2014青島數(shù)學(xué)

1、<p>　　絕密★啟用并使用完畢前</p><p>　　2014年山東省青島市高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測考試</p><p><b>　　數(shù) 學(xué)（理科）</b></p><p><b>　　注意事項：</b></p><p>　　1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息</p>

2、<p>　　2．請將答案正確填寫在答題卡上</p><p>　　第I卷（選擇題，共50分）</p><p>　　一、選擇題（50分）（每小題5分，共10題）</p><p>　　1．若集合，則（ ）</p><p>　　A． B．或</p><p>　　C．

3、 D．</p><p>　　2．已知向量,,,則“”是“”的（ ）</p><p>　　A．充要條件 B．充分不必要條件</p><p>　　C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件</p><p>　　3．右圖是一容量為的樣本的重量的頻率分布直方圖，則由圖

4、可估計樣本重量的中位數(shù)為（ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p>　　4．雙曲線的漸近線方程為（ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p>　　5．執(zhí)行右圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（ ）</p><p>

5、;　　A． B． C． D． </p><p>　　6．函數(shù)圖象的一條對稱軸方程可以為（ ）</p><p>　　A． B． C． D． </p><p>　　7．過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則弦長（ ）</p><p>　　A．　　　 B．　　　C．　　　D．</p><

6、;p>　　8．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是（ ） </p><p>　　A． B． C． D．1</p><p>　　9．由曲線，直線所圍成封閉的平面圖形的面積為 （ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p>　　10．在實數(shù)集中定義一種運

7、算“”，對任意，為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)：</p><p><b>　?。?）對任意，； </b></p><p><b>　　（2）對任意，．</b></p><p>　　關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，有如下說法：①函數(shù)的最小值為；②函數(shù)為偶函數(shù)；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．</p><p>　　其中所有正確說

8、法的個數(shù)為（ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p>　　第II卷（非選擇題，共100分）</p><p>　　二、填空題（每小題5分，共5題）</p><p>　　11．已知（），其中為虛數(shù)單位，則 . </p><p>　　12．已知隨機變量服從正態(tài)分

9、布，若，為常數(shù),則 .</p><p>　　13．二項式展開式中的常數(shù)項為 .</p><p>　　14．如圖所示是一個四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為 .</p><p>　　15．已知函數(shù) ，，若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為 .</p><

10、p>　　三、解答題（共6個大題，16、17 、18、19題12分，20、21題13分）</p><p>　　16．在中, 分別是角的對邊，且.</p><p>　?。?）求的大小; （2）若，,求的面積.</p><p>　　17．年月“神舟 ”發(fā)射成功．這次發(fā)射過程共有四個值得關(guān)注的環(huán)節(jié)，即發(fā)射、實驗、授課、返回．據(jù)統(tǒng)計，由于時間關(guān)系，某班每位同學(xué)收看這四個

11、環(huán)節(jié)的直播的概率分別為、、、，并且各個環(huán)節(jié)的直播收看互不影響．</p><p>　?。?）現(xiàn)有該班甲、乙、丙三名同學(xué)，求這名同學(xué)至少有名同學(xué)收看發(fā)射直播的概率;</p><p>　　（2）若用表示該班某一位同學(xué)收看的環(huán)節(jié)數(shù),求的分布列與期望．</p><p>　　18．如圖幾何體中，四邊形為矩形，，，，，.</p><p>　?。?）若為的中

12、點，證明：面；</p><p>　?。?）求二面角的余弦值.</p><p>　　19．已知是等差數(shù)列，首項，前項和為.令,的前項和.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項和為，且，.</p><p>　?。?）求數(shù)列、的通項公式；</p><p><b>　?。?）證明：.</b></p><p>　　2

13、0．已知橢圓的中心為原點，離心率，其一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，若拋物線與直線相切．</p><p>　　（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；</p><p>　?。?）當(dāng)點在橢圓上運動時，設(shè)動點的運動軌跡為．若點滿足：，其中是上的點，直線與的斜率之積為，試說明：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．</p><p>　　21．已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函

14、數(shù)，且，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．</p><p><b>　　（1）求的極值；</b></p><p>　　（2）若，使得不等式成立，試求實數(shù)的取值范圍；</p><p>　?。?）當(dāng)時，對于，求證：． </p><p><b>　　參考答案</b></p><p><b

15、>　　1．C</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p><b>　　試題分析：因為，</b></p><p><b>　　所以.選.</b></p><p>　　考點：集合的運算,簡單不等式的解法.</p><p

16、><b>　　2．A</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析： 由已知，.若，則，成立；</p><p><b>　　若，則，</b></p><p>　　所以“”是“”的充要條件，選.</p><p>

17、　　考點：平面向量的平行，充要條件.</p><p><b>　　3．C</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于縱軸的直線橫坐標(biāo).</p><p>　　設(shè)中位數(shù)為，則將頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分

18、，則有，所以=.</p><p>　　考點：頻率分布直方圖，中位數(shù).</p><p><b>　　4．B</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：由得，所以漸近線方程為，故選.</p><p>　　考點：雙曲線的幾何性質(zhì).</

19、p><p><b>　　5．C</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：，滿足，執(zhí)行循環(huán)體；，</p><p><b>　　滿足； ，</b></p><p><b>　　滿足， ，</b>&

20、lt;/p><p><b>　　滿足， ，</b></p><p>　　不滿足，退出循環(huán)，輸出．</p><p><b>　　故選.</b></p><p>　　考點：算法與程序框圖</p><p><b>　　6．D</b></p><

21、p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：化簡，可得，函數(shù)的對稱軸為即，當(dāng)時，，</p><p><b>　　故選.</b></p><p>　　考點：三角函數(shù)的倍半公式，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).</p><p><b>　　7．A </b></

22、p><p><b>　　【解析】</b></p><p><b>　　試題分析：如圖所示</b></p><p><b>　　∵分別為圓的切線，</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∵，

23、，∴，</b></p><p><b>　　又∵，在中，，</b></p><p><b>　　∴，∴.</b></p><p><b>　　故選．</b></p><p>　　考點：直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理</p><p><b&

24、gt;　　8．D</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：畫出可行域，如圖所示. </p><p>　　表示可行域內(nèi)的點與定點連線的斜率，</p><p>　　觀察圖形可知的斜率最小為，故選.</p><p>　　考點：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，直

25、線的斜率計算公式.</p><p><b>　　9．B</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：如圖所示，由曲線與直線的交點為.方法一：則封閉的平面圖形的面積為.</p><p><b>　　方法二：.</b></p>

26、<p>　　考點：定積分的簡單應(yīng)用</p><p><b>　　10．C</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：由題意可知.</p><p>　　所以由，故，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立，知①正確；</p><p>　　由故是偶

27、函數(shù)，知②正確；</p><p>　　由，則即，故，③不正確.</p><p><b>　　綜上知選.</b></p><p>　　考點：函數(shù)的奇偶性，基本不等式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，新定義問題.</p><p><b>　　11． </b></p><p><b

28、>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：因為所以.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得，，</p><p><b>　　故．</b></p><p>　　考點：復(fù)數(shù)的四則運算，復(fù)數(shù)相等的充要條件.</p><p><b>　　12． </b></p><p>

29、;<b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：由正態(tài)曲線的對稱軸為，因，故，</p><p><b>　　所以，答案為.</b></p><p><b>　　考點：正態(tài)分布</b></p><p><b>　　13．</b></p&g

30、t;<p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：的展開式的通項，</p><p><b>　　令可得，</b></p><p><b>　　則常數(shù)項為.</b></p><p>　　考點：二項式展開式的通項公式</p><

31、;p><b>　　14．</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：觀察三視圖可知，該四棱錐底面為直角梯形，有一側(cè)面垂直于底面，幾何體高為，幾何體體積為,故答案為．</p><p>　　考點：三視圖，幾何體的體積.</p><p><b>　

32、　15．或</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：對任意的，都有成立，即.觀察的圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)；</p><p><b>　　因為，</b></p><p><b>　　所以</b></p><

33、p><b>　　所以，，解得或，</b></p><p><b>　　故答案為或．</b></p><p>　　考點：分段函數(shù)，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì).</p><p>　　16．（1）；（2）.</p><p><b>　　【解析】</b></p>&l

34、t;p>　　試題分析：（1）由可變形得到，</p><p>　　，即，根據(jù)即得所求.</p><p>　　（2）分析已知條件，注意應(yīng)用余弦定理得到，求得.</p><p>　　解得本題，巧妙地利用“整體觀”，簡化了解題過程.</p><p>　　試題解析：（1）由得：</p><p><b>　　2分&

35、lt;/b></p><p>　　， 4分</p><p><b>　　，又</b></p><p><b>　　6分</b></p><p>　?。?）由余弦定理得：</p><p>　　，

36、 8分</p><p>　　又，， 10分</p><p><b>　　12分</b></p><p>　　考點：同角公式，兩角和的三角函數(shù)，余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式.</p><p><b>　　17．（1）.</b></p>&

37、lt;p><b>　?。?）的分布列</b></p><p><b>　　的期望.</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：（1）利用獨立重復(fù)試驗的概率計算公式；</p><p>　　（2）注意到可能取值為.利用獨立重復(fù)試驗的概

38、率計算公式分別計算</p><p>　　即得的分布列，進一步應(yīng)用期望的計算公式，即得所求.</p><p>　　解答本題，關(guān)鍵是概率的計算過程，綜合應(yīng)用事件的互斥、獨立關(guān)系，避免各種情況的遺漏.</p><p>　　試題解析：（1）設(shè)“這3名同學(xué)至少有2名同學(xué)收看發(fā)射直播”為事件,</p><p>　　則.

39、 4分</p><p>　?。?）由條件可知可能取值為.</p><p><b>　　即的分布列</b></p><p><b>　　10分</b></p><p>　　的期望. 12分</p><p>　　考點：獨立事件概率的計算，隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期

40、望.</p><p>　　18．（1）見解析；（2）.</p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：（1）連接交于點，得知為的中點，連接</p><p>　　根據(jù)點為中點，利用三角形中位線定理，得出，進一步得到</p><p><b>　　面.</b

41、></p><p>　?。?）首先探究幾何體中的線面、線線垂直關(guān)系，創(chuàng)造建立空間直角坐標(biāo)系的條件，應(yīng)用“向量法”，確定二面角的余弦值.</p><p>　　解答本題的關(guān)鍵是確定“垂直關(guān)系”，這也是難點所在，平時學(xué)習(xí)中，應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)化意識的培養(yǎng)，能從“非規(guī)范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標(biāo)系的條件.</p><p>　　試題解析：（1）連接交于點，則為的中點，

42、連接</p><p>　　因為點為中點，所以為的中位線，</p><p>　　所以 2分</p><p><b>　　面，面，</b></p><p>　　所以面 4分</p><p>　　（2）取中點，的中點，連接，則，</p>

43、;<p><b>　　所以共面</b></p><p><b>　　作于，于，則且</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　和全等，</b></p><p><b>　　和全等，</b>

44、;</p><p><b>　　，為中點，</b></p><p><b>　　又，，面</b></p><p>　　，面 6分</p><p>　　以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，設(shè)，則，</p><p><

45、b>　　，</b></p><p><b>　　設(shè)面的法向量</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由，令</b></p><p><b>　　8分</b></p><p>&

46、lt;b>　　設(shè)面的法向量</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由，令</b></p><p><b>　　10分</b></p><p>　　設(shè)二面角的平面角為，</p><p>　　則

47、 12分</p><p>　　考點：直線與平面、平面與平面垂直，二面角的定義，空間向量的應(yīng)用.</p><p>　　19．(1) ，；(2)見解析.</p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：(1)首先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知建立的方程，求得，寫出等差數(shù)列的通項公式；

48、進一步確定等比數(shù)列的公比，求得等比數(shù)列的通項公式.</p><p>　　(2)求得，將不等式加以轉(zhuǎn)化成，</p><p>　　即證：.注意到這是與自然數(shù)有關(guān)的不等式證明問題，故考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.</p><p>　　很明顯時，，因此用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，.</p><p>　　試題解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為</p>

49、<p><b>　　所以</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　解得，所以 4分</p><p><b>　　所以，</b></p

50、><p>　　所以 6分</p><p><b>　　(2)由(1)知，</b></p><p><b>　　要證，</b></p><p><b>　　只需證</b></p><p>　　即證：

51、 8分</p><p><b>　　當(dāng)時，</b></p><p>　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，</p><p>　　（1）當(dāng)時，左邊，右邊，左右，不等式成立 </p><p><b>　?。?）假設(shè)，</b></p><p

52、><b>　　則時，</b></p><p><b>　　時不等式成立</b></p><p>　　根據(jù)（1）（2）可知：當(dāng)時，</p><p><b>　　綜上可知：對于成立</b></p><p>　　所以 12分</

53、p><p>　　考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，數(shù)學(xué)歸納法.</p><p><b>　　20．（1）</b></p><p>　?。?）存在兩個定點，且為橢圓的兩個焦點，使得為定值，其坐標(biāo)為．</p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試

54、題分析：（1）根據(jù)拋物線與直線相切，聯(lián)立方程組并化簡， 利用，求得的值，進一步可得；</p><p>　　應(yīng)用離心率求，得解.</p><p>　　（2）設(shè)，，，利用“代入法”求得的軌跡方程為：.</p><p>　　由及確定的坐標(biāo)關(guān)系，</p><p><b>　　導(dǎo)出，作出判斷.</b></p><

55、;p><b>　　試題解析：</b></p><p><b>　　（1）由，</b></p><p><b>　　拋物線與直線相切，</b></p><p><b>　　2分</b></p><p>　　拋物線的方程為：，其準(zhǔn)線方程為：，</p

56、><p><b>　　離心率， ，</b></p><p>　　故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 5分</p><p><b>　?。?）設(shè)，，</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　當(dāng)點在橢圓上運動

57、時，動點的運動軌跡</p><p>　　的軌跡方程為： 7分</p><p><b>　　由得</b></p><p>　　設(shè)分別為直線，的斜率，由題設(shè)條件知</p><p>　　因此 9分</p><p><b>

58、　　因為點在橢圓上，</b></p><p><b>　　所以，</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　所以，從而可知：點是橢圓上的點，</p><p>　　存在兩個定點，且為橢圓的兩個焦點，使得為定值，其坐標(biāo)為．

59、 13分</p><p>　　考點：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的線性運算.</p><p>　　21．(1)當(dāng)時，沒有極值；</p><p>　　當(dāng)時，存在極大值，且當(dāng)時，.</p><p><b>　　(2).</b></p><p><b>　　(3)見

60、解析.</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：(1) 首先確定函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)數(shù)．為確定函數(shù)的極值，應(yīng)討論，的不同情況.</p><p>　　(2) 首先求出，將問題轉(zhuǎn)化成，使得成立，</p><p>　　引入，將問題可轉(zhuǎn)化為：</p><

61、p>　　利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，得解.</p><p>　　(3)當(dāng)時，，構(gòu)造函數(shù)，即，</p><p>　　應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，得到.</p><p>　　方法比較明確，分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，是解決問題的關(guān)鍵.</p><p>　　試題解析：(1) 函數(shù)的定義域為，．</p><p>　　當(dāng)時

62、，，在上為增函數(shù)，沒有極值； 1分</p><p><b>　　當(dāng)時，，</b></p><p><b>　　若時，；若時，</b></p><p>　　存在極大值，且當(dāng)時，</p><p>　　綜上可知：當(dāng)時，沒有極值；當(dāng)時，存在極大值，且當(dāng)時，

63、 4分</p><p>　　(2) 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，</p><p>　　，， 5分</p><p><b>　　，使得不等式成立，</b></p><p><b>　　，使得成立，</b></p><p>　　令，則問題可轉(zhuǎn)化為：</p>

64、;<p><b>　　對于，，由于，</b></p><p><b>　　當(dāng)時，，，，</b></p><p>　　，從而在上為減函數(shù)，</p><p><b>　　9分</b></p><p>　　(3)當(dāng)時，，令，則，</p><p>

65、<b>　　，且在上為增函數(shù)</b></p><p><b>　　設(shè)的根為，則，即</b></p><p>　　當(dāng)時，，在上為減函數(shù)；當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　由于在上為增函數(shù)，</b>&