有關(guān)frenet公式的探討【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　有關(guān)Frenet公式的探討</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p&g

3、t;<p>　　Frenet公式是空間曲線論的基本公式, 在經(jīng)典微分幾何中占有十分重要的地位. 本文討論了歐氏空間中曲線與曲面的Frenet公式以及Frenet公式在曲線論中的應(yīng)用. 其次, 鑒于經(jīng)典Frenet公式受到弧長參數(shù)的制約, 難以應(yīng)用于弧長發(fā)生變化的諸多變形問題, 故本文推導(dǎo)了任意參數(shù)形式下正則曲線的Frenet公式. 結(jié)果表明, 新公式是經(jīng)典Frenet公式在任意參數(shù)形式下的拓展, 可極大簡化變形問題的求解過

4、程. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 曲線; 曲面; Frenet公式; 弧長參數(shù); 任意參數(shù)</p><p>　　The exploring of Frenet formula</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Frenet Fomula is a primary formula

5、 in curve theories and plays a very important role in classical differential geometry. At first, this paper studies in the Frenet formula of Euclidean space curve and surface and Frenet formula in curve theory of applica

6、tion. However it is hard for classical Frenet formula to be applied for the deformation problems involve with arc-length changes due to its arc-length parameter. This paper deduces a Frenet formula of regular curves in f

7、orm of arbitrary parameter</p><p>　　Keywords: Curve; Surface; Frenet formula; Arc-length parameter; Arbitrary parameter</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b&g

8、t;</p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 自然參數(shù)下的Frenet公式2</p><p>　　2.1 曲線的概念2</p><p>　　2.2 曲線的自然參數(shù)2</p><p>　　

9、2.3 空間曲線的曲率, 撓率和Frenet公式3</p><p>　　2.4 空間曲線論的基本定理6</p><p>　　2.5 自然參數(shù)下的Frenet公式的應(yīng)用6</p><p>　　3 任意參數(shù)下的Frenet公式8</p><p>　　3.1 的計算8</p><p>　　3.2 的計算

10、9</p><p>　　3.3 的計算10</p><p>　　3.4 任意參數(shù)下的Frenet公式10</p><p>　　4 曲面論中的Frenet公式11</p><p>　　4.1 曲面的概念11</p><p>　　4.2 幾類特殊的曲面13</p><p><

11、;b>　　5 小結(jié)18</b></p><p><b>　　參考文獻19</b></p><p><b>　　致 謝20</b></p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　曲線與曲面是微分幾何中最基本的討論對象, 平面曲線在一點

12、的曲率與空間的曲線在一點的曲率等是微分幾何中重要的討論內(nèi)容, 也是微分幾何曲線理論形成的主要出發(fā)點. 在微分幾何領(lǐng)域, 曲線與曲面作為主要研究對象, 有著極其廣泛的應(yīng)用. </p><p>　　在三維歐氏空間中, 曲線與曲面的幾何理論以及曲面的內(nèi)蘊幾何歷史悠久, 內(nèi)容豐富, 對它的研究始于微積分在幾何的應(yīng)用. 在微積分發(fā)明的同時, 人們就開始了平面曲線微分幾何的研究, 而第一個作出重要貢獻的是Euler（1707

13、~1783）. 他在1736年引進了平面曲線的內(nèi)在坐標, 也就是曲線弧長這一概念, 從而開始了內(nèi)在幾何的研究. 此外, Euler將曲率描述為某一特殊角的變化率. 特別是他在測地線方面的一些研究, 最早將測地線描述為某些微分方程組的解, 在曲面論方面起著舉足輕重的作用. </p><p>　　到17世紀末, 關(guān)于平面曲線的研究已獲得許多可喜的成果. Monge對微分幾何的早期發(fā)展做出了重要的貢獻. 此外, Gau

14、ss關(guān)于曲面的理論建立了基于曲面第一基本形式的幾何, 并把歐氏幾何推廣到曲面上彎曲的“幾何”, 使得微分幾何真正成為一個獨立的學科. </p><p>　　18世紀, 空間曲線與曲面的理論得到了主要發(fā)展. F. Frenet與Joseph Serret分別在1847, 1851年各自獨立導(dǎo)出了Frenet-Serret方程, 使得空間曲線論得到最終統(tǒng)一, 也就是我們今天熟知的Frenet公式. 1854年, Ri

15、emann在著名的演講上把Gauss的理論推廣到高維的空間, Riemann幾何就此誕生; Riemann的思想引起了許多工作者來處理與發(fā)展他的新幾何, 經(jīng)過Christofell, Beltrami以及隨后的Bianchi, Ricci與Levi Civita等人的努力, 歐氏空間中的曲線與曲面的幾何理論在19世紀末蓬勃發(fā)展起來. </p><p>　　經(jīng)典微分幾何的理論和方法作為一個基礎(chǔ)數(shù)學工具, 在現(xiàn)代科學

16、技術(shù)的眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用. Frenet公式是微分幾何空間曲線論的基本公式, 由它可以導(dǎo)出曲線的諸多重要性質(zhì)與定理, 是研究空間曲線論的基礎(chǔ), 在經(jīng)典微分幾何中占有十分重要的地位. 至今, 國內(nèi)外許多學者已對其進行了深入研究[1-4]. 本文討論了歐氏空間中的曲線與曲面及Frenet公式在曲線論中的應(yīng)用, 并鑒于經(jīng)典的Frenet公式基于弧長參數(shù), 無法直接應(yīng)用于非弧長參數(shù)的應(yīng)用工程, 以致于一些應(yīng)用理論不得不舍棄經(jīng)典Frenet公

17、式而采用形式復(fù)雜且計算量大的標架公式[5-8], 我們將在本文中導(dǎo)出任意參數(shù)下正則曲線的Frenet公式. </p><p>　　2 自然參數(shù)下的Frenet公式</p><p>　　2.1 曲線的概念</p><p>　　如果一個開的直線段到三維歐氏空間內(nèi)建立的對應(yīng)是一一的, 雙方連續(xù)的在上映射（這種映射稱為拓撲映射或同胚）, 則我們把三維歐氏空間中的映射的像稱

18、為簡單曲線段. 例如開的直線映射到開圓弧（即圓周的一部分）, 這種映射是一一的, 雙方連續(xù)的在上映射, 因此開圓弧是簡單的曲線段. </p><p>　　根據(jù)上述曲線的概念, 可以確立曲線的方程. 在直線段上引入坐標, , 在空間中引入笛卡爾直角坐標系, 則上述映射的解析表達式</p><p>　　. （2.1）</p><p>

19、　　習慣上, 經(jīng)常把（2.1）中的函數(shù)關(guān)系符號, , 分別寫成, , 這樣, （2.1）可寫為</p><p>　　, （2.2）</p><p>　?。?.2）稱為曲線的參數(shù)表示或參數(shù)方程, 稱為曲線的參數(shù). </p><p>　　由于向量函數(shù)可表示為</p><p><b>　　,</b

20、></p><p>　　因而曲線的參數(shù)方程（2.2）也可以寫成向量函數(shù)的形式</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中的函數(shù)是階連續(xù)可微的函數(shù), 則把這曲線稱為類曲線. 當時, 也就是類的曲線稱為光滑曲線. </p><p>　　2.2 曲線的自然參數(shù)</p><p&g

21、t;<b>　　定義一新函數(shù), 使</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　其中, 表示為積分上限的函數(shù). 從（2.3）中可以推出</p><p><b>　　.</b></

22、p><p>　　所以, 函數(shù)是的單調(diào)遞增函數(shù). 因此函數(shù)的反函數(shù)存在, 設(shè)此反函數(shù)為, 把它代入曲線的方程中得到以為參數(shù)的曲線方程, 即</p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　把稱為曲線的自然參數(shù), （2.4）就是曲線的自然參數(shù)表示式. </p><p>　　2.3 空間曲線的曲率, 撓率和F

23、renet公式</p><p>　　給出類空間曲線（）和（）上一點. 設(shè)曲線（）的自然參數(shù)表示是, 其中是自然參數(shù), 則</p><p>　　是一單位向量. 稱為曲線（）上點的單位切向量. </p><p>　　由于, 我們知道“向量函數(shù)具有固定長的充要條件是對于的每一個值, 都與垂直”, 由此可得, 即. </p><p><b>

24、;　　在上取單位向量</b></p><p>　　, （2.5）</p><p>　　稱為曲線（）上點的主法向量. </p><p>　　再作單位向量, 稱為曲線（）上點的副法向量. </p><p>　　我們把兩兩正交的單位向量, , 稱為曲線上點的伏雷內(nèi)（Frenet）標架

25、. </p><p>　　設(shè)空間中類曲線（）的方程為. 曲線（）上一點, 其自然參數(shù)為, 另一鄰近點, 其自然參數(shù)為. 在, 兩點各作曲線（）的單位切向量和. 兩個切向量間的夾角是, 也就是把點的切向量平移到點后, 兩個向量和的夾角是. </p><p>　　我們用空間曲線在點處的切向量對弧長的旋轉(zhuǎn)速度來定義曲線在點的曲率. </p><p>　　定義 2.1 空

26、間曲線（）在點的曲率為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中為點及其鄰近點間的弧長, 為曲線在點和的切向量的夾角. </p><p>　　我們知道“一個單位變向量（即）的微商的模的幾何意義是對于的旋轉(zhuǎn)速度”, 于是, 把它應(yīng)用到空間曲線（）的切向量上去, 則有. 由于, 所以曲率也可表示為. </p>

27、<p>　　根據(jù)（2.5）和曲率的定義, 則有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　. （2.6）</p><p>　　對求微商, 有, 因而. </p>

28、<p>　　又因為是單位向量, 所以. </p><p>　　由以上兩個關(guān)系可以推出</p><p>　　. （2.7）</p><p>　　定義 2.2 曲線（）在點的撓率為</p><p>　　撓率的絕對值是曲線的副法向量（或密切平面）對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度. </

29、p><p>　　根據(jù)（2.7）及撓率的定義有</p><p>　　. （2.8）</p><p>　　對求微商, 并利用（2.6）和（2.8）, 可以推導(dǎo)出</p><p><b>　　（2.9）</b></p><p>　　公式（2.6）, （2.

30、8）, （2.9）稱為空間曲線的伏雷內(nèi)（Frenet）公式, 即</p><p><b>　　其矩陣形式為</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中, 為曲線（）在點的曲率和撓率. </p><p>　　空間曲線的微分幾何性質(zhì)幾乎都可以在此公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來. 故F

31、renet公式也稱為空間曲線論的基本公式. </p><p>　　稱為曲線（）在點的活動標形, 或稱為Frenet標形. 曲線（）在點的瞬時旋轉(zhuǎn)向量（或Darboux向量）為</p><p>　　, （2.10）</p><p>　　此向量位于曲線（）在點的從切面上, 且曲線（）在點的曲率和撓率是Frenet標形分別

32、繞副法線和切線的轉(zhuǎn)動分量. </p><p>　　由（2.10）式即得Frenet公式的另一種表示形式</p><p>　　, （2.11）</p><p>　?。?.11）式表示曲線（）在點的Frenet公式的運動學意義. </p><p>　　2.4 空間曲線論基本定理</p&

33、gt;<p>　　給出閉區(qū)間上的兩個連續(xù)函數(shù), , 則除了空間的位置差別外, 惟一地存在一條空間曲線, 使得參數(shù)是曲線的自然參數(shù), 并且和分別為曲線的曲率和撓率, 即曲線的自然方程為, . </p><p>　　為了確定曲線的位置, 設(shè)時, 曲線對應(yīng)空間點（即）, 并且在該點的基本向量為給定的兩兩正交的右手系的單位向量, , . </p><p>　　2.5 自然參數(shù)下的F

34、renet公式的應(yīng)用</p><p>　　例 2.1 如果曲線的所有切線都過一定點, 則該曲線必為直線. </p><p>　　證明 （I）曲線的所有切線都過一定點該曲線必為直線.</p><p><b>　　設(shè)曲線（）, 有</b></p><p><b>　　.</b></p>

35、<p>　　設(shè)為固定點, 則有. 方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因為與共線, 故. 所以, 該曲線必為直線. </p>&

36、lt;p>　?。↖I）設(shè)曲線（）, , </p><p><b>　　兩邊對求導(dǎo), 得</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　由, 得</b></p><p><b>　　.</b></p><

37、;p>　　因為, 線性無關(guān), 故</p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以. 因此, 該曲線必為直線. </p><p>　　例 2.2 若曲線的所有法平面過非零向量, 則必為直線或平面曲線. </p><p>　　證明 （I）記非0向量為, . 有, </p><p

38、>　　兩邊對求導(dǎo), , 有. </p><p>　?。╥）, 為直線; </p><p>　?。╥i）, 兩邊求導(dǎo)得</p><p><b>　　,</b></p><p>　　則, 又由, , 可得, , 所以為平面曲線. </p><p>　?。↖I）記非向量為, , , </p&

39、gt;<p><b>　　兩邊對求導(dǎo)得</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以, , 線性無關(guān), 故</p>&l

40、t;p><b>　　.</b></p><p>　?。╥）, 為直線; </p><p>　　（ii）則, 故. 所以為平面曲線. </p><p>　　3 任意參數(shù)下的Frenet公式</p><p>　　設(shè)曲線的參數(shù)表達式為, 其中為任意參數(shù), 且. 記, , 分別為曲線在參數(shù)值的點處的單位切向量, 單位主法向

41、量和單位副法向量, 它們兩兩正交, 且構(gòu)成右手系（后稱TNB標架）. 在下面的推導(dǎo)過程中, 設(shè), , 是關(guān)于參數(shù)的標量函數(shù), 采用了任意參數(shù)形式下曲線的曲率和撓率計算式</p><p>　　, （3.1）</p><p>　　. （3.2）</p><p><b&g

42、t;　　3.1 的計算</b></p><p>　　由, , 的定義, 可以得到</p><p>　　, （3.3）</p><p>　　將上式兩邊同時叉乘得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由于, 因此, 即, 令<

43、/p><p>　　, （3.4）</p><p>　　因此, 由（3.3）, （3.4）得</p><p>　　. （3.5）</p><p>　　又由（3.1）及的定義, 得到, 代入上式得</p><p>　　,

44、 （3.6）</p><p>　　將（3.6）代入（3.4）式得</p><p>　　. （3.7）</p><p><b>　　3.2 的計算</b></p><p>　　對兩邊關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)得</p><p>　　, （3.8）<

45、;/p><p>　　上式兩邊點乘并由式（3.2）, （3.5）, （3.6）得</p><p>　　. （3.9）</p><p>　　已知, 易得, , 且由得到, 可知, 均位于平面內(nèi), 由式（3.8）得因此, 可知, 令</p><p>　　,

46、 （3.10）</p><p>　　, （3.11）</p><p>　　由式（3.9）, （3.10）, （3.11）得</p><p>　　, （3.12）</p><p>　　由式, 的定義, 以及叉乘公式得</p>

47、<p><b>　　, </b></p><p>　　上式兩端點乘, , </p><p>　　由上式和（3.1）, （3.11）式得</p><p><b>　　,</b></p><p>　　由上式和（3.12）式得</p><p><b>　　,&l

48、t;/b></p><p>　　因此, 代入（3.10）式得</p><p>　　. （3.13）</p><p><b>　　3.3 的計算</b></p><p>　　將兩邊關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)得</p><p><b>　　. （3.14）</b

49、></p><p>　　3.4 任意參數(shù)形式下的Frenet公式</p><p>　　將（3.7）, （3.13）, （3.14）寫成矩陣的形式得到</p><p><b>　　,</b></p><p>　　此即任意參數(shù)形式下的Frenet公式. </p><p>　　不難看出, 它與經(jīng)

50、典弧長參數(shù)形式下的Frenet標架在形式上非常接近, 特別地當參數(shù)取作弧長參數(shù)時, 由于, 上式變?yōu)?lt;/p><p><b>　　,</b></p><p>　　此即經(jīng)典微分幾何的Frenet標架. </p><p>　　4 曲面論中的Frenet公式</p><p>　　4.1 曲面的概念</p>&l

51、t;p>　　平面上不自交的閉曲線稱為若爾當（Jordan）曲線. 若爾當曲線分平面為兩部分, 并且每一部分都以此曲線為邊界, 他們中間一個是有限的, 另一個是無限的, 其中有限的區(qū)域稱為初等區(qū)域. 換言之, 初等區(qū)域是若而當曲線的內(nèi)部. </p><p>　　如果平面上的初等區(qū)域到三維歐氏空間內(nèi)建立的對應(yīng)是一一的, 雙方連續(xù)的在上映射, 則我們把三維歐氏空間中的像稱為簡單曲面. </p>&l

52、t;p>　　給出平面上一初等區(qū)域, 中的點的笛卡爾坐標是, 經(jīng)過上述映射后的像是曲面. 對于空間的笛卡爾坐標系來說, 上的點的坐標是, 這樣可以具體寫出的解析表達式 </p><p><b>　?。?.1）</b></p><p>　　（4.1）稱為曲面的參數(shù)表示或參數(shù)方程, 和稱為曲面的參數(shù)或曲紋坐標. </p><p>　　給出曲面上

53、的曲線（）</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　對于曲線（）有</b></p><p><b>　　或者</b></p><p>　　若以表示曲面上曲線的弧長,

54、 則</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　則有</b></p><p>　　, （4.2）</p><p>　　這個二次形式可以決定曲面上曲線的弧長

55、. 設(shè)曲線（C）上兩點, , 則弧長為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　（4.2）是關(guān)于微分, 的一個二次形式, 稱為曲面的第一基本形式. 用表示</p><p>　　它的系數(shù), , 稱為曲面的第一類基本量. 曲面的第一基本形式在曲面論中占有非常重要的地位. </p><p>　　在曲面上考慮

56、點P處的切平面與曲面的差異. 任取鄰近一點, 則點到切平面的有向距離為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　而由泰勒展開式, 可得</p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　,</b></p><p>&

57、lt;b>　　故又有</b></p><p><b>　　其中. </b></p><p><b>　　圖4.1 曲面圖</b></p><p>　　定義 4.1 對正則曲面, 稱二次微分式</p><p>　　為曲面的第二基本形式, 其系數(shù), , 也稱為曲面的第二基本量, 稱

58、矩陣為曲面在參數(shù)下的第二基本形式系數(shù)矩陣, 其行列式稱為曲面在參數(shù)下的第二基本形式系數(shù)行列式. </p><p>　　定義 4.2 曲面的第三基本形式為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　換言之, 曲面的球面表示的第一基本形式叫做原曲面的第三基本形式. </p><p><b>　　

59、由于</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以, , , , , , 叫做曲面的第三基本量. </p><p>　　4.2 幾類特殊的曲面</p><p><b>　　1. 直紋面</b></p><p>　　如果曲面上有一族單

60、參數(shù)直線（隨著一個參數(shù)變化的一族直線）, 而的每一點都在這族直線上, 則稱為直紋面. 這族直線中的每一條直線都稱為直母線. </p><p>　　例 4.1 曲面上曲線為曲率線沿的法線構(gòu)成的曲面可展. </p><p>　　證明 （1）曲面上曲線為曲率線沿的法線構(gòu)成的曲面可展. </p><p>　　設(shè), 記為沿的法線構(gòu)成的曲面, </p><

61、;p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以可展. </b></p><p>　　（2）曲面上曲線為曲率線沿的法線構(gòu)成的曲面可展. </p>

62、<p>　　因為可展, 所以, 存在, , , 不全為零, 使得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　兩邊點乘, 得, 由, , 故, 所以存在不同時為的, , 使得, , 不妨設(shè)不為則. </p><p><b&g

63、t;　　2. 全臍點曲面</b></p><p>　　定義 4.3 若曲面在點處的兩個主曲率相等, 則稱點為曲面上的一個臍點. 若曲面處處為臍點, 則稱曲面為全臍曲面. 若臍點處的主曲率為零, 則稱之為平點; 若臍點處的主曲率不為零, 則稱之為圓點. </p><p>　　例 4.2 曲面是全臍點曲面, 當且僅當曲面是平面或球面. </p><p>

64、;　　證明 （1）曲面是全臍點曲面曲面是平面或球面. </p><p>　　對平面, 因法向量為常向量, 有, 于是平面為全臍點曲面.</p><p>　　對半徑為, 中心的徑矢為的球面, 其單位法矢量, 有</p><p><b>　　,</b></p><p>　　于是球面為全臍點曲面. </p>&

65、lt;p>　?。?）曲面是全臍點曲面曲面是平面或球面.</p><p>　　曲面為全臍點曲面, 故有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b

66、>　　有則, 即</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　又由</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　得, 因此有. </b></p><p&g

67、t;<b>　　由</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　得</b></p><p>　　, （4.3）</p><p>　　對（4.3）, 關(guān)于求導(dǎo)得, 又</p>

68、<p><b>　　,</b></p><p><b>　　得</b></p><p>　　, （4.4）</p><p>　　對（4.4）, 關(guān)于求導(dǎo)得</p><p><b>　　,</b></p>

69、<p>　　故可得. 由于, 線性無關(guān), 因此, . 可得一定為常數(shù). </p><p>　?。↖）, 由（4.3）, （4.4）得常向量, 故此時曲面為平面. </p><p>　?。↖I）, 由（4.3）, （4.4）得為常向量, 并記為, 則</p><p><b>　　,</b></p><p>　

70、　此時曲面為以為球心, 為半徑的球面. </p><p><b>　　3.極小曲面</b></p><p>　　定義 4.4 一個曲面如果它每一點處的平均曲率為零, 即</p><p><b>　　,</b></p><p>　　則稱之為極小曲面. </p><p>　　定

71、理 4.1 對于過空間光滑閉曲線（）的曲面來說, 如果（）所包圍的曲面面積最小, 則曲面的平均曲率恒等于零. 換言之, 極小曲面的平均曲率為零. </p><p>　　例 4.3 證明Ennepe曲面是極小曲面, 其中. </p><p><b>　　證明 由題, </b></p><p><b>　　,</b>&l

72、t;/p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p&

73、gt;<p><b>　　, , ,</b></p><p><b>　　, , .</b></p><p>　　由于, 從而參數(shù)曲線網(wǎng)稱為曲率線網(wǎng), 兩個主曲率之和為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　故, 即Ennepe曲面是極小曲面

74、. </p><p>　　例 4.4 懸鏈面是極小曲面, 這里, 都是正常數(shù), 而且, . </p><p><b>　　證明 , , </b></p><p><b>　　, , ,</b></p><p>　　由于, 從而參數(shù)曲線網(wǎng)稱為曲率線網(wǎng), 兩個主曲率之和為</p>&

75、lt;p><b>　　,</b></p><p>　　故, 即懸鏈面是極小曲面. </p><p><b>　　5 小結(jié)</b></p><p>　　本文主要研究了空間曲線中的Frenet公式. 它在經(jīng)典微分幾何中有著十分重要的地位, 由它我們可以導(dǎo)出曲線的許多重要性質(zhì)與定理, 而且它還廣泛應(yīng)用到許多自然科學和日常生

76、活中, 同時刻劃曲線的彎曲程度是描述和解決問題的需要. 另外, 在本文中我們導(dǎo)出了任意參數(shù)下正則曲線的Frenet公式表達式, 解決了經(jīng)典的Frenet公式無法直接應(yīng)用于非弧長參數(shù)的應(yīng)用工程的問題, 避免了一些應(yīng)用理論不得不舍棄經(jīng)典Frenet公式而采用形式復(fù)雜且計算量大的標架公式的情況, 從而方便了研究. </p><p><b>　　參考文獻</b></p><p&g

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