數(shù)學系畢業(yè)論文

1、<p><b>　　XX師范大學數(shù)學系</b></p><p><b>　　畢 業(yè) 論 文</b></p><p>　　題 目: 新課程下的正弦定理教學模式探索</p><p>　　學院(直屬系): 數(shù)學與應用數(shù)學（金融方向）</p><p>　　年級、專業(yè):

2、 20XX 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p>　　學 生 姓 名: X X X </p><p>　　學 號: XXXXXXXX </p><p>　　指 導 教 師: XXX (副教授） </p><

3、p>　　完 成 時 間: 20XX年X月X日 </p><p>　　新課程下的正弦定理教學模式探索</p><p>　　數(shù)信學院 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) </p><p>　　【摘 要】新課標提出了現(xiàn)實教學觀、活動教學觀、過程教學觀、“再創(chuàng)造”教學觀、數(shù)學化教學觀。而目前正弦定理教學存在著忽視對正弦定理內容探究，對正弦定理進行灌輸式教

4、學，忽視正弦定理的現(xiàn)實背景等問題。本文依據(jù)上述理論和現(xiàn)象設計正弦定理的教學案例。</p><p>　　【關鍵詞】正弦定理，教學設計，教學觀，教學誤區(qū)</p><p><b>　　1 現(xiàn)代數(shù)學教學觀</b></p><p><b>　　1.1現(xiàn)實教學觀</b></p><p>　　弗賴登塔爾認為“數(shù)學

5、現(xiàn)實”是客觀現(xiàn)實與人的數(shù)學認識的統(tǒng)一體。每個學生都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數(shù)學概念、它的運算方法、規(guī)律和有關的數(shù)學知識結構。也就是說每個學生都有自己的“數(shù)學現(xiàn)實”。數(shù)學教學的任務就是應該確定各類學生在不同階段必須達到的“數(shù)學現(xiàn)實”，并且根據(jù)學生實際擁有的“數(shù)學現(xiàn)實”采取相應的方法予以豐富，予以擴展。</p><p>　　“數(shù)學現(xiàn)實”要求我們，為了使學生對數(shù)學學習感興趣，主動

6、參與特定的數(shù)學活動，使數(shù)學教學順利展開，教學活動必須關注學生的個人知識和直接經(jīng)驗。這就是說，教學活動要把學生的個人經(jīng)驗和現(xiàn)實世界作為數(shù)學活動的重要資源，以學生的發(fā)展為本，從學生的生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗出發(fā)，根據(jù)學生的年齡特點和心理發(fā)展規(guī)律選材。題材要廣泛，呈現(xiàn)的形式要豐富多彩，充滿著學生樂于接觸的有價值的數(shù)學題材。</p><p>　　基于學生的個人經(jīng)驗和現(xiàn)實世界的教學，不僅能解決數(shù)學問題，更重要的是讓學生經(jīng)歷將現(xiàn)實

7、問題轉化為數(shù)學問題，實現(xiàn)數(shù)學化的過程，經(jīng)歷分析、發(fā)現(xiàn)、探究、解決問題過程，體驗數(shù)學來源于生活，應用于生活，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學創(chuàng)新的樂趣。</p><p><b>　　1.2活動教學觀</b></p><p>　　賴登塔爾認為：“如果將數(shù)學解釋為一種活動的化，那么必須通過數(shù)學化來教數(shù)學、學數(shù)學”使學生在活動中思考，在思考中活動。讓學生參與數(shù)學活動一方面可以是在教師的引導

8、下自己分析、概括，形成概念或通過探究，發(fā)現(xiàn)、歸納、證明某個定理、規(guī)律，也可以讓學生在課堂上做數(shù)學實驗，驗證、發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論，還可以通過調查了解生活中的某些問題，用數(shù)學的觀點看待這些問題，給出實際問題的數(shù)學模型，運用數(shù)學知識加以解決。 </p><p><b>　　1.3過程教學觀</b></p><p>　　現(xiàn)代知識觀認為，數(shù)學知識包括結果性知識和“緘默知識”，而且后一

9、種知識對學習活動起支配作用，使人終生受益。鑒于此，新課程十分強調“過程”，在總體目標和分領域目標中通過大量使用經(jīng)歷、體驗、探索的字眼，明確規(guī)定了過程性目標。其實，數(shù)學教學的本質就是讓學生不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察分析、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思建構等活動過程，展示和發(fā)展思維，感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)的樂趣，增進學好數(shù)學的信心，形成應用數(shù)學的意識和創(chuàng)新思維，進而在獲得數(shù)學理解的同時，思維能力、情感態(tài)度和價值

10、觀等多方面都得到進步和發(fā)展。重視過程就是要教師在教學設計中揭示數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展、演進、應用的過程，暴露知識的思維過程，讓學生經(jīng)歷感知（情景）—概括（建模）—應用（實踐）—拓展的過程。</p><p>　　1.4“再創(chuàng)造”教學觀</p><p>　　布魯納說過“探索是教學的生命線”，這條生命線就是一個個大大小小過程的集合，可以說沒有過程就談不上探索，沒有探索就沒有創(chuàng)造。而數(shù)學中的每個公式、

11、定理、法則都是數(shù)學家辛勤探究的結晶，他們的探究蘊藏著深刻的數(shù)學思想方法。發(fā)現(xiàn)探究策略就是在教學中教師注意引導學生像科學家發(fā)現(xiàn)真理一樣去學習，去體會創(chuàng)造的過程。一方面，鼓勵學生觀察、試驗，用直覺或推理（特別是合情推理）提出猜想（定義、性質、法則、公式）；另一方面，又教會學生善于運用推理方法，對猜想進行證明，然后建立這些發(fā)現(xiàn)物之間的聯(lián)系，形成體系，得到類似于教科書的數(shù)學知識。</p><p><b>　　1

12、.5數(shù)學化教學觀</b></p><p>　　數(shù)學發(fā)展的歷史表明，數(shù)學概念的形成和發(fā)展，數(shù)學知識的應用和拓展，都有其豐富經(jīng)歷，都經(jīng)過數(shù)學化的過程。數(shù)學教學是過程教學，數(shù)學教學就必須給學生展示數(shù)學化的過程，讓學生學會數(shù)學化，學會運用數(shù)學方法觀察現(xiàn)實世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，形成應用數(shù)學的意識。實施數(shù)學化教學策略就是以“問題情境——建立模型——解釋、應用、拓展”的模式展開所

13、要學習的數(shù)學主題，使學生在了解知識來龍去脈的基礎上，理解掌握相應的學習內容。實施數(shù)學化教學策略的關鍵是依據(jù)學生的數(shù)學現(xiàn)實，利用數(shù)學知識的現(xiàn)實背景創(chuàng)設問題情境，讓學生在探索中學習數(shù)學化。</p><p><b>　　2正弦定理教學現(xiàn)狀</b></p><p>　　當前中學數(shù)學素質教育非常蒼白，只有課標、教材和教輔，沒有生機、活力，更沒有靈魂。長期以來，我們所傳授給學生的

14、數(shù)學知識，只剩下一副枯瘦的骨架，它只有知識、技能和思維，缺乏一些具有生命活力的東西，結果使得有許多學生感到數(shù)學枯燥無味、害怕學數(shù)學，甚至不喜歡學數(shù)學。課堂教學效率是課改的第一生命，只有關注課堂教學效率，課程改革才能深入，“減負增效”的課堂教學新秩序的建立才有可能成為現(xiàn)實。必修5第一章第一節(jié)《正弦定理》的教學，目前存在以下誤區(qū)：（1）忽視對正弦定理內容探究。教師只是注重了課本上的內容講解，正弦定理的證明，運用，忽略了學生對正弦定理的理解，

15、以及學生的興趣，學習能力的培養(yǎng)。其實正弦定理有多種證明方法，是培養(yǎng)學生思維靈活性、敏捷性、廣闊性的極好素材。同時正弦定理的證明包括轉化、數(shù)形結合、分類討論等重要的思想方法，有利于培養(yǎng)學生解決問題的能力。（2）對正弦定理進行灌輸式教學：①分析定理——條件、結論、邏輯結構；②激活舊知——與相關知識建立聯(lián)系，適當復習，為定理證明奠定基礎；③證明命題——給出教材證明方法；④理解應用——講解例題，練習鞏固。（3）忽視正弦定理的現(xiàn)實背景?！罢叶ɡ?/p>

16、”是解可轉化</p><p><b>　　正弦定理教學設計</b></p><p><b>　　正弦定理</b></p><p>　　一、教材的地位和作用</p><p>　　“正弦定理”既是初中解直角三角形內容的延拓，也是三角函數(shù)知識和平面向量知識在三角形中的具體應用，是解可轉化為三角形計算問題的

17、其它數(shù)學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本次課是“正弦定理”教學的第一節(jié)課，主要任務是引入并證明正弦定理。在課型上屬于定理教學課，因此做好正弦定理的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辨證觀點，而且能培養(yǎng)學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題解決問題的能力。而且通過對定理的探究，能使學生體驗到數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進而培養(yǎng)學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。<

18、/p><p>　　為什么要解斜三角形？解斜三角形必須要用正弦定理嗎？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些教材沒有回答，而確實又是學生關心的問題。在此之前，學生已經(jīng)學習了有關三角函數(shù)的知識，這為本節(jié)課的學習奠定了知識基礎；同時，本節(jié)課內容是下節(jié)學習解三角形和余弦定理的知識基礎。</p><p>　　二、學生學習情況分析</p><p>　　學

19、生在初中已經(jīng)學習了解直角三角形的內容，在必修4中，又學習了三角函數(shù)的基礎知識和平面向量的有關內容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎，同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關于任意三角形邊角關系的重要定理之一，《課程標準》強調在教學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問題，可以使學生進一步了解數(shù)學在實際中的應用，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，也為學習正弦定理提供一種

20、親和力與認同感。</p><p><b>　　三、設計思想</b></p><p>　　培養(yǎng)學生學會學習、學會探究是全面發(fā)展學生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務。如何培養(yǎng)學生學會學習、學會探究呢？建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的?！边@個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經(jīng)

21、驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。本節(jié)“正弦定理”的教學，將遵循這個原則而進行設計。</p><p><b>　　四、教學目標</b></p><p>　　1．知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證

22、明方法。</p><p>　　2．過程與方法：讓學生從已有的知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。</p><p>　　3．情感態(tài)度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現(xiàn)共同探究、教學相長的教學情境。</p><p>&l

23、t;b>　　五、教學重點與難點</b></p><p>　　重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導</p><p>　　難點：正弦定理的推導</p><p>　　教學準備：制作多媒體課件，學生準備計算器，直尺，量角器。</p><p><b>　　六、教法與學法分析</b></p><p>

24、　　由于學生在本節(jié)內容之前已學習了正弦定理，對用向量知識解決三角形問題有了一定的體會，故本節(jié)課主要采用引導啟發(fā)式教學法。引導學生通過特殊的角去發(fā)現(xiàn)邊角之間的關系（余弦定理），啟發(fā)學生在證明余弦定理時與向量數(shù)量積的知識產生聯(lián)系，在運用向量知識的同時，注意使學生體會三角形，余弦定理，向量數(shù)量積等多處知識之間的聯(lián)系。啟發(fā)引導學生注意余弦定理的各種變形式。讓學習特殊到一般、猜想發(fā)現(xiàn)、建立數(shù)學模型解決問題的思想方法。</p><

25、;p><b>　　七、教學流程</b></p><p>　　1.創(chuàng)設問題情境，提出問題</p><p>　　如圖：上海市政建設公司為了建造崇海過江隧道， A</p><p>　　需要測量長江兩岸的兩個出口處A與B的距離，測量 河道</p><p>　　人員在B點所在一側選擇

26、C點，測得BC的長為0。15km ，B C</p><p>　　測得， ，能由此確定AB間的距離嗎？</p><p>　　問1：這個問題可以轉化為什么數(shù)學問題？</p><p>　?。芑癁樵谥校阎獌蓚€內角及夾邊，如何求另一邊。）</p><p>　　問2：要由角和邊確定AB，只需要知道什么關系就可以了。</

27、p><p>　?。ㄈ切沃羞吅徒堑牡攘筷P系）</p><p>　　問3：以前研究過三角形中邊和角的等量關系嗎？</p><p><b>　　剖析：在中有：，，</b></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　問4：找一找它們之間有什么聯(lián)系？</p>

28、;<p>　　教師引導下： （1）</p><p>　　問5：對一般三角形，上式也成立嗎？</p><p>　?。ㄕ埻瑢W們自己畫一個三角形，量出邊和角，利用計算器進行計算驗證）[給學生一個做數(shù)學實驗的機會]</p><p>　　教師可利用幾何畫板中的度量功能計算出所畫三角形邊和角的數(shù)字，顯示，，的值，并不斷變化三角形的形狀，讓學生進一步觀察三個比

29、值的變化情況。</p><p>　　問6：大家發(fā)現(xiàn)在拖動過程中，很多三角形都滿足（1）式，能不能說對任意三角形都滿足（1）式呢？</p><p><b>　　（不能）</b></p><p><b>　　2.定理證明</b></p><p>　　問7：如何來證明呢？（教師引導學生從特殊的簡單情形開始

30、，如當三角形為直角三角形時）</p><p>　　C　　　　　　　　　　　　C</p><p>　　A D B　　　　　　 D　　A　　　 　B</p><p>　　證明１：過Ｃ作ＡＢ邊上的高ＣＤ</p><p><b>　　由， 得，即</b></p><p>&

31、lt;b>　　同理有：，因此</b></p><p>　　證明2：由面積公式有：，得</p><p><b>　　同理有：，因此</b></p><p>　?。ㄒ陨蟽煞N方法是正弦定理的傳統(tǒng)證明方法，利用這兩種方法，可培養(yǎng)學生的求異思維）</p><p>　　問8：還有其它反映長度和角度的量嗎？</

32、p><p><b>　?。ㄏ蛄康臄?shù)量積）</b></p><p>　　問9：在中如何構造出這些量來？</p><p>　?。ㄏ蛄?，，…， += （2） ）</p><p>　　問10：如果先證，對上式如何處理才能實現(xiàn)呢？</p><p>　　嘗試1：是與的夾角，對（2）兩邊同時乘以，&l

33、t;/p><p>　　得 （+）= 即（射影定理）</p><p>　?。m然沒有如愿，但卻發(fā)現(xiàn)了射影定理，也有收獲）</p><p>　　嘗試2：對（2）兩邊平方，得到（余弦定理）</p><p>　　（一次“失敗”，卻意外的發(fā)現(xiàn)了余弦定理，為余弦定理的學習埋下伏筆）</p><p>　　教師引導學生反思上述方法失敗

34、之處：向量的數(shù)量積得到的是余弦，而要證明的式子與正弦有關的等式。</p><p>　　問11：改寫成什么式子？</p><p><b>　?。ǎ?lt;/b></p><p>　　問12：哪兩個向量的夾角就是</p><p>　?。ㄟ^A點作向量與垂直，這兩個向量的夾角就是）</p><p>　　（做出向

35、量是問題的關鍵所在，課本沒有展開這個過程，如何引導學生利用向量，并做出這個向量是教師的主要任務，也是這種證明成敗的關鍵）</p><p>　　3.定理證明完成，給出課題，解決引例中問題</p><p><b>　　（首尾呼應）</b></p><p><b>　　4.問題延拓</b></p><p>

36、;　　問13：中，在一般，設，那么這個等于多少呢？</p><p>　　（學生思維再次被激活，但學生證明可能存在困難）</p><p>　　問14：告訴我們，對而言，當與邊確定時，比值就確定了，此時的形狀唯一確定嗎？</p><p>　?。ú淮_定，頂點可以動）</p><p>　　問15：看看頂點A的軌跡是什么？</p><

37、;p>　　（教師利用幾何畫板演示，讓學生觀察到點A在外接圓上）</p><p>　?。▽W生感到外接圓呈現(xiàn)很自然，定理公式不是天上掉下來的）</p><p>　　問：比值與外接圓有什么關系呢？如何證明？</p><p>　　（證明這個結論已經(jīng)不是一件難事，真正的困難在于發(fā)現(xiàn)外接圓）</p><p><b>　　5.課堂小節(jié)<

38、;/b></p><p><b>　　正弦定理的內容</b></p><p>　　正弦定理證明中的思想方法</p><p>　　正弦定理能解決什么樣的問題？</p><p><b>　　課例評注</b></p><p>　　從結構上看，格式很規(guī)范。而且具有以下特點：&l

39、t;/p><p>　　教案對于教材的地位和作用分析具體、透徹，明確了教材的編寫意圖,把握了學生的學習基礎，明確了本節(jié)內容地位。對于重點和難點的把握較準</p><p>　　2.教學目標定位準確,敘述具體。而且按照新課標的要求,從知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀分別進行闡述，突出了數(shù)學思想方法和能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了數(shù)學教育的內在價值。</p><p>　　3.教學設

40、計特點鮮明</p><p>　　數(shù)學教材中的大多數(shù)知識追求概念的準確，邏輯的演繹、知識的系統(tǒng)、嚴密的推理。這種形式地、演繹地數(shù)學呈現(xiàn)，看上去確實是冷冰冰的，，教師如果照本宣科，學生就很難進行“火熱的思考”和主動建構，也難以欣賞“冰冷的美麗”，從而難以領會數(shù)學的本原。在上述案例中：(1)注意體現(xiàn)數(shù)學教學的問題特色，體現(xiàn)了“問題是數(shù)學的心臟”，數(shù)學教學就是“問題教學”。 本節(jié)課，把問題作為教學的出發(fā)點，精心設計問題情

41、境，讓問題處于學生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”，充分激發(fā)學生的好奇心和求知欲。具體地說是由“問題情境—分析建?！孪氚l(fā)現(xiàn)—論證猜想—應用結論五個環(huán)節(jié)組成的一種探究發(fā)現(xiàn)式教學模式（2）課堂引入利用了密切聯(lián)系生活的問題，體現(xiàn)數(shù)學與生活的聯(lián)系，突出了數(shù)學解決現(xiàn)實問題的工具作用，有利于培養(yǎng)學生的應用意識；（3）用向量法來證明正弦定理突出了向量解決數(shù)學問題的工具作用；（4）整個教學過程突出了建立數(shù)學模型、特殊到一般的化歸、數(shù)形結合、聯(lián)想轉化、分類討論

42、等解決問題的思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學是一個獨具特色的統(tǒng)一的數(shù)學思想方法體系；（5）體現(xiàn)了數(shù)學教學的過程性，重視學生在獲取和運用知識的過程。學生經(jīng)歷了觀察分析、歸納聯(lián)想、演繹證明、反</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]歐幾里得 幾何原本【M】 第十二卷 陜西出版集團，陜西人民出版社</p><p>　　[2]李建

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45、ne theorem teaching</p><p>　　[ Abstract]:new curriculum puts forward realistic teaching view, teaching view, process view of teaching activities, the "Re-creation" teaching view, mathematics teachi

46、ng view. The sine theorem teaching ignored the research on the content of the sine theorem of sine theorem, indoctrinating teaching, neglect the sine theorem realistic background and other questions. In this paper, on th