中國古代數(shù)學中的極限思想[畢業(yè)論文]

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計）</p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　中國古代數(shù)學中的極限思想</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學 </p>

2、<p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：“極限”是高等數(shù)學中最基礎(chǔ)和最重要的概念之一，高等數(shù)學中許多深層次的理論及其應用都是

3、極限的延拓與深化。其中，中國古代數(shù)學中的極限思想對整個數(shù)學的發(fā)展起到了非常重要的作用。本文在中國古代數(shù)學中前人研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合國外古代極限思想，介紹極限思想的萌芽、發(fā)展到完善的整個過程，并對其相應的應用和影響做較為全面的探討。我們首先介紹中國古代的極限思想，接著從三個角度對中西方的極限思想進行比較，最后總結(jié)中國古代極限思想對后世數(shù)學的影響極其在文學、哲學和實際生活中的應用。</p><p>　　關(guān)鍵字：古代數(shù)學

4、；極限思想；割圓術(shù)；圓周率；微積分</p><p>　　The Ancient Chinese Mathematics Limit Thought</p><p>　　Abstract：" Limit " is one of the most basic and most important concepts in th

5、e field of higher mathematics, many deep-level mathematics theories and their applications are extension and deepening of limit. Especially the ancient Chinese limit thought plays a very important role during the whole d

6、evelopment of mathematics. Based on the ancient Chinese mathematics and previous studies, combined with the ancient limit of foreign ideas, in this paper we will introduce the whole process of limit thou</p><p

7、>　　Key words：Ancient mathematics; limit thought; the method of cutting circle; π; calculus .</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 緒論1</b></p><p>　　1.1 問題的背

8、景和意義1</p><p>　　1.2 極限相關(guān)概念2</p><p>　　1.2.1 數(shù)列極限2</p><p>　　1.2.2 函數(shù)極限2</p><p>　　2 中國古代的極限思想4</p><p>　　2.1 極限思想的萌芽4</p><p>　　2.2 關(guān)于數(shù)π

9、4</p><p>　　2.2.1 π的來歷4</p><p>　　2.2.2 π的數(shù)值精確度的發(fā)展4</p><p>　　3 中西方極限思想的比較7</p><p>　　3.1 割圓術(shù)與窮竭法7</p><p>　　3.2 先秦極限觀與古希臘極限觀的比較8</p><p>

10、;　　3.2.1 對無窮大和無窮小認識的比較8</p><p>　　3.2.2 對無限可分性、連續(xù)性以及無窮數(shù)和的認識比較8</p><p>　　3.3 從中西方哲學傳統(tǒng)看微積分的創(chuàng)立9</p><p>　　4 對后世數(shù)學的影響及其應用10</p><p>　　4.1 對后世數(shù)學的影響10</p><p

11、>　　4.2 極限思想在文學和哲學方面的影響10</p><p>　　4.3 極限思想在古代的應用11</p><p><b>　　5 結(jié)論13</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻14</b></p><

12、p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 問題的背景和意義</p><p>　　微積分是近代數(shù)學產(chǎn)生的標志之一，而其中極限概念與極限方法是近代微積分學的基礎(chǔ)。美國學者C.B.波斯灣耶在他的《微積分概念史》一書中，多處指出在古希臘數(shù)學中沒有產(chǎn)生極限概念和使用過極限方法，但在古代東方的中國，早在春秋戰(zhàn)國時期就有了極限思想的萌芽，對宇宙的無限性

13、與連續(xù)性已有了相當深的認識；到三國魏晉時期，我國著名數(shù)學家劉徽受到秦漢的極限思想的啟迪，繼承并發(fā)展了極限思想，在為《九章算術(shù)》作注時，最先創(chuàng)造性地把極限思想引入數(shù)學，成為數(shù)學方法，這種方法在圓田術(shù)和陽馬術(shù)得到了充分的發(fā)揮和廣泛作用，可以說為微積分的產(chǎn)生準備了必要的條件。（參見文獻[1]）</p><p>　　作為數(shù)學中最重要的思想和方法之一，極限思想就是人們認識無限運動變化的偉大結(jié)晶，是聯(lián)系初等數(shù)學和高等數(shù)學的一

14、條重要的紐帶。這種思想和方法的運用，擴大了人們的思維空間，產(chǎn)生了許多重要的結(jié)論和經(jīng)典故事。而極限又是高等數(shù)學中最重要的概念，高等數(shù)學許多深層次的理論及其應用都是極限的延拓與深化。作為研究函數(shù)最基本的方法——極限方法，早在古代就有比較清楚的描述，其在古代數(shù)學中的應用也有很多具體實例。極限的應用及推廣已涉及社會、科學及研究的很多方面，對其進行研究不僅在理論上也在實踐中具有很大的意義。</p><p>　　微積分的形成

15、與發(fā)展是數(shù)學界的重要話題。但翻開有關(guān)微積分的教材和介紹其發(fā)展歷史的著述，無論是外國人編寫的，還是我國的作者，無論是過去，還是現(xiàn)在，大多數(shù)定理的前面都冠之以某某外國人的大名，卻很少甚至根本沒有反映中華民族對于微積分的形成與發(fā)展所作出的貢獻。大量歷史事實無可辯駁地說明，我國是人類數(shù)學的故鄉(xiāng)之一。中華民族有著光輝燦爛的數(shù)學史，中國古代數(shù)學對微積分形成所做出的貢獻，理應受到世人的承認與尊重。眾所周知，在牛頓與萊布尼茲發(fā)明微積分前經(jīng)歷了十分艱難曲

16、折的一個世紀的醞釀階段。作為產(chǎn)生微積分的必要條件中，有些是在我國早已有之，而為希臘式數(shù)學所不及的。</p><p>　　學習和研究中國古代極限可以對學生進行愛國主義教育?，F(xiàn)行的中學教材講的大都是外國的數(shù)學成就，對我國在數(shù)學史上的貢獻提得很少, 其實中國數(shù)學有著光輝的傳統(tǒng)，有劉徽、祖沖之、祖暅、楊輝、秦九韶、李冶、朱世杰等一批優(yōu)秀的數(shù)學家，有中國剩余定理、祖暅公理、“割圓術(shù)”等具有世界影響的數(shù)學成就，對其中很多問題

17、的研究也比國外早很多年。然而，現(xiàn)階段愛國主義教育又不能只停留在感嘆我國古代數(shù)學的輝煌上。從明代以后中國數(shù)學逐漸落后于西方，20世紀初，中國數(shù)學家踏上了學習并趕超西方先進數(shù)學的艱巨歷程。在新時代的要求下，除了增強學生的民族自豪感之外，還應該培養(yǎng)學生的“國際意識”，讓學生認識到愛國主義不是體現(xiàn)在“以己之長，說人之短”上，在科學發(fā)現(xiàn)上全人類應該相互學習、互相借鑒、共同提高，我們要尊重外國的數(shù)學成就，虛心的學習，“洋為中用”。 因此，結(jié)合國外的

18、極限思想的應用實例，對中國古代極限思想的理論及實際應用進行研究十分必要。</p><p>　　1.2 極限相關(guān)概念</p><p>　　極限是數(shù)學的一個重要概念。在數(shù)學中，如果某個變化的量無限地逼近于一個確定的數(shù)值，那么該定值就叫做變化的量的極限。極限的思想是近代數(shù)學的一種重要思想，數(shù)學分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級數(shù))為主要工具來研究函數(shù)的一門學科。所謂極限的思想，是指用極

19、限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個與它有關(guān)的變量，確認這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到這結(jié)果。</p><p>　　極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。如果要問：“數(shù)學分析是一門什么學科?”那么可以概括地說：“數(shù)學分析就是用極限思

20、想來研究函數(shù)的一門學科。”</p><p>　　1.2.1 數(shù)列極限</p><p>　　若函數(shù)f的定義域為全體正整數(shù)集合 錯誤!未找到引用源。，則稱</p><p>　　f： 錯誤!未找到引用源。 或 錯誤!未找到引用源。， 錯誤!未找到引用源。</p><p><b>　　為數(shù)列。</b></p>

21、<p>　　定義 1 [2] 設(shè) 錯誤!未找到引用源。為數(shù)列，a為定數(shù)。若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當 錯誤!未找到引用源。時有 錯誤!未找到引用源。 ,</p><p>　　則稱數(shù)列 錯誤!未找到引用源。收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列 錯誤!未找到引用源。的極限，并記作 錯誤!未找到引用源。 .</p><p>　　1.2.2 函數(shù)極限</p><

22、p>　　x趨于 錯誤!未找到引用源。時函數(shù)的極限</p><p>　　定義 2 [3] 設(shè)f為定義在［a, 錯誤!未找到引用源。）上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對任給的 錯誤!未找到引用源。，存在正數(shù)M，使得當 錯誤!未找到引用源。時有 </p><p>　　則稱函數(shù)f當x趨于 錯誤!未找到引用源。時以A為極限，記作</p><p>　　錯誤!

23、未找到引用源。 .</p><p>　　x趨于 錯誤!未找到引用源。時函數(shù)的極限</p><p>　　定義 3[3] 設(shè)函數(shù)f在 錯誤!未找到引用源。的某個空心鄰域內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對任給的 錯誤!未找到引用源。，存在正數(shù)，使得當 錯誤!未找到引用源。時有</p><p>　　錯誤!未找到引用源。 ,</p><p>　　則稱函數(shù)f當x

24、趨于 錯誤!未找到引用源。時以A為極限，記作</p><p>　　錯誤!未找到引用源。 .</p><p>　　本次論文中，我們首先介紹極限思想的萌芽和數(shù)π與極限的關(guān)系。接著對中西方的極限思想進行比較，分別從割圓術(shù)與窮竭法的角度考察古代東西方民族思維方式的異同；從先秦極限觀與古希臘極限觀方面比較論述；從中西方哲學傳統(tǒng)看微積分的創(chuàng)立。最后對極限思想對后世數(shù)學的影響，在文學和哲學方面的反映，以

25、及其在古代中的應用進行總結(jié)。</p><p>　　2 中國古代的極限思想</p><p>　　2.1 極限思想的萌芽</p><p>　　極限思想是人們對有限、無限問題不斷深化認識的過程中取得的。從萌芽到完善，經(jīng)過了近2000年時間，可以說是數(shù)學史上一次漫長的旅途。</p><p>　　早在春秋戰(zhàn)國時期（公元前770——前221）道家的代

26、表人物莊子就有了極限思想，據(jù)《莊子》“天下篇”中記載：“一尺之棰，日取其半，萬事不竭?！?[4]意思是說，一尺長的木棒每天取下前一天所剩的一半，如此下去，永遠也取不完。這反映了古人對極限的一種思考，它不但表達了我們祖先的極限思想，也提供了一個“無窮小量”的實際例子。這個經(jīng)典論斷，至今在微積分的教學中還經(jīng)常使用。</p><p>　　我國古代的極限思想與方法主要寓于求積(面積、體積)理論。</p>&

27、lt;p>　　劉徽繼承和發(fā)揚了先秦諸子關(guān)于極限的思想用“割圓術(shù)”和“陽馬術(shù)”等成功地解決了求積問題。在《九章算術(shù)》的“圓田術(shù)”中給出了計算圓面積的法則:“半周半徑相乘得積步?！奔磮A的面積S與一個長為半周 錯誤!未找到引用源。,寬為半徑的長方形的面積相等: 錯誤!未找到引用源。。（參見文獻[5]）</p><p>　　劉徽注文首先指出古率“周三徑一”（即π = 3）實際上既是圓內(nèi)接正六邊形的周長C與直徑2R之

28、比，以此說明古率之粗疏。為推證圓面積公式，劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始，不斷割圓，徽注曰：“又按為圖，以六觚之一面乘半徑，因而三之，得十二觚之冪。若又割之，次以十二觚之一面乘半徑，因而六之，則得二十四觚之冪。割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?！盵6]</p><p><b>　　2.2 關(guān)于數(shù)π</b></p><p>　　2.2.1

29、 π的來歷</p><p>　　如何正確地推求圓周率的數(shù)值，是世界數(shù)學史上的一個重要課題。我國古代數(shù)學家們對這個問題研究也很早。在《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》中就提出徑一周三的古率，定圓周率為三，即圓周長是直徑長的三倍。此后，經(jīng)過歷代數(shù)學家的相繼探索，推算出的圓周率數(shù)值日益精確。</p><p>　　2.2.2 π的數(shù)值精確度的發(fā)展</p><p>　　西漢末年劉歆

30、在為王莽設(shè)計制作圓形銅斛（一種量器）的過程中，發(fā)現(xiàn)直徑為一、圓周為三的古率過于粗略，經(jīng)過進一步的推算，求得圓周率的數(shù)值為3.1547。東漢著名科學家張衡推算出的圓周率值為3.162。三國時，數(shù)學家王蕃推算出的圓周率數(shù)值為3.155。（參見文獻[7]）</p><p>　　魏晉之際的著名數(shù)學家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時創(chuàng)立了新的推算圓周率的方法——割圓術(shù)，圓周率的研究才獲得了重大的進展。他設(shè)圓的半徑為1，把圓周六等

31、分，作圓的內(nèi)接正六邊形，用勾股定理求出這個內(nèi)接正六邊形的周長。其實如果把內(nèi)接正六邊形的邊數(shù)加倍，改為內(nèi)接正十二邊形，再用適當方法求出它的周長，可以看出，這個周長比內(nèi)接正六邊形的周長更接近圓的周長，這個內(nèi)接正十二邊形的面積也更接近圓面積。從這里就可以得到這樣一個結(jié)論：圓內(nèi)所做的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，它各邊相加的總長度（周長）和圓周周長之間的差額就越小。所以用增加圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的辦法求圓周率，得數(shù)永遠稍小于π的真實數(shù)值。（參見文獻[

32、8]）劉徽就是根據(jù)這個道理，從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數(shù)，一直計算到內(nèi)接正九十六邊形為止，得出它的邊長和為6.282048，而圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，它的邊長就越接近圓的實際周長，所以此時圓周率的值為邊長除以2，求得了圓周率是3.141024。并得出π的兩個近似值就是 錯誤!未找到引用源。和 錯誤!未找到引用源。。</p><p>　　劉徽以后，探求圓周率有成就的學者，先后有南朝時代的何承天、皮延宗

33、等人。何承天求得的圓周率數(shù)值為3.1428；皮延宗求出圓周率值為 錯誤!未找到引用源。。以上的科學家都為圓周率的研究推算做出了很大貢獻。</p><p>　　祖沖之在推求圓周率方面又獲得了超越前人的重大成就。根據(jù)《隋書·律歷志》的記載，祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計算的結(jié)果共得到兩個數(shù)：一個是盈數(shù)（即過剩的近似值），為3.1415927；一個是朒數(shù)（即不足的近似值），為3.141592

34、6。圓周率真值正好在盈朒兩數(shù)之間。祖沖之按照劉徽的割圓術(shù)之法，設(shè)了一個直徑為一丈的圓，在圓內(nèi)切割計算。當他切割到圓的內(nèi)接一百九十二邊形時，得到了“徽率”的數(shù)值。但他沒有滿足，繼續(xù)切割，作了三百八十四邊形、七百六十八邊形一直切割到二萬四千五百七十六邊形，依次求出每個內(nèi)接正多邊形的邊長。最后求得直徑為一丈的圓，它的圓周長度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間，上面的那些長度單位我們現(xiàn)在已不再通用，但換句話

35、說：如果圓的直徑為1，那么圓周小于3.1415927誤差不到千萬分之一，它們的提出，大大方便了計算和實際應用。</p><p>　　盈朒兩數(shù)可以列成不等式，如：</p><p>　　錯誤!未找到引用源。，</p><p>　　這表明圓周率應在盈朒兩數(shù)之間。按照當時計算都用分數(shù)的習慣，祖沖之還采用了兩個分數(shù)值的圓周率。一個是 錯誤!未找到引用源。（約等3.141592

36、7），這一個數(shù)比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個約等于3.14，這一個數(shù)比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”?，F(xiàn)在我們用數(shù)論中的連分數(shù)法可知， 錯誤!未找到引用源。是一個漸進分數(shù)，漸進分數(shù)都是最佳逼近，用這種方法可求出的更精確的漸近分數(shù)為 錯誤!未找到引用源。，用其他方法可得出在 錯誤!未找到引用源。之后，第一個出現(xiàn)而精確程度又超過 錯誤!未找到引用源。的最佳分數(shù)值是 錯誤!未找到引用源。，這兩個最佳逼近分子、分母都很大，使用價值

37、很小，由此更看出祖沖之的密率更精彩。（參見文獻[9]）</p><p>　　3 中西方極限思想的比較</p><p>　　3.1 割圓術(shù)與窮竭法</p><p>　　“割圓術(shù)”與“窮竭法”是古代東西方數(shù)學智慧的代表。對之進行比較，可以從某一側(cè)面考察古代東西方民族思維方式的異同。</p><p>　　思路一致：“割圓術(shù)”與“窮竭法”都是以內(nèi)

38、接多邊形去逼近曲線形，所用方式都是逐步增加內(nèi)接多邊形邊數(shù)的倍數(shù)。 以圓為例，劉徽的“割圓術(shù)”是從圓內(nèi)接正六邊形開始的，依次作正12 邊形，正24 邊形等等；而歐幾里得使用“窮竭法”則是從圓內(nèi)接正四邊形開始的，依次作正8 邊形，正16 邊形等等。可以說,除了原始正多邊形的邊數(shù)不同以外，劉徽與歐幾里得的出發(fā)點與推證思路不謀而合。（參見文獻[10]）</p><p>　　思想不同：劉徽的“割圓術(shù)”包含著深刻的極限思想。

39、他的割圓過程是一個無限過程，最終可以達到終極目標:“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”劉徽設(shè)計了一個無限“分割”的過程，最終達到“合體”這一終極狀態(tài)。這一過程與狀態(tài)的統(tǒng)一，是劉徽辯證的無窮觀。劉徽用“割圓術(shù)”不僅推證了圓的面積公式，還充分利用分割過程，通過計算圓內(nèi)接正192 邊形，算出了圓周率的近似值3.14。劉徽的極限思想還創(chuàng)造了其它重要結(jié)論，以下列舉一二: (1) 十進小數(shù)表示法。劉徽在《九章算術(shù)》

40、開方術(shù)注文中指出:“不以面命之，加定法如前，求其微數(shù)。微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所余之數(shù)，不足言之也?！遍_方法求微數(shù)，實際上是求無理數(shù)的十進分數(shù)近似值。 但開方程序是一個無限過程，可以達到人們預先需要的精確度，開方求微數(shù)的方法是劉徽極限思想在近似計算上的應用，它促進了十進小數(shù)的產(chǎn)生。(2) 劉徽原理。在《九章算術(shù)》商功章陽馬術(shù)注文中，劉徽指出：“邪解立方得兩塹堵。邪解塹堵，其一為陽

41、馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也?！?在推證陽馬體積：鱉臑體</p><p>　　古希臘的“窮竭法”，雖然適用范圍更廣泛，但它始終是一個有限過程，阿基米德用“窮竭法”不僅研究過圓，而且還計算過拋物線弓形的面積。但他是通過力學手段推證出拋物線弓形與其一內(nèi)接三角形的面積關(guān)系后，再用窮竭法進行證明的，與歐幾里得證明圓面積的命題類似。此外，阿基米德還利用“窮竭法”討論了二次曲面的一些體積命題。古希臘的“窮竭法

42、”沒有涉及極限過程。正如美國學者愛德華所指出:“阿基米德，即使不是在他的正式的分析中，也至少是在他的正式的證明中，沒有擺脫希臘人的‘對無限的恐懼’。希臘人的嚴格的觀念要求使用繁瑣的雙歸謬法，而不是簡單的取極限的方法?！保▍⒁娢墨I[11]）</p><p>　　3.2 先秦極限觀與古希臘極限觀的比較</p><p>　　3.2.1 對無窮大和無窮小認識的比較</p><

43、;p>　　在《莊子·天下篇》中有名家惠施提出的“至大無外謂之大一；至小無內(nèi)謂之小一”[12]的無限觀?！按笠弧毕喈斢跓o窮大，“小一”相當于無窮小?！巴狻笔恰巴饨纭被颉斑吔纭?。至大是沒有邊界的，叫無窮大；至小是沒有內(nèi)部的，叫無窮小。當然，我們可以把“大一”理解為概莫能外，無所不包的無窮空間；“小一”理解為小之至極，無所包容的幾何學中的點。在《莊子·秋水》中還有“至精無形，至大不可圍”的說法。</p>

44、<p>　　公元前5世紀，有關(guān)無限小量的概念已經(jīng)作為古希臘人關(guān)于物質(zhì)世界本質(zhì)的設(shè)想而進入了數(shù)學思潮。阿布德拉學派主張一切東西都由在虛空中不斷運動著的原子所組成，這些原子是不可再分的物質(zhì)粒子，它們沒有質(zhì)的區(qū)別，而形狀、大小千差萬別，小到無所覺察。但在畢達哥拉斯的“無限小但分子論”德謨克利特的“原子論”之后，希臘學者并不歡迎無窮小。芝諾認為：“加到別的東西上不使其增大，從別的東西中減去又不使其減少，不過是子虛烏有而已。”亞里士多

45、德則認為無窮事不完美的，未完成的，因而是不可思議的。而為希臘數(shù)學家所普遍接受的觀點則是“在小的當中不存在最小的，但總有更小的”。</p><p>　　由此看出中國名、墨兩家已從直觀上理解了無窮小和無窮大，并且對它們有了一定程度的認識。希臘德饃克利特的“原子論”與中國這種樸素的無窮小概念類似，但他之后的希臘學著大都傾向于“無窮小，無窮大是不存在的”觀點。</p><p>　　3.2.2 對

46、無限可分性、連續(xù)性以及無窮數(shù)和的認識比較</p><p>　　墨家承認以下事實：一、線段是連續(xù)的，而不是間斷的，否則不可能每次分割都能恰好在線段上；二、線段是無限可分的；三、這種無限分割過程最終會達到極限狀態(tài)，得到一個實在的端，有無限思想；四、暗含有些無窮級數(shù)的和存在的思想。</p><p>　　希臘人對無限的理解卻產(chǎn)生了疑惑，為此芝諾提出了以下四個著明悖論：</p><

47、;p>　?。?）兩分法悖論 向著一個目的地運動的東西，首先必須經(jīng)過這路程的一半，然而，要經(jīng)過這路程的一半，又必須先經(jīng)過這一半的一半，如此類推，以至無窮。所以既然這種步步緊縮是無窮的，運動就根本沒有可能。</p><p>　　（2）阿基里斯追不上烏龜 阿基里斯總是首先必須到烏龜?shù)某霭l(fā)點，因而烏龜必定總是跑在前頭。</p><p>　?。?）飛矢不動 箭在運動的過程中的任一時

48、刻必在一確定位置上因而是靜止的，所以箭就不能處于運動狀態(tài)。</p><p>　?。?）操場或游行隊伍悖論 甲乙兩件東西以等速向相反方向運動，從靜止的丙來看，比如說，甲乙都在一小時內(nèi)移動了2里，可是，從甲看來，則乙在一小時內(nèi)就移動了4里。運動是矛盾的，所以運動是不可能的。</p><p>　　芝諾的悖論，前兩個矛頭直指空間和時間無限可分，因而運動是連續(xù)的觀點，后兩個則是由于不能直觀地看出

49、連續(xù)和無窮集合的性質(zhì)。（參見文獻[13]）</p><p>　　3.3 從中西方哲學傳統(tǒng)看微積分的創(chuàng)立</p><p>　　任何一個數(shù)學家的數(shù)學思想都受到某種哲學思想的影響，而在參考相關(guān)資料后認為其中影響較為深遠的是世界觀中最根本的因素——關(guān)于萬物起源的觀點。古代中國關(guān)于萬物起源的根本觀點是《周易·八卦》所說：“是故易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦?！崩献觿t把這一觀點

50、用更為形式化的數(shù)字語言闡述得更加精確，他說：“道生一，一生二，二生三，三生萬物。”這一敘述直觀地來看是中國古代關(guān)于數(shù)的起源的觀點，但實際上卻有更深層次的含義。這里“一、二、三”并不意味著具體的數(shù)“1、2、3”，也不意味著某幾種具體的物質(zhì)形態(tài)，而僅僅是一種形式化的語言，你可以賦予各種不同的具體內(nèi)容。只有這樣才能真正了解中國古人關(guān)于事物產(chǎn)生、演化的思想觀點。由此可以看出古代中國認為世間萬物都是由“一”派生、分裂而形成。</p>

51、<p>　　在西方，古希臘的知識分子認為自然界是有秩序的，并且始終按照一定的方案運行。他們肯定在一切表面現(xiàn)象千變?nèi)f化之中有一種始終不變的東西，這一原始物質(zhì)的本質(zhì)是永恒的，所有紛繁復雜的物質(zhì)形態(tài)都可以用它來解釋，或者說都是由它所構(gòu)成的。其中最有典型意義的是畢達哥拉斯學派的“萬物皆為（整）數(shù)”觀點，他們認為世界的本質(zhì)是數(shù)，把數(shù)看作是真實事物的終極組成部分。即一切事物對象都是由（整）數(shù)構(gòu)成的，而整數(shù)的基本單位是“1”，因此可以更近

52、一步地說一切對象都是由“1”所構(gòu)成的，是由許多的“1”按不同的方式組合而成，所以“1”是所有真實事物的最終組成成分。</p><p>　　從以上敘述可知：從原始的思想起，中國、西方都認為一切事物的起源都是“一”，都有“萬物皆為數(shù)的觀點”，然而對“一”的理解卻恰好相反，正是由于這種差異，從而決定了中西世界觀的差異，進一步?jīng)Q定了中西方法論的不同。中國是把“一”看作萬物的起源，由“一”分裂而得到其它整數(shù)乃至所有復雜事物

53、。在中國人看來“一”是最高級的概念，是由神秘的“道”所產(chǎn)生的，它是神圣的。這也就使得人們不敢貿(mào)然去探索這個神圣的“一”，也就從一個方面決定了中國古代數(shù)學缺乏開創(chuàng)性而注重實用性的特點。西方人則把“一”看作最基本的組成元素，由“一”組合生成其它整數(shù)，進一步生成其它所有事物，它是萬物最基本的組成單位。在他們看來“一”不是神圣的，它是人們探究的對象，這就促使人們不斷探求事物最根本的起源，在方法論上，總是把要研究的對象轉(zhuǎn)化為最基本的單位進行研究。

54、（參見文獻[14]）</p><p>　　4 對后世數(shù)學的影響及其應用</p><p>　　4.1 對后世數(shù)學的影響</p><p>　　以中國為代表的長于算法的東方數(shù)學和以希臘為代表的長于邏輯的西方數(shù)學，是雪白梅香，各有所長。我們知道，極限概念是微積分的最重要概念之一。數(shù)學家們?nèi)绻婚_始因為無窮小的概念不嚴格而放棄它，那么微積分就不會誕生。當時的微積分是建立在

55、經(jīng)驗觀察或并不很審慎的直觀的基礎(chǔ)上的，以在天文力學上的實用性為其后盾，這和中國學者走的道路類似。到了19 世紀，微積分開始嚴格化運動，它要求高度演繹，只有這樣才便于理論自身的發(fā)展，這又和古希臘學者走的道路一致?？梢?，在數(shù)學的發(fā)展過程中，不能偏廢任何一方。在古代西方，芝諾的四個著名悖論首先觸及到數(shù)學上敏感而后困惑的“無限”問題。歐多克斯的窮竭法，阿基米德的無窮小思想都含有非常重要的微積分思想。到16 世紀末，由于實踐的需要和對窮竭法的好奇

56、與興趣，那些促使微積分產(chǎn)生的數(shù)學問題引起了數(shù)學家們的廣泛興趣，他們做了大量有意義的工作，為微積分的創(chuàng)立做了思想上和技術(shù)上的準備。到17 世紀，牛頓、萊布尼茨終于在前人的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了微積分。</p><p>　　但是通觀十六、七世紀歐洲微積分學發(fā)展的歷史，雖然它以對古代希臘阿基米德等人的著作的研究為起點，然而正如卡爾·B·波耶所指出的，這些探索者們并非繼承希臘人思想與傳統(tǒng)而沿著老路往下走。正好相

57、反，史蒂汶、瓦雷里歐、開普勒、伽利略、卡瓦列里、托里拆利等多位數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了古希臘數(shù)學在處理無限數(shù)問題的失敗而轉(zhuǎn)向，朝著東方數(shù)學算法傳統(tǒng)的道路前進。古希臘數(shù)學的一個嚴重缺陷在于它無法實現(xiàn)曲邊形與直線形的轉(zhuǎn)化，其根本原因在于他們在幾何中禁用無限，堅持數(shù)與量的割裂，致使他們在求積理論方面不得不只依賴于形式邏輯的一支腳迂回曲折地前進。近代的歐洲學者，從東方引進了實數(shù)系統(tǒng)，并建立了符號代數(shù)，逐步發(fā)展了數(shù)學中的無限觀念和極限方法，從而使古希臘的窮竭

58、法得到脫胎換骨的改造。可見，早在劉徽、祖暅的時代，我國數(shù)學大體已具備了歐洲十六、七世紀產(chǎn)生微積分所必要的條件，中算家早于西方接近了微積分的大門，為微積分的產(chǎn)生做出了巨大貢獻。（參見文獻[15]）</p><p>　　4.2 極限思想在文學和哲學方面的影響</p><p>　　數(shù)學是民族文化的一部分，我國古代數(shù)學家的極限思想必然要在愛哲學，文學等方面折射出來。莊子在《天下篇》中講：“一尺之

59、棰，日取其半，萬事不竭?！比绻堰@句話和求數(shù)列的極限聯(lián)系起來的話，無不為古人深邃的極限思想而折服。</p><p>　　荀子在《勸學篇》中說：“積土成山，風雨興焉；積水成淵，蛟龍生焉；積善成德，而神明自得，圣心備焉；不積跬步，無以至千里，不積小流，無以成江河?！惫湃擞眯蜗蟮谋扔髡f明學習知識的過程，如果我們單從比喻的本身，用來說明積分思想也是十分貼切的。 </p><p>　　老子在《道德

60、經(jīng)》中說：“合抱之木，生于毫末；九層之臺，起于累土；千里之行，始于足下。”比喻事情的成功是由小到大逐漸積累的。如果我們單從比喻的本身來說明定積分的微元法是再合適不過的了。</p><p>　　還有成語：日積月累，積少成多，積羽沉舟，集腋成裘，聚沙成塔——這里面都蘊涵著深刻的極限思想。（參見文獻[16]）</p><p>　　4.3 極限思想在古代的應用</p><p&

61、gt;　　極限思想和方法的運用，擴大了人們的思維空間，產(chǎn)生了許多重要的結(jié)論和經(jīng)典故事。</p><p><b>　　例題 一[17]</b></p><p>　　從前，有個農(nóng)人要將23個西瓜分給四個兒子，要求甲、乙、丙、丁所分份額的比是 錯誤!未找到引用源。: 錯誤!未找到引用源。: 錯誤!未找到引用源。: 錯誤!未找到引用源。，且不能切開任何一個西瓜，問怎樣才能分完

62、25個西瓜?</p><p>　　解 利用莊周的極限思想，第一次分甲得 錯誤!未找到引用源。個，乙得到 錯誤!未找到引用源。個，丙得到 錯誤!未找到引用源。個，丁得到 錯誤!未找到引用源。個，余下 錯誤!未找到引用源。個；第二次將余下的 錯誤!未找到引用源。個再按上述比例分給四人：甲得到 錯誤!未找到引用源。個，乙得到 錯誤!未找到引用源。個，丙得到 錯誤!未找到引用源。個，丁得到 錯誤!未找到引用源。個，余

63、下 錯誤!未找到引用源。個；第三次再將余下的 錯誤!未找到引用源。個按上述比例分給四人……一直進行下去，四個人分得個數(shù)分別為公比為 錯誤!未找到引用源。的等比數(shù)列，求其和</p><p>　　S甲= 錯誤!未找到引用源。個</p><p>　　S乙= 錯誤!未找到引用源。+ 錯誤!未找到引用源。個</p><p>　　S丙= 錯誤!未找到引用源。個</p>

64、;<p>　　S丁= 錯誤!未找到引用源。個</p><p>　　又8+6+4+5=23，且8:6:4:5=1/3:1/4:1/6:1/5</p><p><b>　　所以上述解法正確。</b></p><p><b>　　例題 二[18]</b></p><p>　　傳說很久很久以前

65、，有一位老人臨終前留下了41頭羊的遺產(chǎn)給他的3個兒子，遺囑中要求將遺產(chǎn)的二分之一分給老大，三分之一分給老二，七分之一分給老三。然后面對這41頭羊的遺產(chǎn)及遺囑，三兄弟卻犯難了：總不能將活羊宰殺后進行分割。正在三兄弟一籌莫展的時候，一位過路的老人給他們出了一個主意：將自己的1頭羊送給三兄弟進行分割。這樣，老大分得羊21頭，老二分得羊l4頭，老三分得羊6頭，都很滿意。最后，這位老爺爺又牽著他的那頭羊走了。</p><p&g

66、t;　　這就怪了!既然三兄弟都覺得“占了老爺爺?shù)谋阋恕?，然而老爺爺居然又沒有“吃虧”，問題出現(xiàn)在哪里呢? </p><p>　　我們仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)遺囑中有問題： 錯誤!未找到引用源。。按照常理，三兄弟所占比例之和等于1才對。這正是三兄弟不能自行分割遺產(chǎn)的根源所在：他們落入了常規(guī)思維的俗套。事實上，正因為三個分數(shù)之和小于l，遺產(chǎn)的分割不能一次性的完成。那么，第一次分割下來，老大分得羊 錯誤!未找到引用源。頭，老二

67、分得羊 錯誤!未找到引用源。頭，老三分得羊 錯誤!未找到引用源。頭，還余下 錯誤!未找到引用源。頭羊。這仍然算是老人的遺產(chǎn)，按照遺囑依然要分割下去（常規(guī)思維是一次分割止）。二次分割下來，老大再得 錯誤!未找到引用源。頭羊，老二再得 錯誤!未找到引用源。頭羊，老三再得 錯誤!未找到引用源。頭羊，如此至無窮，當然上面這些都是理論上的數(shù)學，兄弟實際應得遺產(chǎn)數(shù)分別是公比為 錯誤!未找到引用源。，無窮遞減等比數(shù)列的各項和，即老大應得 錯誤!未找到

68、引用源。頭。老二應得14頭，老三應得6頭，老人按照極限思想早就合理地安排好的分割。也正是如此，老爺爺知道三兄弟可以自行分割遺產(chǎn)，卻又不便說明，便弄虛送給三兄弟一頭羊分割。</p><p>　　由此看出，我們只有善于觀察思考，就會發(fā)現(xiàn)原來我們身邊充滿了數(shù)學，我們仿佛置身在一個數(shù)學的海洋之中。</p><p><b>　　5 結(jié)論</b></p><

69、p>　　數(shù)學源遠流長，古代數(shù)學極限思想帶有明顯的創(chuàng)造性，對后世影響是巨大和深遠的，在整理和學習古代數(shù)學時我們不難發(fā)現(xiàn)：中國獨創(chuàng)的十進制小數(shù)與極限概念一脈相承，割圓術(shù)則是極限概念的實際應用，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”已蘊含著極限的基本思想?？梢钥隙ǖ卣f，極限思想的偉大發(fā)現(xiàn)，中國古代數(shù)學的思想發(fā)揮了重要作用。</p><p>　　微積分的產(chǎn)生一般分為三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關(guān)

70、系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學家一直追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻。對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學不能比擬的。公元前7世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限?。ㄗ钚o內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3 .14

71、16，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。</p><p>　　微積分思想雖然可追溯到古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀下半葉，開普勒、卡瓦列利等在求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學家沈括的 《夢溪筆談》獨創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和

72、的研究。</p><p>　　南宋大數(shù)學家秦九韶于1274年撰寫了劃時代巨著《數(shù)書九章》十八卷，創(chuàng)舉世聞名的“大衍求一術(shù)”——增乘開方法解任意次數(shù)字（高次）方程近似解，比西方早500多年。</p><p>　　特別是13世紀40年代到14世紀初，在主要領(lǐng)域都達到了中國古代數(shù)學的高峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負開方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”（一次

73、同余式組解法）、“垛積術(shù)”（高階等差級數(shù)求和）、 “招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）、“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法）、“四元術(shù)”（四元高次方程組解法）、勾股數(shù)學、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學、計算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學史上有重要地位的杰出成果，中國古代數(shù)學有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。中國已具備了17世紀發(fā)明微積分前夕的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門?？上е袊院螅斯扇∈恐圃斐闪藢W術(shù)上的大倒退，

74、封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學在內(nèi)的科學日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。</p><p>　　歷史已經(jīng)證明，而且將繼續(xù)證明，一種沒有相當發(fā)達的數(shù)學的文化是注定要衰落的，一個不掌握數(shù)學作為一種文化的民族也是注定要衰落的。沒有現(xiàn)代的數(shù)學就不會有現(xiàn)代的文化，沒有現(xiàn)代數(shù)學的文化是注定要衰落的。中國在14 世紀以前是世界數(shù)學強國，數(shù)典念祖，我們相信，有良好數(shù)學傳統(tǒng)的中國，一定可以成為21 世紀的數(shù)學強國

75、。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 吳文俊.九章算術(shù)與劉徽[M].北京:北京師范大學出版社,1982.</p><p>　　[2] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.</p><p>　　[3] Walter.Rudin. Prin

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