談?wù)勛匀粚?shù).doc

1、<p><b>　　談?wù)勛匀粚?shù)</b></p><p><b>　　李巖</b></p><p>　　(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 08級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 赤峰 024000)</p><p>　　摘 要：是數(shù)學(xué)中的重要常數(shù)之一,數(shù)的起源與對數(shù)的發(fā)明有一定的聯(lián)系，也是歷史上第一個用極限來定義的數(shù)，通過對它的定義進行出發(fā)，

2、推導(dǎo)出的一個重要性質(zhì)，以及歐拉公式，進而描述了三角函數(shù)與雙曲函數(shù)的關(guān)系。</p><p>　　關(guān)鍵詞：自然對數(shù) </p><p>　　引 言：圓周率生活中很容易被找到或被發(fā)現(xiàn)，一個圓的周長與其直徑的比等于圓周率?？勺匀粚?shù)的底一直困擾著我們。高中數(shù)學(xué)中，有以為底的對數(shù)，即常用對數(shù)。教材中曾指出，如果底數(shù)是以為底的對數(shù)，我們稱之為自然對數(shù)，并且自然對數(shù)的底=……是一個無理數(shù)。</

3、p><p><b>　　一、自然對數(shù)的由來</b></p><p>　　似乎是來自純數(shù)學(xué)的一個問題。事實上，對于自然對數(shù)的底是有其生活原型的。在歷史上，自然對數(shù)的底與曾一個商人借錢的利息有關(guān)。</p><p>　　過去，有個商人向財主借錢，財主的條件是每借元，一年后利息是元，即連本帶利還元，年利率。利息好多喔！財主好高興。財主想，半年的利率為，利息

4、是元，一年后還元。半年結(jié)一次帳，利息比原來要多。財主又想，如果一年結(jié)次，次，……，次，……，豈不發(fā)財了？</p><p>　　財主算了算，結(jié)算次，利率為，元錢一年到期的本利和是：元，</p><p>　　結(jié)算次，元錢到一年時還元。</p><p>　　財主還想，一年結(jié)算次，其利息是：</p><p>　　這么大的數(shù)，年終肯定發(fā)財了?？墒牵斨?/p>

5、算了算，一元錢結(jié)帳次，年終還的金額只有：</p><p><b>　　元</b></p><p>　　這令財主大失所望。他以為，結(jié)帳次數(shù)越多，利息也就增長得越快。財主根本不知道，的值是隨的增大而增大，但增加的數(shù)額極其緩慢；并且，不管結(jié)算多少次，連本帶利的總和不可能突破一個上限。數(shù)學(xué)家歐拉把極限記作，，即自然對數(shù)的底。</p><p>　　二、自

6、然對數(shù)的定義、性質(zhì)、應(yīng)用</p><p>　　在代數(shù)里我們知道，除以外的任何正數(shù)都可以當(dāng)作對數(shù)的底。通常為了計算方便起見，我們采用以為底的對數(shù)，就是所謂常用對數(shù)。此外，在高等數(shù)學(xué)、科學(xué)技術(shù)里，我們還常采用以為底的對數(shù)。 的近似值是。 以為底的對數(shù)，叫做自然對數(shù)。數(shù)叫做自然對數(shù)的底。下面我們來看怎樣確定。</p><p>　　2.1 的一個定義</p><p>&l

7、t;b>　　如果級數(shù)</b></p><p>　　收斂，我們就把它的和記做。</p><p>　　我們先來證明級數(shù)是收斂的。</p><p>　　事實上，級數(shù)的次部分和是</p><p><b>　　容易看出，</b></p><p><b>　　而且</b>

8、;</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　應(yīng)用等比數(shù)列求和的公式，得</p><p>　　把和結(jié)合起來，就得到</p><p>　　從和可以看出，數(shù)列，，……，，……的各項逐次增大，但是它始終少于常量。根據(jù)現(xiàn)行代數(shù)課本里的定理，可以知道存在極限。這就證明了級數(shù)是收斂的。</p>&l

9、t;p><b>　　而</b></p><p><b>　　因此，。</b></p><p>　　我們再來計算的近似值. 取級數(shù)的第n次部分和作為近似值，那么誤差是</p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　所以</b>&l

10、t;/p><p><b>　　特別地，取，那末</b></p><p><b>　　我們只要對</b></p><p>　　進行簡單的計算，就得到</p><p><b>　　因此，從得到</b></p><p><b>　　從，并且應(yīng)用和得到&l

11、t;/b></p><p><b>　　因此，</b></p><p>　　用上面的方法，只要取充分大的的值，利用電子計算機可以得到的近似值到上萬位小數(shù)。</p><p>　　2.2 的一個性質(zhì)</p><p><b>　　也是無窮級數(shù)列</b></p><p>&l

12、t;b>　　的極限，就是：</b></p><p>　　這個公式的證明就略去。</p><p>　　2.3 e在其他方面的應(yīng)用</p><p>　　再來考察比更一般的級數(shù)</p><p>　　我們也可以證明這個冪級數(shù)，對一切實數(shù)是收斂的，而且它的和就是指數(shù)函數(shù)。 換句話說，指數(shù)函數(shù)可以展開成冪級數(shù)</p>&

13、lt;p>　　在里，如果取，就是級數(shù)；如果取，那末就得到。</p><p>　　如果用復(fù)數(shù)代替右邊的。所得到的級數(shù)也可以證明它是收斂的。我們就把它的和記做，稱做的次冪。例如，我們用表示虛數(shù)單位，表示實數(shù)，那么</p><p><b>　　我們已經(jīng)知道</b></p><p><b>　　因此，又可以寫做</b><

14、;/p><p><b>　　我們就得到</b></p><p>　　這是一個有用的公式，叫做歐拉公式。</p><p>　　在里，設(shè)或者，那末就得到和之間的一個重要關(guān)系：</p><p>　　上面兩式里出現(xiàn)的四個數(shù)：</p><p><b>　　，，，</b></p>

15、<p>　　都是數(shù)學(xué)里的重要的數(shù)。</p><p>　　應(yīng)用歐拉公式可以把三角函數(shù)用指數(shù)函數(shù)（但指數(shù)是復(fù)數(shù)）表示出來。 就是：</p><p>　　上面這些公式，我們可以證明如下：</p><p>　　事實上，在式里，用代替，就得到</p><p>　　把式和式相加再除以，就得到式；把代入就得到. 至于公式、、、，我們很容易從公

16、式、出發(fā)，利用三角函數(shù)間的關(guān)系得到。</p><p>　　除三角函數(shù)以外，利用指數(shù)函數(shù)還可以得到另外一些有用的函數(shù)——雙曲函數(shù)。雙曲函數(shù)也有六個，雙曲正弦，記做；雙曲余弦，記做；雙曲正切，記做；雙曲余切，記做；雙曲正割，記做；雙曲余割，記做（后面三個函數(shù)不常用）。它們的定義是：</p><p>　　上面這六個式子與公式——相比較，我們可以發(fā)現(xiàn)雙曲函數(shù)和三角函數(shù)有許多類似之點. 例如雙曲函數(shù)

17、之間有如下的關(guān)系：</p><p>　　等等，這里我們不一一列舉了。</p><p><b>　　三、總結(jié)</b></p><p>　　自然對數(shù)的出現(xiàn)，不但使一些數(shù)學(xué)問題迎刃而解，而且對數(shù)使得復(fù)雜的乘法運算可以轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚募臃?，只要查閱對?shù)表就可以了。還推出了一些重要的數(shù)學(xué)公式。同時，對數(shù)尺（這里就不介紹了）也應(yīng)運而生。當(dāng)然在計算器普及的今天，

18、已經(jīng)很少有人用這種東西了。</p><p><b>　　四、參考文獻</b></p><p>　　1 張景中.不可思議的e［M］.北京:科學(xué)出版社,2005，04. </p><p>　　2 高澤民.自然對數(shù)與自然界的復(fù)利律［J］.廈門教育學(xué)院學(xué)報，2005，7(3):62-63. </p><p>　　3 宋秉信.自然