)問(wèn)題的思路, 又有助于伴隨矩陣成為其他學(xué)科或尖端技術(shù)領(lǐng)域中的重要工具. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 伴隨矩陣; 特殊矩陣; 推廣; 性質(zhì); 應(yīng)用</p><p>　　Discussion on Properties and Applications of Adjoint Matrix

5、</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Adjoint matrix is a basic concept in the matrix theory and linear algebra, and it is an important tool to study many branch of mathematics . As a s

6、pecial matrix, the theory and the application of adjoint matrix have its own character. During Advanced Algebra and Linear Algebra learning, adjoint matrix is only a tool to calculate inverse matrix. It is not studied in

7、 depth. In this paper, many properties of adjoint matrix are firstly discussed in detail: the properties of operation, the properties</p><p>　　Keywords: Adjoint matrix; Special matrix; Promotion; Properties;

8、 Application</p><p><b>　　主要符號(hào)表</b></p><p>　　符號(hào) 含義</p><p><b>　　矩陣的行列式</b></p><p><b>　　單位矩陣</b></p><

9、p><b>　　階單位矩陣</b></p><p><b>　　矩陣的秩</b></p><p><b>　　矩陣的伴隨矩陣</b></p><p><b>　　矩陣的逆</b></p><p><b>　　矩陣的轉(zhuǎn)置</b>&

10、lt;/p><p><b>　　階矩陣</b></p><p><b>　　整數(shù)集</b></p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractIII</p

11、><p><b>　　主要符號(hào)表IV</b></p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 伴隨矩陣的定義與性質(zhì)2</p><p>　　2.1 伴隨矩陣的定義2</p><p>　　2.2 伴隨矩陣的基本性質(zhì)2</p><

12、;p>　　2.3 伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)4</p><p>　　2.4 伴隨矩陣的繼承性11</p><p>　　2.5 伴隨矩陣在特征值與特征向量方面的性質(zhì)13</p><p>　　3 特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)16</p><p>　　4 伴隨矩陣的推廣18</p><p>　　4.1 重伴隨矩陣

13、的定義與性質(zhì)18</p><p>　　4.2 矩陣的伴隨矩陣的定義與性質(zhì)23</p><p>　　5 伴隨矩陣的應(yīng)用25</p><p><b>　　6 小結(jié)28</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)29</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽

14、。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　矩陣的伴隨矩陣是矩陣?yán)碚摷熬€性代數(shù)中的一個(gè)基本概念, 靈活地運(yùn)用伴隨矩陣的性質(zhì)可以解決線性代數(shù)中的許多問(wèn)題, 比如, 矩陣間一些關(guān)系的證明, 求矩陣的逆, 一些復(fù)合矩陣的行列式等. 它既是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具, 又是其他學(xué)科或尖端領(lǐng)域內(nèi)研究的必要工具, 如量子力學(xué)、剛體力學(xué)、流體力學(xué)、自動(dòng)控制

15、論等領(lǐng)域. 因此它既拓寬解決線性代數(shù)問(wèn)題的思路, 又有助于其他領(lǐng)域更好的發(fā)展.[1-2]</p><p>　　古今中外對(duì)伴隨矩陣的研究很多, 并且已得到了許多重要的成果. 如楊聞起在文獻(xiàn)[3]中, 探討了伴隨矩陣在對(duì)稱、反對(duì)稱、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性質(zhì); 文獻(xiàn)[4]中, 王航平也在伴隨矩陣的定義與基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上, 探討了伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì), 特別研究了乘積矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì), 并提出了自伴

16、隨矩陣的定義及其性質(zhì), 歸納了伴隨矩陣較強(qiáng)的繼承性; 鄭茂玉在文獻(xiàn)[5]中提出了伴隨矩陣與原矩陣之間的聯(lián)系, 探討了伴隨矩陣的性質(zhì), 并且將伴隨矩陣推廣到了重; 文獻(xiàn)[6]中, 徐淳寧也探究了重伴隨矩陣的定義及其性質(zhì), 得到了一些有意義的結(jié)果. 賈美娥在文獻(xiàn)[7]中定義了矩陣的伴隨矩陣, 并初步探討了它的一些性質(zhì). 其他的文獻(xiàn)中探討伴隨矩陣的性質(zhì)還有很多, 不勝枚舉. </p><p>　　盡管對(duì)伴隨矩陣的研究已

17、經(jīng)很多, 但是目前對(duì)伴隨矩陣的性質(zhì)研究還不是很完善. 至今為止, 在《高等代數(shù)》和《線性代數(shù)》的各種教材中, 伴隨矩陣只是作為求解逆矩陣的工具出現(xiàn)的[8], 并沒(méi)有進(jìn)行深入的研究. 基于伴隨矩陣性質(zhì)的重要性, 本課題在伴隨矩陣的定義和基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上, 詳細(xì)歸納討論了伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)、在特征值和特征向量方面的性質(zhì)及伴隨矩陣在等價(jià)、相似、合同、對(duì)稱、正交、正定等性質(zhì)方面對(duì)原矩陣的繼承性; 并且探討了如上（下）三角矩陣、自伴隨矩陣、對(duì)角矩

18、陣、冪等矩陣[9]等一些特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì); 并給出詳細(xì)的證明; 然后將伴隨矩陣作了兩方面的推廣, 給出了重矩陣伴隨矩陣的定義及其相關(guān)的性質(zhì)和矩陣的伴隨矩陣的定義及其若干性質(zhì), 使伴隨矩陣的性質(zhì)更具有科學(xué)性, 系統(tǒng)性. 最后探討了其在線性代數(shù)解題中的應(yīng)用.</p><p>　　伴隨矩陣在線性代數(shù)解題中及其各領(lǐng)域中的應(yīng)用豐富多彩, 因此掌握了伴隨矩陣的性質(zhì)不僅有利于教師的教學(xué), 也有利于學(xué)生的學(xué)習(xí). <

19、/p><p>　　2 伴隨矩陣的定義與性質(zhì)</p><p>　　2.1 伴隨矩陣的定義</p><p>　　定義2.1[8] 在行列式</p><p>　　中劃去元素所在的第行與第列, 剩下的個(gè)元素按原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)級(jí)的行列式</p><p>　　稱為元素的余子式, 記為, 則稱為的代數(shù)余子式.</p>

20、<p>　　定義2.2 稱由方陣中各個(gè)元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣為伴隨矩陣, 記為, 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　注 這里定義的只有方陣才有伴隨矩陣.</p><p>　　2.2 伴隨矩陣的基本性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)2.1 若是矩陣的伴隨矩陣, 則, 且當(dāng)可逆

21、時(shí), 有</p><p><b>　　或.</b></p><p>　　證明 設(shè), 則有, 的行列式為, 因?yàn)?lt;/p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以.</b></p><p><b>　　同理, 有.<

22、;/b></p><p><b>　　所以.</b></p><p>　　當(dāng)可逆時(shí), 即, 由于, 方程兩邊同時(shí)左乘得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　, &l

23、t;/b></p><p><b>　　繼而可得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質(zhì)2.2[9] 設(shè)是階方陣, 則等式成立.</p><p>　　證明 （1）若, 下面分兩種情況討論</p><p>　　若, 則. 從而, 所以

24、等式成立.</p><p>　　若, 下面用反證法證明</p><p>　　若, 則可逆. 由此得. 由性質(zhì)2.1, 得, 這與矛盾, 故.</p><p><b>　　所以等式成立.</b></p><p>　　若, 由性質(zhì)2.1有. 方程兩邊取行列式且根據(jù)對(duì)角陣行列式的性質(zhì), 得, 故有.</p>&l

25、t;p>　　性質(zhì)2.3[10] 若是階方陣, 則</p><p>　　（1）的充要條件是;</p><p>　?。?）的充要條件是;</p><p>　　（3）的充要條件是.</p><p>　　證明 （1）充分性 由于, 則. 由性質(zhì)2.2得, 所以可逆, 因此有.</p><p>　　必要性 用反證法

26、證明</p><p>　　若, 由性質(zhì)2.1得. 又因?yàn)? 則可逆. 將兩邊同時(shí)右乘, 有, 即得, 所以, 這與矛盾, 所以, 即.</p><p>　?。?）充分性 若, 則矩陣的所有的階子式全為零, 而矩陣的階子式全為零當(dāng)且僅當(dāng)?shù)拿總€(gè)元素全為零, 所以, 故.</p><p>　　必要性 由于, 那么, 所以矩陣的階子式全為零, 因此.</p>

27、<p>　?。?）充分性 因?yàn)? 所以矩陣有一個(gè)階子式不等于零, 根據(jù)伴隨矩陣的定義, 那么至少有一個(gè)元素不等于零, 所以有.</p><p>　　另一方面, 若、均為階方陣, 當(dāng)時(shí), 則. 事實(shí)上, 因?yàn)? 所以, 那么有. 因?yàn)? 所以又得到, 從而有.</p><p>　　必要性 由于, 則至少有一個(gè)元素不等于零, 所以至少有一個(gè)階子式不等于零, 所以. 另外, 若

28、, 則, 這與矛盾, 所以. 因此. </p><p>　　說(shuō)明 以上性質(zhì)是伴隨矩陣性質(zhì)研究的基礎(chǔ), 其他性質(zhì)的研究主要是圍繞它們展開(kāi)的.</p><p>　　2.3 伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)</p><p>　　一、乘積矩陣的伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)2.4[4] 若為可逆方陣, 為非零常數(shù), 則.</p>&

29、lt;p>　　證明 由可逆矩陣的性質(zhì)得, 又由性質(zhì)2.1得, 所以</p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質(zhì)2.5 若、為階可逆方陣, 則.</p><p>　　證明 因?yàn)?、均為可逆? 所以由性質(zhì)2.1和可逆陣性質(zhì)得</p><p><b>　　. </b>&l

30、t;/p><p>　　說(shuō)明 事實(shí)上, 當(dāng)或不可逆和、都不可逆時(shí)結(jié)論都成立.</p><p>　　推論2.1 若均為階方陣, 則方陣乘積的伴隨矩陣等于每個(gè)方陣的伴隨矩陣的倒序乘積, 即.</p><p>　　二、分塊矩陣的伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)2.6 設(shè)有階可逆陣、及分塊矩陣, 則有</p><p&g

31、t;<b>　　.</b></p><p>　　證明 因?yàn)榕c為階可逆陣, 所以矩陣可逆且, 又可知, 由于, , </p><p><b>　　故有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　推論2.2 設(shè)有階可逆方陣及分塊矩陣, 則有</p

32、><p><b>　　.</b></p><p>　　根據(jù)性質(zhì)2.6, 同理可得</p><p>　　性質(zhì)2.7 若與為階可逆陣, , 那么</p><p><b>　　.</b></p><p>　　推論2.3 設(shè)有階可逆方陣為及分塊矩陣, 則有</p>&l

33、t;p><b>　　.</b></p><p>　　三、轉(zhuǎn)置矩陣的伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)2.8 若為階方陣, 則有.</p><p>　　證明 設(shè), 則的第行第列的元素為, 那么的第行第列</p><p>　　的元素為. 而的第行第列的元素為, 的第行第列的元素為 . 所以容易得到.<

34、;/p><p>　　特別地, 當(dāng)時(shí), 還有下面的證明方法.</p><p>　　證明 當(dāng)時(shí), , 由性質(zhì)2.2得. 又由性質(zhì)2.1可知, </p><p><b>　　, 而, 所以.</b></p><p>　　推論2.4 設(shè)、為階方陣, 則有.</p><p><b>　　證明 由

35、可知. </b></p><p>　　推論2.5 設(shè)為階方陣, 則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 用數(shù)學(xué)歸納法</p><p>　　當(dāng)時(shí), 已由性質(zhì)2.8得證. </p><p>　　假設(shè)當(dāng)時(shí), 有成立,</p><p>

36、;<b>　　那么當(dāng)時(shí), 有</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以結(jié)論成立.</b></p><p>　　特別地, 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的伴隨矩陣也具有同樣的運(yùn)算性質(zhì), 詳見(jiàn)推論2.6和推論2.7. </p><p>　　推論2.6

37、設(shè)有階可逆方陣及分塊矩陣, 則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 由為階方陣, 所以可逆且,</p><p>　　由對(duì)角陣的行列式的性質(zhì), 得. 又根據(jù)性質(zhì)2.1, 得到</p><p><b>　　.</b></p><p><b&

38、gt;　　所以有成立.</b></p><p>　　推論2.7 設(shè)有階可逆方陣及分塊矩陣, 則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　四、矩陣逆的伴隨矩陣的運(yùn)算矩陣</p><p>　　性質(zhì)2.9 若為階可逆矩陣, 則有.</p><p>　　證明 根據(jù)性

39、質(zhì)2.1有, </p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　注 分塊矩陣的逆矩陣的伴隨

40、矩陣也具有同樣的運(yùn)算性質(zhì), 詳見(jiàn)推論2.8和推論2.9.</p><p>　　推論2.8 設(shè)有階可逆矩陣及分塊矩陣, 則</p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　證明 由, 可知</b></p>

41、<p><b>　　.</b></p><p>　　推論2.9 設(shè)有階可逆矩陣及分塊矩陣, 則</p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質(zhì)2.10 若是階可逆方陣, 則.</p>&l

42、t;p>　　證明 因?yàn)? 所以.</p><p><b>　　由性質(zhì)2.1有</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　又由性質(zhì)2.8有</b></p><p><b>　　, </b></p>&

43、lt;p><b>　　所以結(jié)論成立.</b></p><p>　　推論2.10 設(shè)有階可逆矩陣及分塊矩陣, </p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　推論2.11 設(shè)有階可逆矩陣及分塊矩陣, 則有</

44、p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.4 伴隨矩陣的繼承性</p><p>　　性質(zhì)2.11[4] 若階方陣等價(jià)于, 則等價(jià)于.</p><p>　　證明 由于等價(jià)于, 則存在可逆矩陣, , 使得. 兩邊同時(shí)取伴隨矩陣可得, 那么有, 又因?yàn)榫仃? 可逆, 所以, 也可逆, 因此由矩陣等價(jià)的定義可

45、知, 也等價(jià)于.</p><p>　　性質(zhì)2.12 若階可逆矩陣與合同, 那么與也合同.</p><p>　　證明 因?yàn)榕c合同, 所以存在可逆矩陣, 使得, 又因?yàn)榕c可逆, 將上式兩邊同時(shí)取逆得, 即. 令, 則, 故. 又由兩邊取行列式得, 所以, 即. 令, 則有, 所以與也合同.</p><p>　　性質(zhì)2.13[11] 若階方陣與相似, 那么與也相似.

46、</p><p>　　證明 因?yàn)榕c相似, 所以存在可逆矩陣, 使得. 在上式兩邊同時(shí)取伴隨矩陣, 根據(jù)推論2.1得, 又由性質(zhì)2.9得</p><p><b>　　. </b></p><p>　　令, 則有, 所以與也相似.</p><p>　　性質(zhì)2.14 若矩陣與可交換, 那么 與也可交換.</p>

47、<p>　　證明 因?yàn)榕c可交換, 所以有, 又因?yàn)? 所以與也可交換.</p><p>　　性質(zhì)2.15 若階方陣可逆, 則也可逆; 若不可逆, 則也不可逆. </p><p>　　證明 若可逆, 即, 由性質(zhì)2.2得, 所以也可逆.</p><p>　　若不可逆, 即, 同理由性質(zhì)2.2得, 所以也不可逆. </p><p&

48、gt;　　性質(zhì)2.16 若矩陣對(duì)稱, 則也對(duì)稱. </p><p>　　證明 因?yàn)闉閷?duì)稱, 所以, 即中的每個(gè)元素, 繼而有. 所以, 即也對(duì)稱. </p><p>　　性質(zhì)2.17 若為階可逆反對(duì)稱陣, 則當(dāng)且僅當(dāng)為偶數(shù)時(shí)也為反對(duì)稱陣.</p><p>　　證明 因?yàn)闉殡A可逆反對(duì)稱陣, 所以, 又由性質(zhì)2.9, 得</p><p>

49、<b>　　,</b></p><p>　　當(dāng)為奇數(shù)時(shí), 有, 即, 也是階對(duì)稱矩陣; </p><p>　　當(dāng)是偶數(shù)時(shí), 有, 即, 所以也是階反對(duì)稱矩陣.</p><p>　　性質(zhì)2.18[12] 若矩陣可逆且可對(duì)角化, 則也可對(duì)角化. </p><p>　　證明 因?yàn)榭赡媲铱蓪?duì)角化, 所以也可對(duì)角化, 因此存在

50、可逆陣, 使得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　其中是的所有特征值, 且由于可逆可知, 所以</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以可對(duì)角化.</b></p><p>　　性質(zhì)2.19 若為

51、正交矩陣, 則也為正交矩陣.</p><p>　　證明 因?yàn)闉檎痪仃? 所以, 又根據(jù)性質(zhì)2.9和性質(zhì)2.5有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以也為正交矩陣.</b></p><p>　　性質(zhì)2.20 若是階正定矩陣, 則也是正定矩陣.</p>

52、;<p>　　證明 由于為正定矩陣, 則, 又由性質(zhì)2.17可知為對(duì)稱矩陣, 且存在可逆陣, 使得, 等式兩邊同時(shí)取逆, 有, 又由, 有. 又由性質(zhì)2.1得到, 即有</p><p><b>　　. </b></p><p>　　所以合同于單位矩陣, 即是正定矩陣.</p><p>　　性質(zhì)2.21 若是階半正定矩陣, 則也

53、是階半正定矩陣.</p><p>　　證明 設(shè)為半正定矩陣, 則為對(duì)稱矩陣, 下面分三種情況</p><p>　?。?）若, 則為正定矩陣, 由性質(zhì)2.20可知是正定矩陣; </p><p>　?。?）若, 則, 顯然是半正定矩陣; </p><p>　　（3）若, 根據(jù)性質(zhì)2.3, 則. 由于為半正定矩陣, 所以的一階主子式必大于或等于0

54、, 且至少有一個(gè)大于0, 我們不妨設(shè), 令</p><p><b>　　, </b></p><p>　　則可逆, 且有, 所以是半正定矩陣.</p><p>　　2.5 伴隨矩陣在特征值與特征向量方面的性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)2.22 設(shè)是階可逆矩陣的一個(gè)特征值, 是的屬于的特征向量, 則為的一個(gè)特征值, 且

55、是的屬于特征值的特征向量.</p><p>　　證明 由是可逆陣得, 那么, 在兩邊同時(shí)左乘, 可得, 即, 又由性質(zhì)2.1得, 即有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以是的特征值, 是的屬于特征值的特征向量.</p><p>　　性質(zhì)2.23 設(shè)是階可逆陣的所有非零特征值, 則<

56、/p><p><b>　　是的所有的特征值.</b></p><p>　　證明 由已知得, 等式兩邊同時(shí)左乘, 得. 由性質(zhì)2.1得</p><p>　　. 所以有. 故此是的所有的特征值.</p><p>　　性質(zhì)2.24[3] 設(shè)矩陣的所有特征值為, 則</p><p><b>　　

57、, , , </b></p><p><b>　　是的特征值.</b></p><p>　　證明 （1） 當(dāng)為可逆陣時(shí), 即, 則全不為零, , 且</p><p><b>　　, 于是</b></p><p><b>　　,</b></p><

58、;p>　　所以由矩陣特征值的定義可知是的特征值, 即, , , 是的特征值. </p><p>　?。?） 當(dāng)不可逆時(shí), 即.</p><p>　　若時(shí), 則是的一重特征值, 取, 則全</p><p>　　不為, 因此下面只需要證明與是的特征值. 由可知, , 于是是的至少重特征值, 設(shè)的另一個(gè)特征值為, 則</p><p><

59、b>　　,</b></p><p><b>　　即與是的特征值.</b></p><p>　　若時(shí), 則, 故的特征值全部為, 因?yàn)? 所以至</p><p>　　少是的二重特征值, 即中至少有兩個(gè)是, 所以, , , </p><p>　　必全部為, 即 , , , 是的特征值.</p>

60、<p>　　3 特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)</p><p>　　定義3.1[4] 若, 則稱為自伴隨矩陣. </p><p>　　定義3.2[13] 若, 則稱為冪等矩陣.</p><p>　　定義3.3 若, 則稱為冪幺矩陣.</p><p>　　定義3.4 若, 則稱為冪零矩陣.</p><p>

61、;　　定義3.5 若, 則稱為正規(guī)矩陣.</p><p>　　性質(zhì)3.1 （1）若為自伴隨矩陣, 則也為自伴隨矩陣;</p><p>　　若為自伴隨矩陣, 則也為自伴隨矩陣.</p><p>　　證明 （1） 根據(jù)性質(zhì)2.9有, 又因?yàn)闉樽园殡S矩陣, 所以. 因此有, 根據(jù)自伴隨矩陣的定義, 得也是自伴隨矩陣.</p><p>　?。?

62、） 根據(jù)性質(zhì)2.8有, 又因?yàn)闉樽园殡S矩陣, 所以. 因此有, 根據(jù)自伴隨矩陣的定義, 得也是自伴隨矩陣.</p><p>　　性質(zhì)3.2 若是冪等矩陣, 那么也是冪等矩陣. </p><p>　　證明 由是冪等矩陣, 即, 則有, 由推論2.1可以得到</p><p><b>　　, </b></p><p>　　

63、所以, 即也是冪等矩陣.</p><p>　　性質(zhì)3.3 若是冪零矩陣, 那么也是冪零矩陣. </p><p>　　證明 因?yàn)槭莾缌憔仃? 即, 所以有, 所以也是</p><p><b>　　冪零矩陣.</b></p><p>　　性質(zhì)3.4 若是冪幺矩陣, 那么當(dāng)時(shí), 也是冪幺矩陣.</p>&l

64、t;p>　　證明 若是冪幺矩陣, 即, 則</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即也是冪幺矩陣.</b></p><p>　　特別地, 當(dāng)時(shí), 有, 此時(shí)被稱為對(duì)合矩陣, 那么根據(jù)性質(zhì)3.4可得也是對(duì)合矩陣.</p><p>　　性質(zhì)3.5 若是正規(guī)矩陣,

65、則也是正規(guī)矩陣.</p><p>　　證明 設(shè)是正規(guī)矩陣, 則有, 又根據(jù)性質(zhì)2.5得到,</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以也是正規(guī)矩陣.</b></p><p>　　性質(zhì)3.6 若是下（上）三角矩陣, 則也是下（上）三角矩陣.</p>&l

66、t;p>　　證明 設(shè)是下三角矩陣, 則當(dāng)時(shí), 有. 當(dāng)時(shí), 的余子式為階的三角行列式, 且主對(duì)角線上的元素至少有一個(gè)為零, 所以, 即有, 所以也是下三角矩陣.</p><p>　　同理可證, 若是上三角矩陣, 則那么也是上三角矩陣.</p><p>　　性質(zhì)3.7 整數(shù)矩陣的伴隨矩陣也是整數(shù)矩陣.</p><p>　　證明 由伴隨矩陣的定義和行列式的性

67、質(zhì)即可得證.</p><p><b>　　4 伴隨矩陣的推廣</b></p><p>　　4.1 重伴隨矩陣的定義與性質(zhì)</p><p>　　一、重伴隨矩陣的定義</p><p>　　定義4.1 若為階方陣, 則為的重伴隨矩陣, 記作</p><p><b>　　, .</b&

68、gt;</p><p>　　定理4.1 設(shè)為階可逆方陣, 則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明. 下面只給出當(dāng), 時(shí)的證明.</p><p>　　10 當(dāng), 有, 將的二次伴隨矩陣記作, 由于, 則</p><p><b>　　,&

69、lt;/b></p><p>　　即有, 所以等式成立.</p><p>　　20 假設(shè)時(shí), 等式成立, 即 .</p><p>　　30 那么當(dāng)時(shí), </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以等式成立.</b></p>

70、<p>　　綜上所述, 當(dāng), , 有.</p><p>　　同理可證, 當(dāng), , 有.</p><p>　　定理4.2 若為階不可逆方陣, 當(dāng)時(shí), .</p><p>　　證明 因?yàn)闉椴豢赡娣疥? 由性質(zhì)2.3可得, 所以, 進(jìn)</p><p>　　而可得, 所以, 故當(dāng)時(shí), .</p><p>　　二

71、、重伴隨矩陣的性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)4.1 設(shè)為階方陣, 則</p><p><b>　?。?）當(dāng)時(shí), </b></p><p><b>　　（2）當(dāng)時(shí), </b></p><p>　　證明 （1） 當(dāng)時(shí), 設(shè), 則</p><p><b>　　, ,&

72、lt;/b></p><p><b>　　照以上方法得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此 </p><p>　?。?） 當(dāng)時(shí), 由性質(zhì)2.3知,</p><p><b>　　所以</b>&

73、lt;/p><p><b>　　照以上方法得</b></p><p><b>　　結(jié)論得證.</b></p><p>　　性質(zhì)4.2 設(shè)為階方陣, 則.</p><p>　　證明 （1）若, 由性質(zhì)4.1知, 當(dāng)時(shí), , 則有.</p><p><b>　?。?）若

74、, 則</b></p><p><b>　　即當(dāng)時(shí), 有.</b></p><p>　　性質(zhì)4.3 設(shè)為階可逆方陣, 則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 （1）當(dāng)時(shí), , 等式成立.</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)

75、, .</b></p><p>　　當(dāng)時(shí), .綜上所述, 當(dāng)時(shí), 有.</p><p>　　又由性質(zhì)4.1知, </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以性質(zhì)得證.</b></p><p>　　性質(zhì)4.4 設(shè)為階方陣, 則<

76、/p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 由數(shù)學(xué)歸納法和性質(zhì)2.8即可證得.</p><p>　　注 當(dāng)時(shí), 當(dāng)且僅當(dāng)可逆時(shí)才有這個(gè)結(jié)論.</p><p>　　上述是重伴隨矩陣的基本性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì), 下面來(lái)探討其較強(qiáng)的繼承性.</p><p>　　性質(zhì)4.5 若是冪等陣,

77、則也是冪等陣.</p><p>　　證明 因?yàn)槭莾绲汝? 則有, 所以或.</p><p>　　若, 由性質(zhì)4.1知, , 則.</p><p>　　若, 可逆, 則, 即, 所以, </p><p><b>　　結(jié)論得證.</b></p><p>　　性質(zhì)4.6 若方陣是正定的, 則也是正定

78、的; 反之若是正定的, 為偶</p><p>　　數(shù), 且可逆, 則也是正定的.</p><p>　　證明 （1）若是正定的, 則, 且, 所以有. 因?yàn)? 又由, 正定, , 得正定. 同理可證, 正定, 以此類推, 正定.</p><p>　?。?）反之, 若正定, 有正定. 因?yàn)? 當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 有為奇數(shù), 則. 由性質(zhì)4.2知, 當(dāng)時(shí), , 正定, 所以為

79、正定陣. 同理可證, 當(dāng)時(shí), 也是正定陣.</p><p>　　由（1）（2）可得性質(zhì)得證.</p><p>　　性質(zhì)4.7 若是正交陣, 則是正交陣; 反之也成立.</p><p>　　證明 （1）因?yàn)槭钦魂? 所以, 且或.</p><p>　　當(dāng)時(shí), 由性質(zhì)4.5得, </p><p><b>　

80、　.</b></p><p>　　又根據(jù)性質(zhì)4.3可得</p><p><b>　　,</b></p><p>　　綜上所述可得當(dāng)時(shí), , 有, 即為正交陣.</p><p><b>　　若, 當(dāng)時(shí),</b></p><p><b>　　,</b&

81、gt;</p><p>　　又由于, , 所以.</p><p>　　同理可證, 當(dāng)時(shí), 有. 所以, , , 有, 即為正交陣.</p><p>　　綜上所述, 若是正交陣, 則是正交陣.</p><p>　　反之, 若, 且或, 則由性質(zhì)2.1 知</p><p><b>　　或.</b>&l

82、t;/p><p>　　又由性質(zhì)4.5知, 當(dāng)時(shí), </p><p><b>　　, </b></p><p>　　得, 由 可得, 即.</p><p>　　同理可證, 當(dāng)時(shí), . 綜上所述, 當(dāng)時(shí), 有.</p><p>　　由（1）（2）可得性質(zhì)成立.</p><p>　　

83、性質(zhì)4.8 若階方陣是冪零矩陣, 則也是冪零矩陣.</p><p>　　證明 因?yàn)槭莾缌憔仃? 所以有, 那么或.</p><p><b>　　若, 則.</b></p><p>　　若, 由性質(zhì)4.1知, </p><p><b>　　當(dāng)時(shí), , 則.</b></p><p

84、><b>　　當(dāng)時(shí), , 由.</b></p><p><b>　　所以, 當(dāng), 有.</b></p><p>　　性質(zhì)4.9 若是對(duì)稱陣, 則也是對(duì)稱陣; 反之是對(duì)稱陣, 且是可逆的, </p><p><b>　　則是對(duì)稱陣.</b></p><p>　　證明 根

85、據(jù)性質(zhì)2.1及定理4.1即可證得.</p><p>　　性質(zhì)4.10 若是反對(duì)稱陣, 則當(dāng)為奇數(shù)時(shí), 為對(duì)稱陣; 當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 為反對(duì)稱陣.</p><p>　　證明 同樣根據(jù)性質(zhì)2.1及定理4.1即可證得.</p><p>　　4.2 矩陣的伴隨矩陣的定義與性質(zhì)</p><p>　　一、矩陣的伴隨矩陣的定義</p>&l

86、t;p>　　定義4.2[15] 設(shè), 則稱</p><p>　　是的伴隨矩陣, 其中是行列式的的代數(shù)余子行（列）式.</p><p>　　二、矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)4.11 設(shè)是矩陣, 則有</p><p><b>　　證明 當(dāng)時(shí), 由</b></p><p>

87、<b>　　可得 .</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí), 同樣的有</b></p><p><b>　　由此可得.</b></p><p>　　性質(zhì)4.12 設(shè)為矩陣, 則有.</p><p>　　證明 設(shè), 那么, 又根據(jù)伴隨矩陣的定義有, 且, 而, 所以.&l

88、t;/p><p>　　性質(zhì)4.13 對(duì)任意的矩陣都有, 其中.</p><p>　　根據(jù)可逆矩陣的性質(zhì)及性質(zhì)4.11即可得證. </p><p>　　性質(zhì)4.14 若是矩陣, 且, 則是滿秩的.</p><p>　　證明 設(shè)是矩陣, 不妨令, 因?yàn)榈扔诘乃须A子式的和, 又由于, 所以至少有一個(gè)不為零的階子式, 又由于是矩陣, 所以.<

89、;/p><p>　　由性質(zhì)4.11, 得, 而是矩陣, 所以是可逆的.</p><p>　　注 條件不可換成是滿秩, 這點(diǎn)與方陣不同.</p><p><b>　　5 伴隨矩陣的應(yīng)用</b></p><p>　　例5.1 設(shè), , 求.</p><p>　　解 由可得, 于是有</p>

90、;<p><b>　　,</b></p><p>　　則有, 于是得到, 的伴隨矩陣為</p><p><b>　　, </b></p><p>　　所以根據(jù)性質(zhì)2.1有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例5.2

91、 設(shè)4階方陣滿足條件, 及, 求的伴隨矩陣</p><p><b>　　的一個(gè)特征值.</b></p><p>　　分析 根據(jù)性質(zhì)2.22, 當(dāng)是可逆矩陣的一個(gè)特征值時(shí), 伴隨矩陣的一個(gè)特征值為. 可見(jiàn)本題關(guān)鍵是要求出的一個(gè)特征值與.</p><p>　　解 設(shè), 即有. 所以為的一個(gè)特征值.由, 兩邊取行列式得. 因, 所以 所以由性質(zhì)

92、2.22得, 的一個(gè)特征值為.</p><p>　　例5.3[15] 試求出滿足的一切階方陣.</p><p>　　分析 此題主要是運(yùn)用性質(zhì)2.3進(jìn)行分類討論.</p><p>　　解 若時(shí), , 當(dāng)然有. </p><p>　　若時(shí), 則, 即, 此時(shí).</p><p><b>　　若, 則.<

93、/b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí), 顯然.</b></p><p>　　當(dāng)時(shí), 設(shè), 則, 不可能有. 因?yàn)榧僭O(shè), 則有, 且. 于是, 這與矛盾. 故此.</p><p>　　若, 則, 于是由性質(zhì)2.1得, 當(dāng)且僅當(dāng).</p><p>　　綜上可得, 滿足的方陣是: 零方陣及適合的可逆方陣.</p

94、><p>　　例5.4 設(shè)、、均為3階可逆矩陣, 且, , , , , , 求.</p><p>　　分析 本題只要運(yùn)用分塊矩陣的伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)就能輕而易舉地得到結(jié)果.</p><p>　　解 根據(jù)推論2.3得</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　例5.5 若,

95、求.</p><p>　　分析 此題看似較為復(fù)雜, 但是根據(jù)性質(zhì)4.2, 此題就迎刃而解.</p><p>　　解 由已知易得, 根據(jù)性質(zhì)4.2, 即有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　6 小結(jié)</b></p><p>　　伴隨矩陣是矩

96、陣?yán)碚摷熬€性代數(shù)中的一個(gè)基本概念, 它具有不容忽視的重要地位. 其性質(zhì)的內(nèi)容豐富多彩, 應(yīng)用也相當(dāng)廣泛. 伴隨矩陣的推廣更使伴隨矩陣如虎添翼.</p><p>　　基于伴隨矩陣性質(zhì)的重要性, 本課題先在伴隨矩陣的定義和基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上, 詳細(xì)歸納討論了伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)、在特征值和特征向量方面的性質(zhì)及伴隨矩陣在等價(jià)、相似、合同、對(duì)稱、正交、正定等性質(zhì)方面對(duì)原矩陣的繼承性; 然后探討了如上（下）三角矩陣、自伴隨矩陣

97、、對(duì)角矩陣、冪等矩陣等一些特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)并給出詳細(xì)的證明, 并將伴隨矩陣作了兩方面的推廣, 給出了重伴隨矩陣的定義及其相關(guān)的性質(zhì)和矩陣的伴隨矩陣的定義及其若干性質(zhì), 使伴隨矩陣的性質(zhì)更具有科學(xué)性、系統(tǒng)性. 最后通過(guò)舉例說(shuō)明了伴隨矩陣的性質(zhì)在線性代數(shù)解題中的重要應(yīng)用.</p><p>　　由于本人能力有限, 在作本課題時(shí)還存在很多不足, 比如, 所舉的例子不夠全面, 不能體現(xiàn)它在其他領(lǐng)域中的重要性. 希望

98、在以后的學(xué)習(xí)中在這方面能有所突破.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge University Press, 1986. </p><p>　　蔡建樂(lè). 用特征矩陣的伴隨矩陣求解慣量主軸方向[J]. 大學(xué)

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