重積分的數(shù)值計算[文獻綜述]

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　信息與計算科學</b></p><p><b>　　重積分的數(shù)值計算 </b></p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　多重積分是定積分的一類

2、，它將定積分擴展到多元函數(shù)(多變量的函數(shù))，例如求f(x,y)或者f(x,y,z)類型的多元函數(shù)的積分.</p><p>　　設f(x,y)是定義在可求面積的有界閉區(qū)域D上的函數(shù)J是一個確定的數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某個正數(shù)，對于D的任何分割T，當它的細度<時，屬于T的所有積分和都有,則稱f(x,y)在D上可積，數(shù)J稱為函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分，記作</p><p><

3、;b>　　，</b></p><p>　　其中f(x,y)稱為二重積分的被積函數(shù)，x,y稱為積分變量，D稱為積分區(qū)域. [1]</p><p>　　定積分和不定積分是積分學中的兩大基本問題.求不定積分時求導數(shù)的逆運算，定積分則是某種特殊和式的極限[2].定積分的幾乎所有性質都可以推廣到重積分[3]. </p><p>　　重積分計算是數(shù)值計算方法中

4、的一個分支，數(shù)值計算方法又是數(shù)學的一個分支，它以數(shù)字計算機求解數(shù)學問題的方法與理論為研究對象，其內容包括：函數(shù)插值，數(shù)值微分和積分，線性方程組的解法等.科學計算是我們人類從事科學探索和研究時必不可少的手段.在計算機技術與計算機得到迅速發(fā)展的今天，我們有了快速數(shù)字電子計算機的工具，科學計算被推向科學活動的前沿，上升為一種重要的科學.</p><p>　　將科學技術中的實際問題轉化為數(shù)學問題，即根據(jù)相關科學理論，建立

5、數(shù)學模型，然后求解，這是進行科學計算的前提或先決條件.實際上，許多數(shù)學問題是沒有辦法求出其精確解的.因此，只好通過數(shù)值計算方法求其近似值.重積分是數(shù)值計算方法里重要的一個部分，應用極為廣泛，無論是日常工農業(yè)生產(chǎn)還是國防尖端科學技術的研究，如，大、中型機電產(chǎn)品的優(yōu)化設計、重大工程項目的設計、地質勘探與油田開發(fā)、氣象預報與地震預測、新型尖端武器的研制和航天與航空的發(fā)展等都離不開它，近年來還被應用到醫(yī)學、生物學及經(jīng)濟管理、金融和社會學等領域.

6、 [4]</p><p><b>　　主題部分</b></p><p>　　2.1 梯形求積公式及其復合公式</p><p>　　2.1.1 梯形求積公式</p><p>　　當我們需要計算函數(shù)在平面的某個區(qū)域上的定積分時候，必須要計算多重積分.在初等微積分中已經(jīng)學過，2重積分可以化成累次積分計算.于是我們有<

7、/p><p>　　, (2.1.1)</p><p>　　在式(2.1.1)中，積分區(qū)域是由下面的直線圍成的矩形區(qū)域</p><p><b>　　.</b></p><p>　　事實上，積分區(qū)域不必是矩形的，累次積分分限也不必是常數(shù)，但是我們把這種情況放到后面來討論.在累次積分過程中，當對積分時設是常數(shù).<

8、;/p><p>　　當求積節(jié)點取為等距節(jié)點</p><p>　　(k=0,1,…,n,h=(b-a)/n) (2.1.2)</p><p>　　時，記x=a+th,則得求積系數(shù)</p><p>　　= (2.1.3)</p><p>　　求積節(jié)點為等距節(jié)點的求積公式， 稱為牛頓-科茨公

9、式.</p><p>　　在牛頓-科茨公式求積系數(shù)公式中，當n=1時有</p><p><b>　　(2.1.4)</b></p><p><b>　　(2.1.5)</b></p><p>　　將求積系數(shù)代入求積公式得到</p><p><b>　　(2.1.6)

10、</b></p><p>　　稱為梯形求積公式，它的余項是</p><p><b>　　(2.1.7)</b></p><p><b>　　設積分區(qū)域是矩形</b></p><p>　　, (2.1.8)</p><p>　　

11、它的每一邊平行于坐標軸，令</p><p>　　于是得到4個點.如果f在R內連續(xù)，則有</p><p><b>　　(2.1.9)</b></p><p>　　利用梯形公式計算內部積分</p><p>　　， (2.1.10)</p><p>　　對上式右邊再次應用梯形公式，可得&

12、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　(2.1.11)</b></p><p>　　這式(2.1.11)即梯形求積公式在重積分上的形式.</p><p>　　2.1.2 復合梯形求積公式</p><p>　　應用高階的Newton-Cotes型

13、求積公式計算積分會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定，低階公式(如梯形)又往往因為積分區(qū)間步長過大使得離散誤差大.然后，若積分區(qū)間愈小，則離散誤差小.因此，為了提高求積公式的精確度，可以把積分區(qū)間分成人若干個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上使用低階公式，然后將結果加起來.這種公式稱為復合求積公式.</p><p>　　由于在區(qū)間[a,b]上不變號，故由積分中值定理知，存在使得</p><p><b>　　(2

14、.1.12)</b></p><p>　　記h=(b-a)/m,在每個小區(qū)間上使用梯形求積公式，便得到</p><p>　　， (2.1.13)</p><p>　　稱之為復合梯形求積公式，它的余項為</p><p><b>　　(2.1.14)</b></p>

15、<p>　　其中.(2.1.10)的第2個等號的推導用到了介值定理.</p><p>　　把上面的矩形R的邊分別分為n等分和m等分，這樣便把R分為邊長為h和k的mn個小矩形.在每個小矩形上應用梯形求積公式得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　(2.1.15)</b></p

16、><p><b>　　其中.</b></p><p><b>　　上式可以改寫為</b></p><p>　　, (2.1.16)</p><p>　　其中是下面矩陣的相應元素，</p><p>　　， (2.1

17、.17)</p><p>　　式(2.1.17)稱為復合梯形求積公式.</p><p>　　2.2.1 拋物線求積公式</p><p>　　梯形公式建立的基礎是用線性插值多項式逼近被積函數(shù).如果用2次或者3次插值多項</p><p>　　式那么逼近效果會更好.拋物線求積公式建立的基礎就是這種逼近.我們給出兩個公式：拋物線求積公式和復合拋物線

18、求積公式.拋物線求積公式也叫辛普森求積公式, 復合拋物線求積公式也叫復合辛普森求積公式.</p><p>　　我們用2次牛頓-格雷格里向前多項式推到拋物線求積公式，其中結點是均與分布的，相鄰兩點的距離是：</p><p><b>　　(2.2.1)</b></p><p>　　通過對多項式誤差的積分得到積分誤差：</p><

19、p>　　. (2.2.2)</p><p>　　拋物線求積公式需要將積分區(qū)間分成偶數(shù)個小的子區(qū)間.</p><p>　　設積分區(qū)域是矩形,分別用點，</p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　.</b></p>&l

20、t;p>　　劃分區(qū)間[a,A]和[b,B],其中.這樣得到9點,點的分布為,利用式(2.1.9)，并對內部積分用拋物線求積公式，有</p><p>　　. (2.2.3)</p><p>　　再對上式右邊的每個積分應用拋物線公式，有</p><p><b>　　(2.2.4)</b></p><p>　　此

21、公式稱作拋物線公式.[5]</p><p>　　2.2.2 復合拋物線求積公式</p><p>　　相似地，對被積函數(shù)的4個插值結點的3次牛頓-格雷戈里插值多項式及其插值誤差函數(shù)積分，我們能推導出復合拋物線求積公式：</p><p>　　. (2.2.5)</p><p><b>　　誤差=.</b>

22、;</p><p>　　如果子區(qū)間數(shù)能被3整除，則可以用復合拋物線求積公式.顯然復合拋物線求積公式的誤差比拋物線求積公式的大，這兩個公式的局部誤差都是.它們的整體誤差都是，原因同梯形求積分公式的情況.</p><p>　　既然復合拋物線求積公式的誤差大，為什么還要使用它呢？他的一個重要的應用是計算子區(qū)間的個數(shù)為奇數(shù)時的積分值.另外，對于奇數(shù)個子區(qū)間上的積分.在前3個或者后3個子區(qū)間應該用在

23、被積函數(shù)近似的直線區(qū)間上.[6]</p><p>　　在重積分上，設積分區(qū)域是矩形,把矩形R的每邊分別分成n等分和m等分,這就得到了nm個小矩形，再把每個小矩形等分為四部分，這樣就把R剖分成更小的矩形，并把這些矩形的頂點用作求積公式中的節(jié)點.[7]</p><p><b>　　令</b></p><p>　　,

24、 (2.2.6)</p><p><b>　　那么節(jié)點的坐標為</b></p><p><b>　　(2.2.7)</b></p><p>　　在第一次分R的nm個矩形上應用公式并記后，有</p><p>　　. (2.2.8)</p><

25、;p><b>　　改寫上式可以得到</b></p><p><b>　　(2.2.9)</b></p><p>　　其中系數(shù)是矩陣的相應的元素，定義為</p><p><b>　　(2.2.10)</b></p><p>　　2.3 Gauss型求積公式</p&g

26、t;<p>　　2.3.1 Gauss型求積公式</p><p>　　首先，不論求積節(jié)點如何選取，n+1點求積公式的代數(shù)精確度不能打到2n+2[8]. .事實上，對任意給定的節(jié)點和任意給定的求積系數(shù),取</p><p>　　, (2.3.1)</p><p>　　則f(x)是2n+2次多項式，用求積公式計算得&l

27、t;/p><p>　　， (2.3.2)</p><p><b>　　項式，而積分值</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　這說明對任意給定的n+1點求積公式，都可以找到一個2n+2次多項式，使得求積公式對該多項式的積分是不精確的.[

28、9]</p><p>　　其次，通過適當選擇插值結點和求積系數(shù)，可使求積公式的代數(shù)精確度達到2n+1，這是這個求積公式可能具有的最高的代數(shù)精確度.</p><p>　　考慮計算區(qū)間[-1,1]上的積分的兩點(n=1的情形)求積公式</p><p>　　, (2.3.3)</p><p>　　這時求積公式的代數(shù)精確度

29、不超過2n+1=3,將求積節(jié)點和求積系數(shù)作為4個待定參數(shù)，依次取被積函數(shù)f(x)為1，,代入求積公式，得到關于參數(shù),</p><p><b>　　的方程組</b></p><p><b>　　(2.3.4)</b></p><p>　　由此，可解出.這樣便得到求積公式，</p><p><b&

30、gt;　　(2.3.5)</b></p><p>　　上述方法是將求積節(jié)點和求積系數(shù)視為同等的參數(shù)進行求解.對一般的求積公式，也可以用此方法將求積節(jié)點和求積系數(shù)一并求出，從而得到具有最高代數(shù)精確度的求積公式，但由于此時的求積公式一定是插值型，只要求積節(jié)點確定下來，求積系數(shù)便可隨之確定.因此，確定求積節(jié)點就成為公式構造的關鍵.[10]</p><p>　　若[a,b]區(qū)間上一組節(jié)

31、點使得相應的求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，則稱此點組為Guass點組，相應的求積公式為高斯型求積公式.高斯點組可直接通過求解相應的方程組得到，也可借助正交多項式的零點來確定.</p><p>　　設區(qū)間[a,b]=[-1,1]，在[-1,1]上取權函數(shù)，那么相應的正交多項式為勒讓德多項式，</p><p><b>　　(2.3.6)</b></p>&

32、lt;p>　　設，那么高斯求積公式化為</p><p>　　， (2.3.7)</p><p>　　其中高斯點為勒讓德多項式的零點，求積公式(2.3.7)稱為高斯-勒讓德求積公式.公式(2.3.7)中求積系數(shù)</p><p>　　. (2.3.8)</p><p>　　由式(2.3

33、.7)得</p><p>　　， (2.3.9)</p><p>　　對2n-1次的代數(shù)多項式是精確成立的，定積分的高斯-勒讓德求積公式很容易推廣到重積分</p><p><b>　　(2.3.10)</b></p><p><b>　　的求積，求積公式</b&g

34、t;</p><p><b>　　(2.3.11)</b></p><p>　　對于二元函數(shù)精確成立.這式</p><p>　　(2.3.11)也稱為重積分的高斯型求積公式. [11]</p><p>　　2.3.2 另外幾種高斯型求積公式</p><p>　　在物理和力學中常常遇到一些帶有權函

35、數(shù)的廣義積分，對于這些積分使用其他求積公式會遇到困難.對于不同的權函數(shù)，便有不同的直交多項式，從而得到不同的具體高斯型求積公式.而針對權函數(shù)和積分區(qū)間，選擇適當?shù)墓?jié)點構造代數(shù)代數(shù)精確度最高的高斯型求積公式進行計算，通常是有效地.當然要構造高斯型求積公式，計算節(jié)點和求積系數(shù)是比較麻煩的.對于一些常用的特定的權函數(shù)，前人已算出他們的節(jié)點和求積系數(shù)表，計算這些積分時可以直接查表得到求積公式，[12]下面給出幾種常用的高斯型求積公式的節(jié)點和求積

36、系數(shù)表，并舉例說明如何使用這種方法.</p><p>　　1)Gauss-Laguerre求積公式</p><p><b>　　(2.3.12)</b></p><p>　　節(jié)點和求積系數(shù)如表1 Gauss-Laguerre求積公式的余項為</p><p>　　. (2.3.13)</p

37、><p>　　表1 Gauss-Laguerre求積公式節(jié)點和求積系數(shù)</p><p>　　例 應用Gauss-Laguerre求積公式計算</p><p><b>　　.</b></p><p>　　我們用3個節(jié)點(n=2)的公式計算：</p><p>　　2)Gauss-Hermite求積公式&

38、lt;/p><p><b>　　(2.3.14)</b></p><p>　　節(jié)點和求積系數(shù)如表2</p><p>　　表2 Gauss-Hermite求積公式節(jié)點和求積系數(shù)</p><p>　　Gauss-Hermite求積公式的余項為</p><p>　　. (2.3.15)</

39、p><p>　　例應用Gauss-Hermite求積公式計算積分</p><p>　　它的精確值是[13]</p><p>　　我們使用4個節(jié)點的Gauss-Hermite求積公式計算：</p><p>　　3)Gauss-Chebyshev求積公式</p><p><b>　　(2.3.16)</b>

40、;</p><p>　　這里權函數(shù)的1/，節(jié)點，求積系數(shù)求積公式的余項為</p><p>　　. (2.3.17)</p><p>　　一般的，高斯型求積公式的基點式無理數(shù)，并且不是等距的.幾點和求積系數(shù)需要查表，這就帶來不便，并且若需增加基點，原先計算得函數(shù)值對當前的計算沒有用處.但是，高斯求積公式具有較高的代數(shù)精確度，對于給定的誤差容限，所

41、需計算函數(shù)值的次數(shù)較其他許多求積公式少得多.并且，高斯型求積公式可以用來計算反常積分. [16]</p><p>　　2.4 累次積分法</p><p>　　設f(x,y)在D=[a,b]*[c,d]上可積.</p><p>　　如果對每個在[a,b]上可積，則在[c,d]上可積，</p><p><b>　　并有 </b&

42、gt;</p><p>　　. (2.4.1)</p><p>　　2．如果對每個在[c,d]上可積，則在[a,b]上可積，并有</p><p>　　. (2.4.2)</p><p>　　證明：設任給>0，存在>0，只要分割T的寬度<，對任，就都有</p>&l

43、t;p>　　, (2.4.3)</p><p>　　任取，并取,于是(2.4.3)可以寫成</p><p>　　. (2.4.4)</p><p>　　對于給定的,是在[a,b]上的Riemann和，故有</p><p>　　. (2.4.5)<

44、/p><p>　　由(2.4.3)可知，只要，就有</p><p>　　. [15] (2.4.6)</p><p>　　由此可知在[c,d]上可積，并有</p><p>　　. (2.4.7)</p><p><b>　　三、總結部分<

45、/b></p><p>　　重積分的數(shù)值計算是許多科學與工程計算的核心.重積分的出現(xiàn)和發(fā)展，提高了求解定積分的效率. 本文主要介紹了多重積分的基本思想，以及四種經(jīng)典解重積分的方法——梯形法及其復合法、拋物線法及其復合法、高斯方法和累次法，重點介紹了前2者的深度解析.相比較傳統(tǒng)定積分解法,求解高斯及其推廣而出的多種方法顯示出與眾不同的有效性.由于編程簡單且存儲量小，相信隨著理論分析和研究的日益深入，重積分的理

46、論將更加完善，也將為我們提供產(chǎn)生更有效的解重積分的新思路,各種解法在應用上的發(fā)展也將日趨進步.</p><p><b>　　四、參考文獻</b></p><p>　　[1] 黃明游，劉播，徐濤.數(shù)值計算方法[M] .北京：科學出版社,2005.8:93-128.</p><p>　　[2] 林成森.數(shù)值計算方法(上)[M].北京：科學出版社,2

47、004.5:196-256.</p><p>　　[3] 蕭樹鐵.多元微機分及其應用[M].北京:高等教育出版社,2000.5 :121.</p><p>　　[4] 謝盛剛，李娟，陳秋桂.微機分(下)[M]. 北京：科學出版社,2005.1:110-111.</p><p>　　[5] Richard L.Burden, J.Douglas Faires. Num

48、erical Analysis[M].( 7th edition) 英文影印版. 北京：高等教育出版社,2003.4:241-281.</p><p>　　[6] Curtis F.Gerald, Patrick O.Wheatley. Applied Numerical Analysis[M]. 白峰杉 改編. ( 7th edition) 英文影印版.北京：高等教育出版社,2006.1.210-420.<

49、;/p><p>　　[7] 顏慶津.數(shù)值分析[M].北京：北京航空航天大學出版社,2006.7:149-177.</p><p>　　[8] 費業(yè)泰.誤差理論與數(shù)據(jù)處理[M].第4版.北京：機械工業(yè)出版社,2005:1～9.</p><p>　　[9] 馮有錢，王國正，李炳杰，郭羅斌.數(shù)值分析[M].北京：清華大學出版社,北京：北京交通大學出版社,2005.3:92-1

50、10,161-188.</p><p>　　[10] 劉緒軍.幾種求積公式計算精確度的比較[J].南寧職業(yè)技術學院報,2009,14(6):95-97.</p><p>　　[11] 林承初.二重積分的計算方法與技巧[J].廣西財經(jīng)學院學報,2006，19(增刊):336—338．</p><p>　　[12] 許必才，石廣洲．重積分的原函數(shù)法[J]．成都大學學報(

51、教育科學版) ,2008，22(3):125—126．</p><p>　　[13] 現(xiàn)代應用數(shù)學手冊編委會.現(xiàn)代應用數(shù)學手冊——計算與數(shù)值分析卷[M].北京:清華大學出版社,2005.1:320-425</p><p>　　[14] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M]．北京：高等教育出版社,2001:214—215． </p><p>　　[15] 陳志華．重心