基于剪切波變換的去卷積算法-畢業(yè)論文專業(yè)翻譯

1、<p><b>　　文獻(xiàn)翻譯</b></p><p>　　基于剪切波變換的去卷積算法</p><p>　　摘要：本文提出了一種新型基于剪切波分解的圖像去卷積算法。剪切波提供了多方向多尺度的分解，在數(shù)學(xué)上已經(jīng)證實(shí)其在表示離散不連續(xù)部分（比如邊緣）時要優(yōu)于傳統(tǒng)小波。曲線波和輪廓波的構(gòu)造也有類似的性質(zhì)，但是它們的實(shí)現(xiàn)方式卻和剪切波截然不同。利用剪切波變換中新型M-

2、通道實(shí)現(xiàn)的特性，我們研究了一種可使近似反演算子在多尺度多方向基上可控的算法。ForWaRD是相關(guān)方法中的一個重大突破，它可以在不明確噪聲方差的情況下，利用廣義交叉驗(yàn)證（GCV）在各個尺度和方向上，對于噪聲收縮自動決定閾值。不同實(shí)驗(yàn)證明本文的算法優(yōu)于其它去卷積算法。</p><p>　　關(guān)鍵詞：去卷積，廣義交叉驗(yàn)證，剪切波，小波。</p><p><b>　　目錄</b>

3、;</p><p><b>　　摘要2</b></p><p><b>　　目錄3</b></p><p><b>　?、?引言4</b></p><p>　　A.圖像的去卷積問題5</p><p><b>　　B.歷史觀點(diǎn)6<

4、/b></p><p>　　C.基于剪切波的去卷積7</p><p><b>　　D.論文框架7</b></p><p><b>　?、?剪切波變換8</b></p><p>　　Ⅲ.廣義交叉驗(yàn)證（GCV）11</p><p>　?、?基于剪切波的去卷積13&

5、lt;/p><p><b>　　Ⅴ.實(shí)驗(yàn)結(jié)果17</b></p><p><b>　?、?結(jié)論24</b></p><p><b>　?、?引言</b></p><p>　　圖像恢復(fù)的目的是最大程度地還原降質(zhì)圖像。圖像降質(zhì)的例子包括由相機(jī)移動引起的模糊，還有系統(tǒng)的電子噪聲等。把

6、降質(zhì)建模為卷積操作，那么從模糊圖像中恢復(fù)出原始圖像的過程就稱為去卷積。去卷積的過程是一種不適定問題。因此，為了得到一個合理的圖像估計，必須減小或控制噪聲。</p><p>　　小波在數(shù)字圖像顯示中很受歡迎，它可以用于各種各樣的圖像處理應(yīng)用中，比如壓縮和恢復(fù)。小波之所以如此有價值，是因?yàn)樗軌驅(qū)δ切┕饣娈惖囊痪S信號進(jìn)行稀疏表示。通過稀疏表示，信號的大部分能量就可以用極少的變換系數(shù)表示。這可以用非線性逼近誤差的衰減

7、率來量化。事實(shí)上可以證明對于這種類型的信號，最優(yōu)的非線性M-項(xiàng)小波擴(kuò)張能達(dá)到最好的衰減率。不難理解，衰減率越好，由噪聲數(shù)據(jù)中估計得到的信號就越好。</p><p>　　這是因?yàn)榛谛〔ǖ娜ゾ矸e表述的優(yōu)良特性已經(jīng)被提出來了。但是事實(shí)上，小波表述并不是對于所有類型的信號都是最優(yōu)的。特別是在二維時，如果我們把圖像建模為分段平滑的函數(shù)，那么標(biāo)準(zhǔn)的二維小波不能得到最優(yōu)的衰減率。尤其是隨著M增加，小波的逼近誤差以的趨勢衰減。

8、結(jié)果就是，基于二維小波的去噪估計往往有意想不到的錯誤，并且為了提高估計的質(zhì)量，需要對決策指標(biāo)或計劃進(jìn)行優(yōu)化。例如剪切波的多方向表述為這類圖像（最優(yōu)率隨著M增加呈趨勢）提供了幾乎最優(yōu)的逼近率，而且相應(yīng)的去噪結(jié)果也不存在相同類型的錯誤。盡管諸如輪廓波和曲波的相關(guān)變換也有相似的性質(zhì)，但是在此項(xiàng)工作中，我們優(yōu)化了對于能在去卷積中體現(xiàn)優(yōu)勢的剪切波變換來說非常特別的屬性。</p><p>　　之前即有人提出對于去卷積使用稀疏

9、表述，從而得到理想估計的概念。然而，有些特征先前卻沒有考慮到，它們與這些表述的實(shí)現(xiàn)有關(guān)，這些表述能導(dǎo)致在此描述指標(biāo)的產(chǎn)生。我們的基于剪切波去卷積的方法有獨(dú)特的能力，可以在抑制噪聲之前實(shí)現(xiàn)多尺度和各向異性正則化反演。另外，對于一個給定的正則化參數(shù)，它的自適應(yīng)噪聲抑制超過了類似的方案。這是非常重要的一點(diǎn)，因?yàn)橛袝r要尋找到最優(yōu)的正則化參數(shù)是不太可能的。</p><p>　　在實(shí)現(xiàn)階段，為了解決邊緣效應(yīng)，文中圍繞噪聲收縮

10、的想法提出了一些概念，噪聲收縮在去卷積步驟之前或者之后實(shí)施。但是，為了有效地提出此類方案，需要一種能夠在非遞歸公式中實(shí)施的變換，就像在此項(xiàng)工作中使用的剪切波變換。否則，由一組系數(shù)得到的誤差估計將會在很大程度上影響另一組不同的但是獨(dú)立的系數(shù)得到的估計。另外，為了有效地對近似去卷積過程正則化，應(yīng)該對非下采樣的變換進(jìn)行優(yōu)化。這種冗余不但能夠提供基于輔助函數(shù)（比如GCV函數(shù)）使用更加有效的測量，而且在估計上也大有裨益。顯而易見，這些性質(zhì)都可以通

11、過使用M-通道的剪切波變換實(shí)現(xiàn)得到。</p><p>　　A.圖像的去卷積問題</p><p>　　因?yàn)閿?shù)字記錄的圖像是有限離散數(shù)據(jù)組，因此圖像的去卷積問題可以建模為矩陣求逆的問題。不失一般性，假設(shè)記錄的數(shù)組大小為。是一個的樣本數(shù)組，這些樣本來自零均值、方差為的加性高斯白噪聲（AWGN）。給出的陣列y和x分別代表觀察得到的圖像和原始圖像。矩陣去卷積問題可以表示為：</p>&

12、lt;p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中y，x和是代表y，x和數(shù)組的列向量，H是代表模糊算子的的矩陣。當(dāng)H為塊循環(huán)塊矩陣時，問題可以描述為：</p><p><b>　　（2）</b></p><p>　　其中，代表循環(huán)卷積，h代表線性時不變空間的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)（PSF）。在離散傅里葉變換域，公式（

13、2）可以寫為：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中，，和分別是y，h，x和的二維離散傅里葉變換，。這個系統(tǒng)的條件由H的最大和最小幅值之比決定。通常，包含了在零點(diǎn)或者零點(diǎn)附近的值，這些值會使得系統(tǒng)出現(xiàn)病態(tài)。</p><p>　　通常情況下，為了正則化卷積算子的反演，需要一個正交卷積算子的表示，從而能夠正確控制近似

14、。尤其是如果H是一個塊循環(huán)塊矩陣，那么H可以通過傅里葉基實(shí)現(xiàn)正交化。這就意味著，圖像的估計可以通過對H傅里葉正交化后的正交部分濾波得到，從而去逼近H逆。例如，使為一個濾波器，當(dāng)很大時，它接近于1，當(dāng)近似為0時，它很小，如此一來，就可任意定義。然后，就可以給出基于傅里葉的圖像估計。這又反過來證實(shí)了圖像可以由傅里葉表述估計得到。</p><p>　　然而，如果我們的圖像是一個分段光滑函數(shù)，那么由傅里葉表述得到的非線性

15、近似的衰減率隨著M增加呈現(xiàn)趨勢。對于這種類型的圖像，由小波表述得到的非線性近似的衰減率隨著M增加呈現(xiàn)趨勢。這就意味著站在去噪的角度評估恢復(fù)的圖像，基于小波的估計要比基于傅里葉的估計好。簡而言之，良好的圖像恢復(fù)能力就是在以下兩者中做權(quán)衡，一是能夠?qū)矸e算子反演進(jìn)行有效正則化的表述，二是通過使用算子的近似反演從有色噪聲中恢復(fù)圖像的表述。</p><p><b>　　B.歷史觀點(diǎn)</b></

16、p><p>　　去卷積的方法大致可以分為兩類：直接和迭代。</p><p>　　直接法：直接法中有一些是基于對奇異值分解(SVD)濾波，比如Tikhonov,截斷SVD（TSVD）和維納濾波器。這些直接法性能的提高可以歸結(jié)為含有基于小波的估計器。其中一項(xiàng)技術(shù)叫做Wavelet-Vaguelette去卷積（WVD）。在這項(xiàng)工作中，叫做Vaguelette的函數(shù)既可以去卷積同時又可以計算小波的系數(shù)

17、。但是，這個方案并不能對所有的卷積算子提供良好的估計。為了克服這個限制，Kalifa提出了對于特定卷積算子頻域匹配的小波包法。另外也有其它的基于小波的技術(shù)被相繼提出。</p><p>　　有人提出了一種改進(jìn)的基于小波的混合去卷積算法，它可以在任何不理想的卷積系統(tǒng)中工作。這種傅里葉—小波正則化去卷積（ForWaRD）的方法使用了傅里葉域的正則化反演，緊隨其后的是小波域噪聲收縮，從而減小圖像中空間局部特征的失真。Fo

18、rCuRD是曲線波方面的擴(kuò)展。</p><p>　　遞歸法：共軛梯度算法、Richardson-Lucy和Landweber都是比較基礎(chǔ)的遞歸算法。小波以及其它稀疏表述（比如曲線波）的使用就是在這些方法之上所做出的擴(kuò)展和改進(jìn)。其中有些技術(shù)使用了一范數(shù)變換域的稀疏性提高。這些方法可以較好地保留邊緣信息。</p><p>　　在直接法中，局部多項(xiàng)式逼近（LPA）算法在提高信噪比方面要比目前存在

19、最好的去卷積算法優(yōu)越，是最先進(jìn)的算法。在本文中，我們將只關(guān)注作為對比的直接法，因?yàn)橛行?yīng)用只需要直接法，而且有一些迭代法可以利用由這些技術(shù)提供的估計作為原始起點(diǎn)。</p><p>　　C.基于剪切波的去卷積</p><p>　　在本文中，我們提出了一種圖像去卷積的新方法，它在傅里葉域正則化反變換和基于剪切波域去除噪聲之間做權(quán)衡。非抽取型的剪切波變換把圖像分解到不同的頻帶，這些頻帶的支撐通過

20、一對關(guān)于原點(diǎn)和不同方向?qū)ΨQ的梯形域得到。上述方面提供了特殊的能力，那就是當(dāng)模糊圖像首先被投射到剪切波域時，能夠在各個方向上自適應(yīng)地正則化傅里葉反演。正則化反演之后，剪切波域的閾值將有色噪聲收縮。為了提高估計能力，我們研究了一個廣義交叉驗(yàn)證函數(shù)，從而在不明確計算噪聲方差的情況下去尋找最優(yōu)的剪切波域收縮閾值。</p><p><b>　　D.論文框架</b></p><p&g

21、t;　　在第Ⅱ部分，我們對剪切波變換做了簡單介紹。在第Ⅲ部分，我們講述了對剪切波域的有色噪聲閾值使用廣義交叉驗(yàn)證。在第Ⅳ部分，我們就所提出的去卷積方法做了細(xì)節(jié)討論。在第Ⅴ部分中，我們展示了一些仿真結(jié)果，并把結(jié)語放在了第Ⅵ部分中。</p><p><b>　?、?剪切波變換</b></p><p>　　在這部分中，我們將介紹剪切波變換，它是最近發(fā)展起來的一種多尺度多方向

22、表述。</p><p>　　考慮這樣一個二維仿射系統(tǒng)</p><p>　　其中是剪切矩陣和各向異性膨脹矩陣的積，當(dāng)時，</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中對于并且supp，是連續(xù)小波，對于并且supp，在上，的選取應(yīng)使。然后對于任意的都滿足表達(dá)式</p><p>

23、<b>　　，</b></p><p>　　其中，，。算子SH定義為，它是的連續(xù)剪切波變換。剪切波變換是以下三個變量的函數(shù)：尺度a，剪切系數(shù)s和轉(zhuǎn)換系數(shù)t。在頻域內(nèi)，有一組支撐： </p><p><b>　　。</b></p><p>　　因此，每個因子都在一對梯形上有支撐，并且在每個尺度上都關(guān)于原點(diǎn)和一條斜線對稱。&

24、lt;/p><p>　　離散剪切波的集合可以表示為：</p><p>　　其中，。對于正確的選擇，離散剪切波變換對于形成了帕斯瓦爾框架（邊界等于一的緊框架），也就是它們滿足以下特性</p><p><b>　　。</b></p><p>　　上面描述的離散剪切波提供了頻率平面的非均勻角覆蓋，且平面受限于有限離散設(shè)置。因此，用

25、下面的限制復(fù)述剪切波公式更為貼切：和。具體來說，定義，，其中，supp,supp。另外，我們假設(shè)當(dāng)時，，對于每個，時，。我們使，，當(dāng)時選擇滿足</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中XD代表D的指示函數(shù)。有了上面的函數(shù)和，我們可以推導(dǎo)出下面的結(jié)果。</p><p>　　定理1：使，。那么對于，的剪切波和 一

26、起構(gòu)成了帕斯瓦爾框架，其中。根據(jù)和可以得到濾波器和，從而和也可以計算出來，因?yàn)椋渲惺欠较驗(yàn)V波器。為了簡化符號，我們?nèi)サ袅松蠘?biāo)，并且通過重新定義參數(shù)使0和1之間的差距減小，從而使基數(shù)變?yōu)閮杀丁Ｒ粋€M-通道的濾波器組可以用文獻(xiàn)[44]中提到的技術(shù)實(shí)現(xiàn)，其中的濾波器與相對應(yīng)。但是導(dǎo)致的結(jié)果就是它的實(shí)現(xiàn)對于的圖像來說有的復(fù)雜度。</p><p>　　值得注意的是，像連續(xù)剪切波那樣，每個因子都由一對梯形支撐，每個梯形都包

27、含于滿足拋物線擴(kuò)展屬性且在近似為的集合中。隨著，它們的支撐變得越來越細(xì)，每個因子也表現(xiàn)出高度的方向敏感性，因?yàn)樗鼈兊姆较蚴茄刂甭蕿榈闹本€。由這些特性我們可以推導(dǎo)出下面的定理。</p><p>　　定理2：使x為且不在分段曲線上，為使用剪切波擴(kuò)張中的M最大系數(shù)得到的x近似構(gòu)造，有。 這個結(jié)果的重要性是當(dāng)時，基于剪切波估計將得到MSE的近似率為，其中為含噪圖像的噪聲強(qiáng)度。（這可以通過選取一個閾值，從而由最大

28、的含噪剪切波系數(shù)恢復(fù)出來。）相似地，當(dāng)時也可以得到小波MSE的近似率為。</p><p>　　剪切波變換與曲線波變換和輪廓波變換有相似之處。事實(shí)上，剪切波和曲線波在數(shù)學(xué)上是使用圖像的M最大系數(shù)提供率的兩種系統(tǒng)。曲線波的空間頻域劃分和剪切波的表述在理論上是完全不同的，但是曲線波的實(shí)現(xiàn)卻和剪切波或者輪廓波幾乎一樣。</p><p>　　通過改變母小波的支撐以及擴(kuò)張矩陣和可以實(shí)現(xiàn)不同的離散剪切波

29、分解。這些改變可以產(chǎn)生由不同梯形區(qū)域支撐的不同空間頻域劃分。當(dāng)在一個非抽取的形式中完成時，剪切波變換會產(chǎn)生一個高度冗余的分解，其中包含了成對梯形區(qū)域的總數(shù)。</p><p>　　對于去卷積使用剪切波的這種冗余來實(shí)現(xiàn)的一個優(yōu)點(diǎn)就是它可以去獨(dú)立評估每個帶有不同量正則化的方向頻帶。之前沒有人做過此項(xiàng)工作并且通過當(dāng)下的曲線波和輪廓波也無法實(shí)現(xiàn)。</p><p>　　Ⅲ.廣義交叉驗(yàn)證（GCV）<

30、;/p><p>　　在這一部分中，為了減小噪聲我們講述一種基于GCV函數(shù)的剪切波閾值方案。這個GCV方案的主要優(yōu)點(diǎn)就是在不知道噪聲方差的情況下也可以得到幾乎最優(yōu)的閾值。它僅僅依賴于數(shù)據(jù)并且可以根據(jù)數(shù)據(jù)自動調(diào)整收縮參數(shù)。在文獻(xiàn)[48]-[50]中提出了一種相似的用于小波閾值的GCV方法。注意，盡管我們建議使用GCV函數(shù)，但是使用新的SURE方法也是可行的。</p><p><b>　　

31、假設(shè)</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中向量y,x和分別代表觀察到的圖像，原始圖像和彩色噪聲，假設(shè)它們都為二階平穩(wěn)（也就是說，均值是常數(shù)，兩點(diǎn)之間的相關(guān)性僅依賴于它們之間的距離）。對于相應(yīng)的閾值，定義軟閾值函數(shù)在時等于，否則為0。我們將會證明幾乎最優(yōu)的閾值可以通過求GCV函數(shù)的最小值得到，GCV函數(shù)基于每個尺度和每

32、個方向。</p><p>　　正如小波的例子一樣，為了得到和文獻(xiàn)[50]中相似的結(jié)果，對于剪切波系數(shù)來說沒有必要在任何時刻都是不相關(guān)的，但是噪聲必須是二階平穩(wěn)的。如果噪聲的過程是平穩(wěn)的，那么使用剪切波的多尺度和多方向框架，我們可以得到下面的引理。</p><p>　　引理1：如果代表在尺度，方向，位置k上隨機(jī)向量的剪切波系數(shù)，那么系數(shù)的方差僅取決于尺度和方向。</p><

33、;p>　　證明：它來自于下面的事實(shí)，就是我們使用一組帶有合適方向的濾波器，如果是一個離散平穩(wěn)隨機(jī)過程，其輸入為時不變?yōu)V波器，對應(yīng)于尺度和方向，那么其輸出為和的卷積，同樣也是平穩(wěn)的。</p><p>　　通過引理1，平穩(wěn)相關(guān)噪聲在各個尺度和方向上的剪切波變換都是平穩(wěn)的。我們可以使用這個性質(zhì)為不同分辨率和不同方向選取不同的閾值。如果代表y 在尺度和方向剪切波系數(shù)的向量，那么我們可以寫出</p>&

34、lt;p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中是在尺度和方向上剪切波系數(shù)的個數(shù)，L是剪切波系數(shù)的總個數(shù)，并且 （7）</p><p>　　因?yàn)椋?）中的元素都為正，所以使均方差或者風(fēng)險函數(shù)最小化就相當(dāng)于對最小化。通過與[50]相似的結(jié)論可以推導(dǎo)出下面的GCV函數(shù)：<

35、;/p><p><b>　?。?） </b></p><p>　　其中是被置零的剪切波系數(shù)的總個數(shù)。我們現(xiàn)在有以下的結(jié)論。</p><p>　　定理3：對于在尺度和方向上的最小風(fēng)險閾值來說，的最小值接近最優(yōu)。</p><p>　　因此，對于每個和使用可以使最小的值，那么基于剪切波的去噪估計就很可能接近于理想的無噪聲污染圖像

36、。</p><p>　　使用非下采樣剪切波變換實(shí)現(xiàn)的一個重要特征就是它使得近似方法的應(yīng)用變得容易，例如基于GCV函數(shù)。一個下采樣變換可能會引起系數(shù)的個數(shù)隨著層數(shù)增加而減少，導(dǎo)致由單獨(dú)的GCV函數(shù)最小化得到的閾值與在各個頻帶上對風(fēng)險函數(shù)最小化得到的真實(shí)閾值不符合。</p><p>　?、?基于剪切波的去卷積</p><p>　　我們確立了當(dāng)圖像被彩色噪聲污染時，能夠得

37、到較好的圖像估計的方法，現(xiàn)在就把重心放在如何把這種方法作為去卷積的一部分。因?yàn)槲覀兊哪：龍D像是由（2）描述的，那么一個合適的估計就可以通過對由離散傅里葉域得到的卷積算子進(jìn)行正則化。使用下面的正則化反演算子：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　對于一些正則化系數(shù)，在傅里葉域的圖像估計由下式給出，</p><p>&l

38、t;b>　?。?0）</b></p><p>　　其中。這種類型的正則化通常叫做Tikhonov—正則化。當(dāng)PSD的估計可以通過文獻(xiàn)[54]中的方法計算出來時，基于維納的算法可以通過下面的式子實(shí)現(xiàn)：</p><p><b>　?。?1）</b></p><p>　　其中，是當(dāng)時圖像的PSD估計。</p><

39、p>　　圖1：對于不同的a和s值，剪切波的頻域支撐</p><p>　　利用剪切波分解的優(yōu)點(diǎn)，我們可以適應(yīng)性地調(diào)整正則化參數(shù)使其最適合各個頻率支撐的梯形區(qū)域。使為剪切波濾波器在給定的尺度和方向上的離散傅里葉變換。在傅里葉域，對于給定的正則化參數(shù)，圖像估計的剪切波系數(shù)可以由下式計算：</p><p><b>　　其中。</b></p><p&g

40、t;　　由于存在有色噪聲，去卷積問題剩下的部分就轉(zhuǎn)化為去噪問題。這可以通過GCV方法在事先不知道噪聲方差的情況下，對估計的剪切波系數(shù)進(jìn)行閾值處理解決。使用GCV方法的一個重要優(yōu)點(diǎn)就是在傅里葉正則反變換（FRI）之后，它可以根據(jù)數(shù)據(jù)自動適應(yīng)收縮參數(shù)。在圖2中我們總結(jié)了基于剪切波的去卷積方法。</p><p>　　使為的剪切波系數(shù)經(jīng)過閾值處理之后剪切波變換的反變換結(jié)果。我們希望選取一個，使得基于剪切波的均方差（MSE

41、）最小。然而，因?yàn)閤不知道，就是使代價函數(shù)最小的值:</p><p>　　圖2：傅里葉—剪切波正則化去卷積</p><p>　　其中，是y的均值，并且求和值已經(jīng)把所有的從到的和值涵蓋在內(nèi)了。換句話說，我們選擇的可以使得估計的與觀察到的y一致，y是基于在每個頻率指數(shù)上通過近似于的頻傳對做權(quán)衡。這只是代價函數(shù)的一個擴(kuò)展。這個優(yōu)化函數(shù)假定噪聲方差是已知的。這不是問題，因?yàn)樵肼暦讲羁梢酝ㄟ^在y的小

42、波系數(shù)的最精細(xì)尺度上使用一個中值估計器就可以輕易估計出來。</p><p>　　在這個例子中，使用GCV對剪切波閾值做處理的優(yōu)點(diǎn)就是在各個位置和尺度上的基于的有色噪聲方差不需要估計。另外，基于GCV進(jìn)行閾值處理的方案相比較通過分解來估計噪聲方差的方案來說，能產(chǎn)生更好的結(jié)果。</p><p>　　對于，如果我們定義，那么對于每個閾值處理后的剪切波系數(shù)來說，較優(yōu)的可以通過最小化代價函數(shù)求得：&

43、lt;/p><p>　　其中，是的離散傅里葉逆變換。</p><p>　　在很多例子中都證實(shí)了使用優(yōu)化函數(shù)確定的值是很理想的。也可以采用L—曲線的方法去估計?？梢宰C明這種方法更加可靠而且不要求對噪聲方差進(jìn)行任何估計。使用優(yōu)化函數(shù)也是可行的,其中是H的正則化Tikhonov反演，I是單位矩陣。這種優(yōu)化函數(shù)在的精確度和給定數(shù)據(jù)y之間平衡，同時又反過來權(quán)衡理想化的反演算子與正則反演算子之間的差距。通

44、過對[46]使用相似的結(jié)論也可以得出廣義交叉驗(yàn)證函數(shù)。</p><p>　　我們把基于剪切波的去卷積算法的主要步驟總結(jié)如下：</p><p>　　基于剪切波的去卷積算法</p><p><b>　　對于和給出</b></p><p>　　使用剪切波濾波器并且對Y使用正則濾波器（10）或者（11），從而得到。</p&

45、gt;<p>　　基于剪切波收縮對使用GCV,從而得到。</p><p>　　對不同的重復(fù)上述步驟，直到對于每個和來說都是最小的。</p><p>　　找到每個可以使最小的剪切波系數(shù)之后，使用剪切波逆變換得到最終估計。</p><p>　　我們可以通過一系列可能的數(shù)值或者是最小化去尋找能夠使K最小的。</p><p>　　盡管我

46、們分別講述了正則化每個剪切波系數(shù)的大致情況，但是有時候?yàn)榱诵?，使用一個普通的正則化參數(shù)會更好。有種情況就是使用代價函數(shù)代替來實(shí)現(xiàn)算法的。</p><p><b>　?、?實(shí)驗(yàn)結(jié)果</b></p><p>　　在這一部分中給出了我們提出算法的結(jié)果，并且與最近的基于多尺度小波和類似小波的去卷積方法做了比較。在這些實(shí)驗(yàn)中我們使用提高信噪比（ISNR）測量方案的性能，所使用

47、的圖案如圖3所示。ISNR的定義如下：</p><p>　　對于一幅的圖像，BSNR定義為</p><p><b>　　其中是的均值。</b></p><p>　　圖3：本文中不同實(shí)驗(yàn)用到的圖像（a）Cameraman,(b)Barbara,(c)Lena,(d)Peppers</p><p>　　對于所有剪切波變換的實(shí)

48、現(xiàn)，我們在每個尺度上由粗到細(xì)分為1，8，8，16，16個方向，對應(yīng)于文獻(xiàn)[6]中實(shí)驗(yàn)相同的分解形式。除了對應(yīng)于粗糙尺度的輸出，我們對48個濾波器每個的輸出都使用了GCV收縮。實(shí)驗(yàn)證明每個尺度上方向的增加會使得估計結(jié)果更好。</p><p>　　在小波用于圖像去噪的例子中可以看出，基于維納的小波收縮濾波器在改善均方差方面要比硬/軟閾值好。通過基于維納的收縮，我們可以權(quán)衡小波系數(shù)和，其中是來源于另一個去噪估計的小波系

49、數(shù)，是尺度獨(dú)立的正則化參數(shù)。我們提出的方法通過使用一個類似的維納收縮濾波器提高性能。在本例中，帶有些許不同分解形式的剪切波系數(shù)通過最初基于剪切波的估計濾波。一些實(shí)驗(yàn)證明最終的估計大多數(shù)取決于最初估計的質(zhì)量，所以即使是用小波分解代替剪切波分解，也可以提供有效的估計。</p><p>　　在第一組實(shí)驗(yàn)中，Cameraman的圖像有9*9的運(yùn)動模糊。加性高斯白噪聲的方差選取由40dB的BSNR決定。在表Ⅰ的實(shí)驗(yàn)1一列下

50、列出了不同方法的ISNR的對比。基于剪切波的方法得到了7.89dB，比其它方法都要好。</p><p>　　表Ⅰ：不同實(shí)驗(yàn)的ISNR</p><p>　　在圖4中，我們展示了一些由實(shí)驗(yàn)1得到的不同尺度和方向上的和曲線。在文獻(xiàn)[17]中，傅里葉收縮之后，在各個尺度上估計出了有色噪聲的方差，用來收縮小波系數(shù)。相似地，我們可以在下面的剪切波濾波器的輸出來估計各個尺度和方向上的有色噪聲方差：<

51、;/p><p>　　圖4：實(shí)驗(yàn)1在不同尺度和方向上，和作為閾值的函數(shù)。藍(lán)線代表，紅線代表。（a），（b）,（c）。</p><p>　　閾值由確定，其中是尺度和方向都獨(dú)立的閾值。為了做對比，圖5中畫出了估計的和在實(shí)驗(yàn)1中通過最小化和得到的真實(shí)閾值。然而，有些時候估計的閾值曲線和通過最小化和得到的真實(shí)閾值曲線差別很大。</p><p>　　在圖6中我們展示了基于剪切波去卷

52、積的SNR指標(biāo)，并與作為BSNR的函數(shù)的ForWaRD和ForCuRD作對比。在這部分的驗(yàn)證中，我們使用了圖3（c）中的Lena圖像，并且加入了9*9的運(yùn)動模糊。如之前解釋，基于剪切波或者曲線波分解的估計衰減要比基于小波分解的估計快，因?yàn)閳D像噪聲強(qiáng)度的函數(shù)奇異光滑。圖6在衰減率方面，基于剪切波的去卷積算法和ForCuRD方案相對于基于小波的去卷積方案（ForWaRD）表現(xiàn)出了一致性。因?yàn)橹笜?biāo)使用了SNR代替了MSE測量，所以就期望基于剪

53、切波和曲線波的估計會衰減的慢一些，因?yàn)樗钱?dāng)給定BSNR時，作為噪聲強(qiáng)度的函數(shù)。</p><p>　　圖5：實(shí)驗(yàn)1中在不同尺度和方向上，通過最小化（黑）和（點(diǎn)線）得到的最小值和用[17]中的方法得到的（灰色）值。（a）在尺度有16個方向，（b）在尺度有16個方向,(c)在尺度有8個方向,(d)在尺度有8個方向。</p><p>　　第二組實(shí)驗(yàn)是使用Cameraman圖像進(jìn)行的，我們使用文獻(xiàn)

54、[42]中的實(shí)驗(yàn)手段。模糊算子的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)由下式給出：對于，有，噪聲方差為和。對于和，SNR的提高總結(jié)在表Ⅰ的實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3兩列中。同樣地，基于剪切波的去卷積算法在ISNR方面仍勝過其他算法。</p><p>　　圖6：作為BSNR的函數(shù)，F(xiàn)orSURE（黑線）、ForCuRD（灰線）</p><p>　　和ForWaRD（點(diǎn)線）的SNR指標(biāo)對比</p><p>　

55、　在第三組實(shí)驗(yàn)中，原始的Lena圖像加入了如下定義的高斯PSF模糊：</p><p>　　其中i,j=-5,...,5，K是歸一化常數(shù)，從而保證是單位模糊，是能夠決定模糊嚴(yán)重性的方差。在本實(shí)驗(yàn)中，我們選擇，噪聲方差，BSNR=40dB。仿真結(jié)果在表Ⅰ的實(shí)驗(yàn)4一列中。同樣地，我們所提出的方法比其他方法優(yōu)越。</p><p>　　在第五個實(shí)驗(yàn)中，我們使用了文獻(xiàn)[41]中的模糊濾波器。原始的Ba

56、rbara圖像在垂直方向和水平方向上分別被權(quán)重為的5*5濾波器模糊，并且摻雜有的AWGN。圖7顯示了由不同方法得到的圖像細(xì)節(jié)。同樣地，基于剪切波的方法得到了最優(yōu)的ISNR，比其他方法捕捉到了更多的細(xì)節(jié)。</p><p>　　根據(jù)圖6中基于剪切波算法噪聲的魯棒性，我們使用了與文獻(xiàn)[17]中類似的方法。在本例中，Peppers圖像有9*9的運(yùn)動模糊，加入了加性高斯白噪聲，BSNR=30dB。我們使用了相同的正則化參數(shù)

57、（并非是最優(yōu)的）測試ForWaRD方法（ISNR=3.91dB），F(xiàn)orCuRD方法（ISNR=4.53dB），LPA-ICI方法（ISNR=4.17dB），基于剪切波算法（ISNR=5.23dB）。圖8中展示了一些結(jié)果的細(xì)節(jié)。圖8（c）中是用三種算法實(shí)現(xiàn)的傅里葉正則反變換估計。這個實(shí)驗(yàn)是在噪聲壓縮的魯棒性方面所做的一個重要對比，也表明了當(dāng)正則化參數(shù)的選擇不是最優(yōu)時，基于剪切波的算法有很高的容錯水平。</p><p&

58、gt;　　圖9繪制了在不同的值時驗(yàn)證函數(shù)和。為了對比，也給出了的曲線。實(shí)驗(yàn)中我們使用了Peppers圖像作為對照，有9*9的運(yùn)動模糊，加入了加性高斯白噪聲，BSNR=40dB。結(jié)果表明在不知道噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的情況下，驗(yàn)證函數(shù)在求最優(yōu)的值方面和一樣有效。</p><p>　　圖7：Barbara圖像的去卷積實(shí)驗(yàn)細(xì)節(jié)。（a）原始圖像，（b）含噪模糊圖像，（c）ForWaRD估計，ISNR=1.12dB，（d）ForCuR

59、D估計，ISNR=1.03dB,(e)LPA-ICI算法，ISNR=1.0dB,(f)基于剪切波的估計，ISNR=1.74dB。</p><p>　　圖8：用Peppers圖像所做的去卷積實(shí)驗(yàn)細(xì)節(jié)。（a）原始圖像，（b）含噪模糊圖像，BSNR=30dB，（c）正則反變換估計，ISNR=-11.03dB，（d）基于（c）中結(jié)果所做的ForWaRD估計，ISNR=3.91dB，（e）基于（c）中結(jié)果所做的LPA-IC

60、I估計，ISNR=4.17dB，（f）根據(jù)（c）中結(jié)果所做的基于剪切波的估計，ISNR=5.23dB。</p><p>　　圖9：在不同的值時，（黑線），（灰線）和（點(diǎn)線）的曲線。為了說明目的，輸出值已經(jīng)做了調(diào)整。在最小值的位置用圈X做了標(biāo)記。</p><p><b>　?、?結(jié)論 </b></p><p>　　本文中我們提出了一種有效的基于剪

61、切波的去卷積算法，它借助于傅里葉變換去近似地對卷積算子求逆，并且使用冗余的剪切波表述提供圖像估計。對于邊緣分段光滑的圖像，剪切波變換的多尺度多方向特性相對于小波變化或者類似小波的變換有更好的估計能力。另外，我們在不知道噪聲方差的情況下使用廣義交叉驗(yàn)證函數(shù)，從而能夠?qū)τ诩羟胁ㄔ肼曢撝凳湛s自動決定閾值。事實(shí)證明這種方法要比目前最先進(jìn)的方法好，也就是之前提到的ForWaRD方法，并且指出了像剪切波這種多尺度多方向表述的嶄新研究方向。</

62、p><p>　　剪切波變換的新型多通道實(shí)現(xiàn)可以在估計卷積算子的反變換之前變?yōu)閳A周卷積，這樣就可以映射到剪切波域。這需要考慮到近似反演算子的正則化需要被控制在多尺度多方向基上。當(dāng)卷積算子很理想化時，那么卷積算子的求逆就不需要很近似，這項(xiàng)技術(shù)可以用于提供Vaguelette-Shearlet分解（VSD）估計，它類似于文獻(xiàn)[16]中提出的Vaguelette-Wavelet分解估計。同樣地，在卷積算子理想的情況下，這個技

63、術(shù)也可以很容易地提供基于Shearlet-Vaguelette分解的估計。</p><p>　　未來的一些研究方向或許可以參照我們的新方法。有很多復(fù)雜的方法已經(jīng)被提出來了，它們超越了使用閾值參數(shù)對小波系數(shù)進(jìn)行整理，比如基于隱馬爾科夫模型。如果能把這些技術(shù)應(yīng)用于剪切波域，那么很有可能在去卷積方面達(dá)到更好的效果。在點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)未知的條件下使用這種方法進(jìn)行盲去卷積，也一定非常有意義。</p><p&g