畢業(yè)論文-混沌振子的強(qiáng)噪聲背景下的正弦信號(hào)檢測(cè)

1、<p>　　基于混沌振子的強(qiáng)噪聲背景下正弦信號(hào)的檢測(cè)</p><p>　　摘 要 信息飛速發(fā)展的今天，用儀器檢測(cè)強(qiáng)噪聲背景下的信號(hào)技術(shù)日益成熟，但是其設(shè)備較昂貴且運(yùn)用復(fù)雜，但利用混沌振子來檢測(cè)信號(hào)，則大大減輕了成本，且有效的檢測(cè)出信號(hào)，使之有更好的前途。將混沌理論用于信號(hào)檢測(cè)，原因有三個(gè)：一方面利用簡(jiǎn)單的混沌信號(hào)測(cè)量系統(tǒng)，來實(shí)現(xiàn)高精度的測(cè)量；另一方面就是利用混沌系統(tǒng)的初值敏感性和對(duì)噪聲抑制性這兩個(gè)性質(zhì)

2、可以用來從強(qiáng)噪聲背景下檢測(cè)出有用信號(hào)，再者，寬頻帶的波譜范圍極有限的振幅意味著混沌信號(hào)能用于隨機(jī)激勵(lì)來測(cè)量線形系統(tǒng)的頻率。這是一門現(xiàn)代信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)綜合技術(shù)和尖端技術(shù),也是重要研究方向。 做為非線性科學(xué)的一個(gè)主要分支,混沌理論的興起和發(fā)展為信號(hào)檢測(cè)提供了有效的檢測(cè)方法和思路。本文研究的題目是基于混沌振子的強(qiáng)噪聲背景下的正弦信號(hào)檢測(cè)。</p><p>　　關(guān)鍵字 混沌振子 Chaotic oscillato

3、r 強(qiáng)噪聲背景 Strong noise background 正弦信號(hào)檢測(cè)</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　With the rapid development of information today，Use instrument testing strong noise background signal tec

4、hnology matures，But the equipment is expensive and use complex，But the use of chaotic oscillator to detect the signal，It is greatly reduced cost，And effective detection signalto have a better future. Chaos theory is used

5、 for signal detection, for three reasons: on the one hand to use simple chaotic signal measurement system, to achieve high precision measurement; On the other hand is to use c</p><p>　　Key Words Chaotic os

6、cillator Strong noise background Sine signal detection</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘 要1</b></p><p><b>　　1緒論3</b></p><p>　　

7、1.1本論文課題來源背景及意義3</p><p>　　1.1.1課題背景3</p><p>　　1.1.2課題意義4</p><p>　　1.2 混沌振子在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用于發(fā)展5</p><p>　　1.3 本論文的主要內(nèi)容5</p><p>　　1.4 本論文的結(jié)構(gòu)安排5</p>&l

8、t;p>　　2.混沌理論的發(fā)展概況及微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)5</p><p>　　2.1混沌理論的發(fā)展概況5</p><p>　　2.2微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)7</p><p>　　4.Duffing方程的特性9</p><p>　　5.混沌振子在強(qiáng)噪聲背景下正弦波的檢測(cè)10</p><p>　　5.1 Duffi

9、ng混沌系統(tǒng)的微弱信號(hào)的幅值檢測(cè)原理11</p><p>　　5.1.1 Dutting振子幅值檢測(cè)原理11</p><p>　　5.2.色噪聲背景下正弦信號(hào)的混沌檢測(cè)12</p><p>　　5.3 課題仿真14</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)16</b></p><p><

10、;b>　　1緒論</b></p><p>　　本論文課題來源背景及意義</p><p><b>　　1.1.1課題背景</b></p><p>　　當(dāng)今信息化時(shí)代，微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)是一門新興的學(xué)科,主要研究強(qiáng)噪聲背景下的微弱信號(hào)檢測(cè)的原理與方法,微弱信號(hào)廣泛存在于很多領(lǐng)域中,如機(jī)電系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)、雷達(dá)信號(hào)識(shí)別、醫(yī)學(xué)信號(hào)處理等,微

11、弱信號(hào)的檢測(cè)也成為這些領(lǐng)域首要解決的問題。本課題研究方向?yàn)榛煦缯褡拥膹?qiáng)噪聲背景下的正弦信號(hào)檢測(cè)。</p><p>　　微弱信號(hào)檢測(cè)的目的是把微弱信號(hào)從噪聲中檢測(cè)和提取出來,是一門綜合技術(shù)和尖端技術(shù),是現(xiàn)代信號(hào)檢測(cè)處理領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向。 做為非線性科學(xué)的一個(gè)主要分支,混沌理論的興起和發(fā)展為微弱信號(hào)檢測(cè)提供了新的檢測(cè)方法和思路?；煦缯褡拥膹?qiáng)噪聲背景下的正弦信號(hào)檢測(cè)方法是一種新型的檢測(cè)方法 ,實(shí)驗(yàn)仿真也證明該方法

12、的可行性和有效性,為實(shí)際工程中的微弱信號(hào)檢測(cè)提供了一種新的檢測(cè)方法。但檢測(cè)方法還不完善,有很多問題需要進(jìn)一步研究</p><p><b>　　1.1.2課題意義</b></p><p>　　噪聲干擾是信息科學(xué)的一項(xiàng)主要問題。混沌系統(tǒng)對(duì)小信號(hào)的敏感性以及對(duì)噪聲的免疫力, 使它在信號(hào)檢測(cè)中非常具有潛力。對(duì)于一個(gè)非線性動(dòng)力系統(tǒng), 其參數(shù)的攝動(dòng)有時(shí)會(huì)引起周期解 發(fā)生本質(zhì)的變化

13、 。我的想法是: 將待測(cè)信號(hào)作為Duffing方程周期策動(dòng)力的攝動(dòng), 噪聲雖 然強(qiáng)烈, 但對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的改變無(wú)影響, 而一旦帶有特定的信號(hào), 即使幅值較小, 也會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生 相變。計(jì)算機(jī)通過辨識(shí)系統(tǒng)狀態(tài), 可清楚地檢測(cè)出特定信號(hào)是否存在。在信息理論高速發(fā)展的今天, 儀器化的微弱信號(hào)檢測(cè)原理、技術(shù)已日趨成熟 , 但設(shè)備比 較復(fù)雜, 昂貴。利用混沌振子來檢測(cè)微弱信號(hào), 有望降低設(shè)備成本, 簡(jiǎn)化理論, 使這項(xiàng)技術(shù)具有 更加廣闊的應(yīng)用前景。&l

14、t;/p><p>　　1.2 混沌振子在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用于發(fā)展</p><p>　　混沌理論的應(yīng)用研究已逐漸深入醫(yī)學(xué)、生態(tài)學(xué)、保密通信、電子對(duì)抗等許多領(lǐng)域，微弱信號(hào)檢測(cè)歷來是信號(hào)處理領(lǐng)域的核心問題和前沿課題之一。將混沌理論應(yīng)用于微弱信號(hào)檢測(cè)也是混沌控制與混沌利用的一個(gè)內(nèi)容。</p><p>　　1.3 本論文的主要內(nèi)容</p><p>　　1、了

15、解隨機(jī)信號(hào)分析理論如何在實(shí)踐中應(yīng)用，掌握正弦信號(hào)的檢測(cè)及分析的方法。研究將混沌振子用于信號(hào)檢測(cè)的優(yōu)勢(shì)所在并進(jìn)行具體分析。</p><p>　　2、掌握隨機(jī)信號(hào)的基本數(shù)字特征及其Matlab實(shí)現(xiàn)。包括、均值、方差、均方值相關(guān)函數(shù)、頻譜和功率譜密度。利用Matlab仿真一微弱正弦信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)</p><p>　　3、得出結(jié)論并對(duì)檢測(cè)方法進(jìn)行分析</p><p>　　1

16、.4 本論文的結(jié)構(gòu)安排</p><p>　　2.混沌理論的發(fā)展概況及微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)</p><p>　　2.1混沌理論的發(fā)展概況</p><p>　　混沌理論，是近三十年才興起的科學(xué)革命，它與相對(duì)論與量子力學(xué)同被列為二十世紀(jì)的最偉大發(fā)現(xiàn)和科學(xué)傳世之作。量子力學(xué)質(zhì)疑微觀世界的物理因果律，而混沌理論則緊接著否定了包括宏觀世界拉普拉斯（Laplace）式的決定型因果律

17、。美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茨在2O世紀(jì)6O年代初研究天氣預(yù)報(bào)中大氣流動(dòng)問題時(shí)，揭示出混沌現(xiàn)象具有不可預(yù)言性和對(duì)初始條件的極端敏感依賴性這兩個(gè)基本特點(diǎn)，同時(shí)他還發(fā)現(xiàn)表面上看起來雜亂無(wú)章的混沌，仍然有某種條理性。其對(duì)初始條件的極端敏感依賴性表現(xiàn)為蝴蝶效應(yīng)：今天北京一只蝴蝶展翅翩翩對(duì)空氣造成擾動(dòng)，可能導(dǎo)致下個(gè)月紐約的大風(fēng)暴。</p><p>　　混沌（Chaos）也作混沌，指確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的一種對(duì)初始條件具有敏感依賴性的回復(fù)性

18、非周期運(yùn)動(dòng)。渾沌與分形(fractal)和孤子(soliton)是非線性科學(xué)中最重要的三個(gè)概念。渾沌理論隸屬于非線性科學(xué)，只有非線性系統(tǒng)才能產(chǎn)生渾沌運(yùn)動(dòng)。據(jù)1991年出版的《渾沌文獻(xiàn)總目》統(tǒng)計(jì)，已收集到與渾沌研究有直接關(guān)系的書269部、論文7157篇。到1996年底，還不斷有新的渾沌研究成果發(fā)表?？茖W(xué)史上只有量子力學(xué)的攻堅(jiān)熱情可與之媲美。 現(xiàn)代科學(xué)所講的混沌，其基本含義可以概括為：聚散有法，周行而不殆，回復(fù)而不閉。意思是說混沌軌道的運(yùn)動(dòng)

19、完全受規(guī)律支配，但相空間中軌道運(yùn)動(dòng)不會(huì)中止，在有限空間中永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)著，不相交也不閉合。渾沌運(yùn)動(dòng)表觀上是無(wú)序的，產(chǎn)生了類隨機(jī)性，也稱內(nèi)在隨機(jī)性。渾沌模型一定程度上更新了傳統(tǒng)科學(xué)中的周期模型，用渾沌的觀點(diǎn)去看原來被視為周期運(yùn)動(dòng)的對(duì)象，往往有新的理解。80年代中期開始渾沌理論已被用于社會(huì)問題研究，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)和哲學(xué)研究。 大自然并不缺少混沌，現(xiàn)代科學(xué)重新發(fā)現(xiàn)了混沌。以渾沌理論為標(biāo)志的非線性科學(xué)強(qiáng)調(diào)自然的自組織機(jī)制，強(qiáng)調(diào)看待事物的整體性原則，

20、與古代哲人所說的“前現(xiàn)在渾沌”有千絲萬(wàn)</p><p>　　2.2微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)</p><p>　　當(dāng)今科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，使測(cè)量技術(shù)得到日臻完善的發(fā)展，但同時(shí)也提出了更高的要求。尤其是一些極端條件下的測(cè)量已成為深化認(rèn)識(shí)自然的重要手段，例如對(duì)物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)與弱相互作用等所獲得的極為微弱量的測(cè)量，無(wú)疑是當(dāng)今科學(xué)技術(shù)的前沿課題。</p><p>　　測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，始終

21、是圍繞著兩個(gè)問題逐漸解決和提高的，即所謂速度和精度。測(cè)量精度意味著檢測(cè)靈敏度的提高和動(dòng)態(tài)范圍的擴(kuò)大，即能容納更多的噪聲和從噪聲中提取信號(hào)能力的提高；而測(cè)量的速度表示快速的瞬變響應(yīng)和處理的能力。</p><p>　　微弱信號(hào)檢測(cè)（Weak Signal Detection）則是測(cè)量技術(shù)中的綜合技術(shù)和尖端領(lǐng)域，由于它能測(cè)量傳統(tǒng)觀念認(rèn)為不能測(cè)量的微弱量，所以才獲得迅速的發(fā)展和普遍的重視。對(duì)于眾多的微弱量（如弱光、小位移

22、、微振動(dòng)、微溫差、小電容、弱磁、弱聲、微電導(dǎo)、微電流、低電平電壓及弱流量等等），一般都通過各種傳感器作非電量轉(zhuǎn)換，使檢測(cè)對(duì)象轉(zhuǎn)變成電量(電壓或電流)。但當(dāng)檢測(cè)量甚為微弱時(shí)，弱檢測(cè)量本身的漲落以及所用傳感器的本底與測(cè)量?jī)x表的噪聲影響，表現(xiàn)出來的總效果是，有用的被測(cè)信號(hào)被大量的噪聲和干擾所淹沒，使測(cè)量受到每一發(fā)展階段的絕對(duì)限制。</p><p>　　自從 1928 年約翰遜（Johnson）對(duì)熱騷動(dòng)電子運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的噪聲

23、進(jìn)行研究以來，大量科學(xué)工作者對(duì)信號(hào)的檢測(cè)做出了重要貢獻(xiàn)。尤其是近三十年來，更加取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，測(cè)量的極限不斷低于噪聲的量級(jí)。例如 1962 年美國(guó)PARC 第一臺(tái)相干檢測(cè)的鎖相放大器問世，使檢測(cè)的信噪比突然提高到 ；1968 年從大量二次電子的背景中測(cè)得 Auger 電子；到八十年代切，在特定的條件下可使小于 1nV 的信號(hào)獲得滿度輸出（使信號(hào)的放大量接近 200dB），信噪比提高到 。粗略估計(jì)，即平均每 5、6 年測(cè)量極限提高

24、一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此，過去視為不可測(cè)量的微觀現(xiàn)象或弱相互作用所體現(xiàn)的弱信號(hào)，現(xiàn)在已成為可能，這就大大地推動(dòng)了物理學(xué)、化學(xué)、電化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)以及廣泛的工程技術(shù)領(lǐng)域等學(xué)科技術(shù)的發(fā)展。微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)，也就成為一門被人重視的、新興的分支技術(shù)學(xué)科。</p><p>　　微弱信號(hào)檢測(cè)的目的乃是利用電子學(xué)的、信息論的和物理學(xué)的方法，分析噪聲產(chǎn)生的原因和規(guī)律，研究被測(cè)信號(hào)的特點(diǎn)和相干性，檢測(cè)被背景噪聲覆蓋的弱信號(hào)。它的

25、任務(wù)是發(fā)展微弱信號(hào)檢測(cè)的理論，探索新的方法和原理，研制新的檢測(cè)設(shè)備以及在各學(xué)科領(lǐng)域中的推廣應(yīng)用。</p><p>　　微弱信號(hào)檢測(cè)在某種意義上說，是一種專門與噪聲斗爭(zhēng)的技術(shù)：只有抑制噪聲，才能取出信號(hào)。噪聲對(duì)于弱檢測(cè)幾乎是無(wú)處不在，無(wú)地沒有，它總是與信號(hào)共存，因此有人將噪聲比作“魔鬼”那樣的令人討厭。微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)進(jìn)步的標(biāo)志是檢測(cè)靈敏度的提高。更確切地說，應(yīng)是信噪比改善（SNIR）。它的定義為：</p&g

26、t;<p><b>　　（1）</b></p><p>　　是輸出信噪比 與 輸入信噪比之比。例如輸入端的噪聲比信號(hào)大 l00 倍，而通過微弱信號(hào)檢測(cè)的手段得到信號(hào)比噪聲大 2 倍，則 SNIR＝200。SNIR 越大，表示處理噪聲的能力越強(qiáng)，檢測(cè)的水平越高。</p><p>　　4.Duffing方程的特性</p><p>　　

27、Duffing方程是非線性理論中常用的代表性微分方程，盡管是從簡(jiǎn)單物理模型中得出來的非線性振動(dòng)模型，但是其模型具有代表性。工程實(shí)際中的許多非線性振動(dòng)問題的數(shù)學(xué)模型都可以轉(zhuǎn)化為該方程，特別是電工領(lǐng)域的一些問題的研究有重要的意義。</p><p>　　混沌系統(tǒng)對(duì)微弱信號(hào)具有極強(qiáng)的敏感性同時(shí)對(duì)噪聲具有極大的抑制能力，它的這種性質(zhì)證明了混沌系統(tǒng)具有可應(yīng)用于小信號(hào)檢測(cè)的潛力，從檢測(cè)過程中分析混沌運(yùn)動(dòng)發(fā)生的間歇性。Duffi

28、ng方程是一個(gè)在混沌系統(tǒng)小信號(hào)檢測(cè)中被廣泛使用的一個(gè)典型的非線性方程，即存在于噪聲中的信號(hào)可以被Duffing振子通過從混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)到周期振蕩狀態(tài)的改變測(cè)試出來。本文用MATLAB對(duì)Duffing方程進(jìn)行模擬分析，找出系統(tǒng)在各種參數(shù)下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，為基于Duffing振子的小信號(hào)檢測(cè)提供研究基礎(chǔ)。</p><p>　　Duffing方程是描述共振現(xiàn)象、調(diào)和振動(dòng)、次調(diào)和振動(dòng)、擬周期振動(dòng)、概周期振動(dòng)、奇異吸引子和混沌現(xiàn)

29、象(或隨機(jī)過程)的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型。因此，在非線性振動(dòng)理論中研究Duffing方程具有重要的意義。它的標(biāo)準(zhǔn)形式為：</p><p><b>　　（2）</b></p><p>　　這是一個(gè)描述非線性彈性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，其中k為阻尼比，（）為非線性恢復(fù)力。</p><p>　　在周期外力作用下Duffing方程變?yōu)椋?lt;/p><p

30、><b>　?。?）</b></p><p>　　式子中，和分別為周期攝動(dòng)力的幅度、頻率，和為實(shí)數(shù)因子。</p><p>　　Duffing方程系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性振動(dòng)系統(tǒng)，盡管是從簡(jiǎn)單物理模型中得出來的非線性振動(dòng)模型，但是其模型具有代表性。工程實(shí)際中的許多非線性振動(dòng)問題的數(shù)學(xué)模型都可以轉(zhuǎn)化為該方程來研究，如船的橫搖運(yùn)動(dòng)、結(jié)構(gòu)振動(dòng)、化學(xué)鍵的破壞等，橫向波動(dòng)方程

31、的軸向張力擾動(dòng)模型，轉(zhuǎn)子軸承的動(dòng)力學(xué)方程也與Duffing系統(tǒng)基本相似，另外Duffing系統(tǒng)也非常廣泛地被應(yīng)用到實(shí)際工程中，例如尖銳碰摩轉(zhuǎn)子的故障檢測(cè)、微弱周期信號(hào)檢測(cè)、電力系統(tǒng)周期振蕩分析、周期電路系統(tǒng)的模擬與控制等。關(guān)于Duffing系統(tǒng)還有許多問題尚未徹底研究清楚，如Duffing方程的分?jǐn)?shù)諧波振動(dòng)、超諧波振動(dòng)、組合振動(dòng)等等，而且研究結(jié)果中規(guī)律性的成果可以推廣到其他類似系統(tǒng)。因此從某種角度來說，對(duì)非線性Duffing系統(tǒng)的研究是

32、研究許多復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的基礎(chǔ)。</p><p>　　5.混沌振子在強(qiáng)噪聲背景下正弦波的檢測(cè)</p><p>　　由于Dufting混沌系統(tǒng)的一個(gè)重要特點(diǎn)是系統(tǒng)某參量的微小的變化會(huì)引起混沌軌道 的很大變化，以及Dufiing混沌系統(tǒng)具有檢測(cè)微弱信號(hào)有極高的靈敏度和對(duì)任何零均值噪聲具有極高的抑制性，本文提出一種基本的方案來測(cè)待測(cè)信號(hào)的幅值，仿真實(shí)驗(yàn)證明了這種方法的有效性。在識(shí)別雷達(dá)信號(hào)、水聲信

33、號(hào)等應(yīng)用方面提供新思路、新方法。 </p><p>　　5.1 Duffing混沌系統(tǒng)的微弱信號(hào)的幅值檢測(cè)原理 </p><p>　　5.1.1 Dutting振子幅值檢測(cè)原理 </p><p>　　混沌系統(tǒng)的一個(gè)重要特性就是對(duì)初始條件的敏感性，利用混沌系統(tǒng)微弱信號(hào)檢測(cè)的仿真模型，當(dāng)該系統(tǒng)處于混沌臨界狀態(tài)時(shí)，加入一個(gè)微弱的正弦信號(hào)，立刻使混沌相軌跡發(fā)生變化，所以通過

34、適當(dāng)?shù)男盘?hào)處理方法，就可以把微弱信號(hào)的信息檢測(cè)出來。 </p><p>　　在周期外力作用下Duff'mg方程式為：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　隨著的變化，系統(tǒng)經(jīng)歷同宿軌道、分叉、混沌軌跡、大尺度周期等各個(gè)狀態(tài)。在臨界周期軌跡到大尺度周期軌跡的相變中，該系統(tǒng)對(duì)不同周期信號(hào)敏感程度不同。所以從微弱信號(hào)

35、的檢測(cè)下限、混沌系統(tǒng)檢測(cè)信號(hào)比、系統(tǒng)混沌判據(jù)的證明幾個(gè)方面綜合考慮，正弦信號(hào)的混沌檢測(cè)模型確定為：</p><p><b>　　（5）</b></p><p>　　其中k為阻尼比，為非線性恢復(fù)力，為內(nèi)置信號(hào)。</p><p>　　有上面公式，可建立該混沌系統(tǒng)仿真模型：</p><p>　　圖1-1 頻率為 時(shí)的系統(tǒng)仿真

36、仿真模型</p><p>　　5.2.色噪聲背景下正弦信號(hào)的混沌檢測(cè) </p><p>　　在現(xiàn)實(shí)生活中，噪聲與弱信號(hào)共存。噪聲一般分為加性噪聲和乘性噪聲，是檢測(cè)有用信號(hào)以外的所有信號(hào)的總稱，雖然噪聲也有有利的地方，但在這里噪聲是檢測(cè)信號(hào)的障礙。實(shí)際中，很難有理想的白噪聲，經(jīng)常情況下是難以預(yù)知的色噪聲。用混沌振子檢 測(cè)微弱信號(hào)，其特點(diǎn)就是根據(jù)混沌對(duì)小信號(hào)的敏感性和對(duì)噪聲的免疫性，由混沌狀態(tài)

37、躍遷到大周期狀態(tài)時(shí)，在沒有噪聲的情況下，混沌系統(tǒng)的相軌跡顯示一個(gè)理想的環(huán)，由于噪聲的影響，該環(huán)的邊界顯得有些粗糙，但軌跡的性質(zhì)并沒有發(fā)生根本的改變。應(yīng)用微 積分的方程理論，可分析噪聲對(duì)混沌檢測(cè)的影響。</p><p>　　用△X(t)表示噪聲對(duì)x(t)的小擾動(dòng)，從而得出噪聲存在的情況下系統(tǒng)的微分方程式為：</p><p><b>　　(6)</b></p>

38、<p>　　其中n(t)為噪聲，E{n(t)}=0，有方程式（6）-（5），由于很小，可以略去的高階項(xiàng)，得：</p><p><b>　　(7)</b></p><p><b>　　并令得：</b></p><p><b>　　(8)</b></p><p>　　

39、將式子（7）寫成矢量微分方程形式：</p><p><b>　　(9)</b></p><p><b>　　它的解為：</b></p><p><b>　　(10)</b></p><p>　　其中是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。由于第一項(xiàng)為暫態(tài)解，將很快衰減為零故只需要考慮第二項(xiàng)，因此

40、得到：</p><p><b>　　(11)</b></p><p><b>　　(12)</b></p><p>　　從上面的推導(dǎo)中，由于沒有涉及到噪聲的分布問題，所以任何分布的零均值白噪聲 都不會(huì)改變系統(tǒng)原有的相軌跡，僅會(huì)使系統(tǒng)的相軌跡變的粗糙。說明混沌系統(tǒng)對(duì)噪聲具有極強(qiáng)的免疫性。</p><p&g

41、t;<b>　　5.3 課題仿真</b></p><p>　　有上述的仿真模型的建立，進(jìn)行試驗(yàn)仿真。</p><p>　　當(dāng) k 取某一固定值（通常取 0.5），隨著由零逐漸增大，系統(tǒng)狀態(tài)出現(xiàn)有規(guī)律的變化：歷經(jīng)同宿軌跡，分岔軌跡、混沌軌跡、大尺度周期狀態(tài)。Duffing 振子各個(gè)狀態(tài)的時(shí)域波形及相平面軌跡如圖 1-2～圖 1-7 所示。</p><

42、p>　　分析上述系統(tǒng)時(shí)域波形及相平面軌跡變化可知：</p><p>　　①　當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)相平面鞍點(diǎn)為（0，0），焦點(diǎn)為 (±1 ,0)。點(diǎn) ( x ,y)將最終停留在兩焦點(diǎn)之一，如圖 1-2 和圖 1-3 所示。 </p><p>　?。╝）時(shí)域波形 (b) 相平面軌跡</p><p>　

43、　圖1-2 當(dāng),時(shí)的初始狀態(tài)</p><p>　　（a）時(shí)域波形 （b）相平面軌跡</p><p>　　圖1-3 當(dāng),時(shí)的初始狀態(tài)</p><p>　?、凇?時(shí)，系統(tǒng)分階段表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)形態(tài)，具體又可分為以下幾種情況。 較小時(shí)，相軌跡表現(xiàn)為 Poincare 映射意義下的吸引子，相點(diǎn)圍繞焦點(diǎn)作周期振蕩，逐漸增加

44、到臨界值 （ 的大小可由 Melnikov 法求出)時(shí)，隨著 的增大，系統(tǒng)歷經(jīng)同宿軌道（如圖 1-4）、周期分叉（如圖 1-5）直至達(dá)到混沌狀態(tài)（如圖 1-6）。這一過程隨著 的變化非常迅速， 在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)都將處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。進(jìn)一步增加超過閾值 ，系統(tǒng)以外加周期力的頻率進(jìn)行大尺度周期振蕩（如圖 1-7）。此時(shí)相軌跡將焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)團(tuán)團(tuán)圍住，其對(duì)應(yīng)的龐加萊映射亦為不動(dòng)點(diǎn)。</p><p>　　（a）時(shí)域波形

45、 （b）相平面軌跡</p><p>　　圖2-4 當(dāng)時(shí)的同宿軌道狀態(tài)</p><p>　?。╝）時(shí)域波形 （b）相平面軌跡</p><p>　　圖2-5 當(dāng),時(shí)的分叉狀態(tài)</p><p>　?。╝）時(shí)域波形

46、 （b）相平面軌跡</p><p>　　圖2-6 當(dāng),時(shí)的混沌狀態(tài)</p><p>　?。╝）時(shí)域波形 （b）相平面軌跡</p><p>　　圖2-7 當(dāng),時(shí)的大尺度周期狀態(tài)</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]