檢測自由曲面等參數(shù)化取樣點的方法與研究-碩士學位論文_第1頁
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文檔簡介

1、<p>  碩 士 學 位 論 文</p><p>  檢測自由曲面等參數(shù)化取樣點的方法與研究</p><p>  Isoperimetric line sampling strategy for the inspection of sculptured surfaces</p><p>  作 者 姓 名: &

2、lt;/p><p>  工 程 領 域: 機械工程 </p><p>  學 號: </p><p>  指 導 教 師: 教授

3、 </p><p>  完 成 日 期: 年 月 </p><p><b>  大連理工大學</b></p><p>  Dalian University of Technology</p><p><b>  摘

4、要</b></p><p>  目的、方法、結果、結論</p><p>  隨著計算機的應用,運用數(shù)學方法定義自由曲線/曲面得到實際應用,大大促進了CAGD的產(chǎn)生和發(fā)展。應用B樣條提供的方法可以依照構造形狀的幾何信息來建立對應的曲線/曲面方程。這些數(shù)學模型可以在計算機上通過被執(zhí)行計算和處理,提取到曲線/曲面上大量的點和特征信息。在這過程中,通過計算機的分析和綜合,還可以實時顯示

5、并交互設計修改所定義的形狀所擁有的整體和局部信息。這一技術對數(shù)控加工、有限元分析、物理性能計算等起到了重要的推動作用。本文重點結合了基于不規(guī)則截面數(shù)據(jù)線的B樣條曲線/曲面對自由曲線/曲面重構進行了研究。</p><p>  關鍵詞:B樣條曲線;三坐標測量機;檢測;自由曲面</p><p>  Isoperimetric line sampling strategy for the insp

6、ection of sculptured surfaces </p><p><b>  Abstract</b></p><p>  Contents of the abstract. Times New Roman. </p><p>  Key Words:B-spline curve; CMM; Inspection; Sculptur

7、ed surfaces</p><p>  Fair fitting method 光順擬合 skinning method 逐層截面掃描數(shù)據(jù)法sectional points 截面數(shù)據(jù) interpolation 插值 computer-aided geometric design 計算機輔助幾何設計 parametric surfaces 參數(shù)曲面 B-splines B樣條 interaction tec

8、hniques交互技術</p><p><b>  目 錄</b></p><p><b>  摘 要I</b></p><p>  AbstractII</p><p><b>  1 緒論1</b></p><p>  1.1

9、研究背景及意義1</p><p>  1.2 自由曲面檢測的研究現(xiàn)狀3</p><p>  1.2.1 B樣條曲線/曲面的研究現(xiàn)狀3</p><p>  1.2.2 點到曲線/曲面最小距離的研究現(xiàn)狀4</p><p>  1.2.3 自由曲面檢測的研究現(xiàn)狀5</p><p>  1.3 論文主要研究

10、內(nèi)容及結構6</p><p>  2 B樣條曲線和曲面的基本理論8</p><p>  2.1形狀數(shù)學描述的幾種方法比較8</p><p>  2.2 B樣條曲線的計算9</p><p>  2.2.1 B樣條曲線方程及正算反算9</p><p>  2.2.2節(jié)點矢量的構造11</p>

11、;<p>  2.2.3基函數(shù)的計算16</p><p>  2.2.4B樣條曲線插值19</p><p>  2.3B樣條曲面的計算21</p><p>  2.3.1 B樣條曲面的定義21</p><p>  2.4 本章小結22</p><p>  3基于截面測量數(shù)據(jù)光順擬合B

12、樣條曲線23</p><p>  3.1三次均勻B樣條23</p><p>  3.2 最小二乘逼近24</p><p>  3.3 B樣條曲線的光順擬合算法24</p><p>  3.2.1 算法思想概述24</p><p>  3.2.2 數(shù)學模型25</p><p>

13、;  3.2.3 算法步驟25</p><p>  3.4 數(shù)值算例25</p><p>  3.4.1 不同線型的算例25</p><p>  3.4.2 開曲線和閉曲線26</p><p>  3.4.3 周期和非周期曲線26</p><p>  3.4.4 已知條件不同的曲線26</

14、p><p>  3.5 本章小結26</p><p>  4基于截面測量數(shù)據(jù)光順擬合B樣條曲面27</p><p>  4.1 B樣條曲面表達27</p><p>  4.2 B樣條曲面的光順擬合算法27</p><p>  4.2.1 算法思想概述27</p><p>  4.

15、2.2 數(shù)學模型27</p><p>  4.2.3 算法步驟與實例分析27</p><p>  4.3 數(shù)值算例27</p><p>  4.4 本章小結27</p><p>  5 基于輪廓特征的等參數(shù)線取樣方法在CMM測量中的應用28</p><p>  5.1 CMM檢測策略28<

16、/p><p>  5.2 數(shù)值算例28</p><p>  5.2.1 第二節(jié)一級題目28</p><p>  5.3自由曲線/曲面的誤差/光順性分析28</p><p>  5.4 本章小結29</p><p>  6 總結與展望30</p><p>  6.1 論文總結30&

17、lt;/p><p>  6.2 工作展望30</p><p><b>  結 論32</b></p><p>  參 考 文 獻33</p><p>  攻讀碩士學位期間發(fā)表學術論文情況35</p><p><b>  致 謝36</b></p>

18、;<p><b>  緒論</b></p><p>  機械制造業(yè)中涉及到大量的自由曲面的造型、制造與檢測,例如壓鑄的汽車車蓋、葉輪的葉片、飛機機翼等(如圖1.1),這些內(nèi)容是計算機輔助幾何設計(CAGD)領域的研究重點和關鍵所在。正因為這些自由曲面在CAD/CAM領域,特別是航空和汽車工業(yè),有著如此廣泛的應用,曲面造型所面臨的有關提高精度、檢測效率等新問題也愈發(fā)突出,因此,對

19、自由曲面的加工質(zhì)量進行高精度、高效率檢測變得越來越重要。</p><p>  圖1.1 自由曲面造型的工業(yè)應用</p><p>  Fig. 1.1 Industrial application of sculptured surfaces </p><p><b>  研究背景及意義</b></p><p>  在

20、實際的生產(chǎn)和生活中,常常需要建立三維物體造型,這些造型被廣泛應用于計算機輔助設計與制造、計算機動畫和藝術、人體模型、地表地形勘察、自然資源分布、還可以應用在軍事指揮和機械產(chǎn)品造型方面。對于規(guī)則幾何形狀,可以通過數(shù)學表達式描述;對于不規(guī)則、表面呈自由曲面的物體,則可以用分割成的曲面片表示,這些曲線曲面的形狀不依賴于坐標系的選取,利用直觀簡便的計算機輔助設計手段,就可以很輕松地離散成造型易于調(diào)整、拼接、擬合的幾何形狀。常用的曲線(曲面)有B

21、ezier曲線(曲面)和B樣條曲線曲面。</p><p>  自由曲面是指很難用簡單的代數(shù)和幾何公式表示的曲面,又稱雕塑曲面或自由曲面。在實際工程中,常常由于效率和時間等問題無法測得自由曲面上全部的數(shù)據(jù),因此需要通過一定的測量,獲得自由曲面上的一些離散點集(這些點被要求能反映該曲面的大致輪廓,稱這些點為型值點),再通過這些點集逼近生成光滑曲面。這其中涉及到曲面擬合、重構和拼接等多種方法。</p>&

22、lt;p>  目前對自由曲面的高精度檢測設備主要有兩種:一種是三坐標測量機(Coordinator Measuring Machine,簡稱CMM),另外一種是激光掃描為基礎的“點云”數(shù)據(jù)收集、曲面造型特征求精。而第一種方法因為具有測量精度高、設備造價低、通用性強的特點被廣泛應用于工程中。</p><p>  如圖1.2所示,CMM是一種采用點接觸測量坐標的儀器,它的工作原理是:沿著理論目標點的法矢方向靠近

23、加工曲面,獲得測量的接觸點坐標,認為加工誤差就是實際測量點和理論值在該方向上的投影距離。因此,為提高檢測效率,提高模擬曲面精度,使用CMM進行加工曲面檢測時,必須首先對自由曲面進行適當?shù)碾x散處理,構造能使測量逐步逼近過程能實現(xiàn)最終目的的合理的檢測樣本。判斷這個檢測樣本是否合理的指標有兩個:一是應在盡量反映自由曲面的加工情況下,同時還要兼顧檢測效率和檢測成本。</p><p>  圖1.2 掃描測量</p&

24、gt;<p>  Fig. 1.2 Scanning measurement</p><p>  自由曲面(曲線)的測量實際上是利用測量者采集的離散點去準確表達曲面(曲線)的原始幾何輪廓的過程:問題的重點在于如何分布曲面上測點的位置和數(shù)量,且高效地表達原形狀,這個問題部分:(1)當樣本數(shù)據(jù)數(shù)量相同時,哪種測點分布算法能最大程度地表達曲面的原始形狀; (2)當測量準確度相同時,哪種測點分布算法可以減

25、少采樣點數(shù)。雖然數(shù)據(jù)點取得越密集,插值法越具有收斂性,但在工程實踐中,都不希望很麻煩。人們希望能用盡可能少但又足以表達形狀的數(shù)據(jù)點,方便地生成所要求的曲線或曲面。</p><p>  由于自由曲面的設計和加工特點,采用CMM對自由曲面構建數(shù)學模型進行測量時,得到檢測點數(shù)量檢測點數(shù)量的確定除了和工藝能達到的精度和檢測設備置信度相關,還和曲面的面積大小呈一定正相關。因此,檢測點的分布應綜合考慮曲率變化和離散后曲面片的

26、相互制約關系??紤]到非均勻有理B樣條在表達曲面上有一定的特點,可以確定研究方法是對復雜自由曲面應采取分片測量,同時在幾何量測量中采用優(yōu)化搜索的方法,在誤差范圍內(nèi)確定最小不合格區(qū)域,去掉不合格區(qū)域后,再繼續(xù)搜索,直到達到最小距離的最大值,可以基本認為是實現(xiàn)了用盡量少的點最大限度的還原曲面形狀。</p><p>  自由曲面加工中的檢測取樣方法確定不僅可以實現(xiàn)曲面重構,為后續(xù)加工曲面提供曲面模型,還能根據(jù)微分算法的改

27、進方法求取加工自由曲面模型的誤差,通過修改原理論計算所得的刀位軌跡可以實現(xiàn)曲面加工的誤差補償,實驗證明,這種誤差補償具有良好的穩(wěn)定性和準確性。因此,這種技術未來一定會在我國科研領域以及航空航天、汽車、造船和模具等制造行業(yè)帶來深遠的影響。</p><p>  自由曲面檢測的研究現(xiàn)狀</p><p>  B樣條曲線/曲面的研究現(xiàn)狀</p><p>  20世紀80年代中

28、期以后,隨著CAGD成為一門應用廣泛的新興學科,B樣條作為該領域內(nèi)最有發(fā)展前景的方法而變成人們研究的重點。1991年,NURBS(Non-Uniform Rational B-Splines)方法作為國際標準化組織(International Standardization Organization, 也就是人們熟知的ISO)規(guī)定的定義產(chǎn)品形狀的唯一數(shù)學方法,用于表示用計算機處理的產(chǎn)品模型形狀的數(shù)據(jù)表示、設計和交換的工業(yè)標準。</

29、p><p>  歷史上對非均勻B樣條曲線和曲面有過突出貢獻的是Piegl和Tiller[1]。他們所著的The NURBS Book作為一本經(jīng)典之作詳細地介紹了有關曲線和曲面的基本理論,將Bezier-B樣條-NURBS作為學科主線,將理論和應用的研究不斷推進。國內(nèi)劉鼎元教授等[2]在1981年發(fā)表了有關Bezier曲線和B樣條曲線光順擬合法的研究,提出了便于實現(xiàn)交互設計的權因子。在這基礎上,劉鼎元又在文獻[3]中提

30、出次的Bezier曲面擬合的算法。Woodword[4]在1988年提出了一種針對截面測量數(shù)據(jù)進行B樣條插值曲面的算法,該算法主要針對的是擁有同樣個數(shù)的截面數(shù)據(jù)類型,尤其是封閉的自由曲面類型往往容易出現(xiàn)波動、折皺、光順性差等情況,因此該種方法適用范圍也很受限。</p><p>  綜合以上文獻可知,目前對自由曲線曲面的研究無論是用B樣條還是Bezier,無論是曲線還是曲面擬合,其關鍵主體步驟都是曲面重構看是否在允

31、許的誤差范圍內(nèi),因此構造數(shù)學模型,求取合理的定點進行插值擬合,計算擬合精度是本方向研究的關鍵。目前的研究工作仍面臨著以下問題:</p><p>  點到曲線/曲面的最小距離的算法仍需探討;</p><p>  如何構造合理的曲線/曲面數(shù)學模型進行重構曲線/曲面;</p><p>  擬合精度的判斷標準。</p><p>  1.2.2 點到

32、曲線/曲面最小距離的研究現(xiàn)狀</p><p>  重構自由曲線/曲面,其實就要檢測自由曲線/曲面擬合過程中和原模型之間的誤差是否在精度范圍內(nèi)的問題,這就勢必要涉及到求取點到參數(shù)曲線和曲面的最小距離的問題。求一個定點到曲線/曲面的最小距離是微分幾何學和CAD/CAM中的基本問題,在向量空間中,通常解決點到曲線/曲面的最小距離這一問題運用的方法是過該定點向參數(shù)曲線/曲面進行空間投影。它的應用范圍很廣泛,在曲面求交、數(shù)

33、控加工刀具軌跡規(guī)劃、曲面匹配、輪廓度誤差評定等領域中都有著十分重要的地位。因此,研究有效且精確的點到參數(shù)曲線/曲面最小距離的方法十分必要。</p><p>  牛頓迭代法是最初被提出來并廣泛使用的一種求點到參數(shù)曲線/曲面最小距離的方法。Mortenson在[5]中曾經(jīng)提出點到不同類型曲線/曲面的最小距離的度量方程,并采用牛頓-拉斐爾算法找到多項式的根求解方程。文獻[6]提出求點到參數(shù)曲線/曲面最小距離最關鍵的問題

34、是求解非線性方程組,作者提出通過構造輔助方程的方法可解。之后,文獻[7]提出了一種計算點到曲面的投影的二階算法作為改進。牛頓型求解點到曲線/曲面最小距離的方法具有計算精度高、速度快、算法思想簡單易懂、易于編程的特點,因此該類型在CAD/CAM領域被廣泛采用。但是,這些利用牛頓型的計算方法雖然有這么多優(yōu)點,但是由于對初始值很敏感,穩(wěn)定性和有效性并不是那么理想。在求解過程中要想實現(xiàn)對于最優(yōu)解的收斂必須使每一步迭代的初始值都是良好的,否則就會

35、在逐步迭代的過程中發(fā)生離散或者循環(huán)的情況,尤其是當目標解位于臨近邊界位置或端點位置時。</p><p>  為了解決這一問題,一方面,文獻[8]提供了一種實用的算法用于找到牛頓算法中良好的初值。另一方面,2001年Piegl和Tiller[9]給出了一種求取點到非均勻B樣條曲面(NURBS)投影的方法,該算法的思想是:將非均勻B樣條曲面分解成多個四邊形曲面片,將定點投影到最近的曲面片上,然后根據(jù)這個最近的曲面片還

36、原定點的參數(shù)值。之后,Ma和Hewitt在文獻[10]中提出了將NURBS曲線分割成Bezier曲線段、將NURBS曲面分割成Bezier曲面片的細分算法,這種方法算法的主要步驟有三步:首先分析出被分割出的曲線段或曲面片的控制頂點與定點的關系,之后根據(jù)Bezier曲線或曲面的強凸包性搜索出待定的曲線段/曲面片,最后通過分別計算定點到待定曲線段/曲面片上的待定點的距離,比較得出距離最小的點作為該待定曲線段/曲面片上的牛頓型迭代初始點。&l

37、t;/p><p>  很顯然,綜合以上文獻研究,求取點到參數(shù)曲線/曲面的投影或交點問題關鍵就在于兩個方面,第一,找到合適的初始值進行迭代;第二,用牛頓型迭代算法或其他迭代算法進行方程組計算精確求解。值得注意的是,這些初始值一般是通過離散的曲線/曲面獲得,如果同時存在多根時將無法保證能夠獲得全部的解。</p><p>  1.2.3 自由曲面檢測的研究現(xiàn)狀</p><p&g

38、t;  生產(chǎn)自由曲面的過程通常包括自動刀具軌跡生成、后置處理、數(shù)控加工以及最終的曲面檢測幾個步驟。而檢測復雜自由曲面的精確度主要受到以下幾個因素影響:計算機輔助制造系統(tǒng)算法誤差、機床傳動系統(tǒng)誤差以及在這過程中產(chǎn)生的測量誤差??傮w來說,目前檢測自由曲面的主要方法是利用三坐標測量機實現(xiàn)數(shù)字化模型來檢測和作者預期達到的CAD模型之間存在的誤差范圍。</p><p>  由于物體三維數(shù)據(jù)的獲取方法多種多樣,且應用計算機輔

39、助設計和制造的環(huán)境類型也很繁復,必須根據(jù)不同的輸入輸出要求,采取合適的方法,才能有效的進行被測物體表面尤其是復雜自由曲面的重構,滿足使用者的需求。現(xiàn)階段用于檢測自由曲面的方法,無論是在論文中提及到的,還是應用在工業(yè)生產(chǎn)中的,都是在生產(chǎn)曲面上進行離散樣本取點,通過估計和所構建的CAD模型之間的誤差來確定檢測結果。但是,這種取樣方法受限于生產(chǎn)曲面和具體實例曲面之間的差別。</p><p>  用三坐標測量機檢測的難點

40、主要在于取樣點的分布,這種方法一般來說三個步驟。首先,模擬出要被測量的特征,在普通測量數(shù)據(jù)基礎上添加輪廓誤差模式。其次,提出多種取樣模式。第三,構建替代曲面,比較它和所建模型之間的誤差,特征模型和替代曲面之間的最大誤差通常被用來確定取樣的方法。在機械工程領域,這種根據(jù)部分數(shù)據(jù)點還原設計的過程叫做逆向工程。逆向工程主要是針對傳統(tǒng)的正向設計過程而言的,從已存在實物模型入手,首先通過各種測量手段獲得數(shù)字化信息,然后利用曲面重構技術快速準確地建

41、立CAD模型,再在工程分析的基礎上,對產(chǎn)品進行數(shù)控加工。圖三為逆向工程系統(tǒng)流程圖。</p><p>  圖三 逆向工程流程圖</p><p>  目前文獻中已經(jīng)有很多關于原始形狀取樣的研究。這些研究的主題不外乎形狀誤差、取樣方法,和替代曲面算法的交叉。一些文章的主題跟三維曲線、平面、錐形、球形有關;還有一些寫的是柱形曲面。這些文獻都提出不同的形狀應該取不同的樣本點,且隨著曲面面積增大,取樣

42、數(shù)據(jù)精度提高。并且,統(tǒng)一的樣本對于具有幾何特征曲面上的點分布并不是必要的高效的取樣方法。</p><p>  曲面之間的誤差和曲面信息還原速度跟采樣點密度有關,在曲面曲率形同或相近的情況下,可以均勻劃分采樣點,在曲面曲率相差較大的情況下,曲率大的地方采樣點可以取密一些,曲率小的地方采樣點取稀疏一些,這樣既可以保證曲面的精度又可以提高還原曲面信息的效率。</p><p>  自由曲面檢測產(chǎn)生

43、的誤差主要來源有:XXXXXX。這些誤差和初始采樣點的確定,網(wǎng)格的劃分以及控制多邊形的構成方式有關。采樣點的初始位置選取對曲面形狀的誤差影響很大,同時對效率也有很大影響,因此,為避免之后沒你差值擬合后誤差積累越來越大,要合理控制初始數(shù)據(jù)點的選取。</p><p>  1.3 論文主要研究內(nèi)容及結構</p><p>  隨著現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展和數(shù)字化信息時代的到來,工業(yè)生產(chǎn)對自由曲面的重構、檢

44、測和造型等方面的要求與日俱增,一方面人們希望可以提供既實用簡單又幾何直觀的結果,另一方面對精度和效率的要求也越來越高。本文結合B樣條曲線/曲面的基礎知識,從一維曲線的構造、反求和擬合推廣到二維B樣條曲面的構造、反求和擬合,其中還包括了對擬合精度和效率(迭代次數(shù))作為評判指標的具體描述,從理論和仿真實驗上分別對自由曲面的重構進行了研究。本文的主體內(nèi)容和結構安排如下:</p><p>  第一章:緒論。首先闡述了本文

45、的研究背景和應用,突出了重構自由曲面的意義。之后總結了重構自由曲面的相關技術的研究現(xiàn)狀,最后梳理了本文的主要內(nèi)容和結構安排。</p><p>  第二章:基于截面測量數(shù)據(jù)光順擬合B樣條曲線。對B樣條曲線的基礎知識進行了簡要而全面的回顧,提出光順擬合B樣條曲線的關鍵的三個技術:B樣條曲線的構造、反求控制點、B樣條曲線的節(jié)點插入和在精度內(nèi)的擬合。重點研究了反求控制點時的三種邊界條件,以及點到曲線最小距離的算法,并通過

46、實驗對其適用性進行了分析和比較。</p><p>  第三章:基于上一章截面測量數(shù)據(jù)光順擬合B樣條曲線探討B(tài)樣條曲面的擬合。詳細推廣了B樣條曲面的構造、控制點反求和擬合技術。在這些關鍵技術中,由于擴展到二維曲面上給計算帶來很多難度,重點研究了點到曲面的最小距離算法,給出了數(shù)學模型和算法步驟,并通過大量算例實驗對本文所提出的光順擬合B樣條曲面的方法給出了針對性驗證。</p><p>  第四

47、章:提出了光順擬合B樣條曲面在模具檢測方面的應用。首先介紹了CMM的自適應采樣現(xiàn)金的發(fā)展狀況和意義,其次針對車燈模具進行了具體的實例分析,采用自由曲面的光順性分析誤差,最后利用MATLAB軟件進行汽車車燈外形輪廓的還原的仿真實驗,取得了較好的結果。</p><p>  第五章:總結與展望。最后一部分對全文進行了總結概括,基于存在的難點和實際問題給出了實事求是的展望,明確了未來本領域研究的方向和重點。</p&

48、gt;<p>  2 B樣條曲線和曲面的基本理論</p><p>  對于實體造型而言,曲線/曲面的理論發(fā)展和實際應用已經(jīng)比較成熟,這些理論主要集中在對曲線/曲面的數(shù)學描述方面。通過這些理論,可以實現(xiàn)對自由曲線/曲面的表示和設計。這一章就針對幾種主要的、在實際工程應用中使用較廣泛的表示方法進行系統(tǒng)的介紹、分析和比較。</p><p>  形狀數(shù)學描述的幾種方法比較</

49、p><p>  人類歷史上自由曲面造型的研究方法經(jīng)歷了很多重要的發(fā)展過程,為了更好地了解和比較這些方法,下面就列出形狀數(shù)學描述的發(fā)展主線。</p><p>  1963年弗格森(Ferguson)[11]最早提出利用含參數(shù)的矢函數(shù)方法來表示曲線曲面,他提出的弗格森雙三次參數(shù)曲面片是由三次參數(shù)曲線引出得來的,并且構造了關于曲面片的組合曲線段,求取四個角點的矢量位置關系,和兩個不同的切矢方向。&l

50、t;/p><p>  1964年孔斯(Coons)[12]提出了給定封閉曲線的四條邊界線段就可以定義一個曲面片的曲面描述犯法,這是一個針對一般化的方法,即推廣之后就變成了現(xiàn)代應用廣泛的Coons雙三次曲面片。</p><p>  1967年舍恩伯格(Schoenberg)[13]提出參數(shù)樣條函數(shù)表示方法,這種方法廣泛應用于曲線/曲面插值問題,然而卻無法調(diào)整造型的局部性狀自由度。</p&g

51、t;<p>  1972年法國雷諾(Renault)汽車公司的貝齊爾(Bezier)[14]提出了Bezier方法,他利用的是控制多邊形的方法來定義曲線,這種方法可以僅通過移動控制頂點的位置就輕松改變曲線的形狀,且形狀變化可控可測,完美地解決了整體造型的控制修改問題。這種簡單易行的方法廣泛被接受,并為CAGD的發(fā)展奠定了堅實基礎。</p><p>  同年發(fā)表的還有德布爾(de-boor)[15]給

52、出的一套關于B樣條的標準算法,在這基礎上美國的戈登(Gordon)及李森菲爾德(Riesenfeld)[16]提出了B樣條曲線及曲面。這種用B樣條曲線曲面描述形狀的方法不僅可以實現(xiàn)局部修改,還能保證參數(shù)連續(xù)性的連接。這之后,B樣條的研究形成了包含控制多邊形頂點的計算、節(jié)點的刪除與插入[17]、B樣條升降階[18]等一系列配套理論。</p><p>  在這之后,福斯普利爾(Versprille)[19]提出了將B

53、樣條理論推廣到非均勻B樣條的研究,后來隨著深入研究,NURBS作為國際認證的定義工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀的唯一國際標準,被多個知名的CAD/CAM軟件操作系統(tǒng)應用開發(fā),通過全球范圍的工業(yè)生產(chǎn)實踐應用,有力地推動了自由曲面造型的實際應用。</p><p>  雖然上述方法都具有歷史性的意義,對于推動CAGD的發(fā)展做出了突出貢獻,但是應該看到,這些方法并不是盡善盡美的,應該從客觀的角度來評判和比較這些方法,以便日后人們在實

54、際工業(yè)生產(chǎn)中能夠有針對性的采取不同方式構造形狀,提高生效效率和精度。</p><p>  表 0.1中列出的是對上述幾種形狀描述方法的比較,從此表中可以清晰地看出它們之間的方法、特點及不足之處。</p><p>  表 0.1 幾種形狀描述方法的比較</p><p>  Tab.2.1 Comparison of different methods of sha

55、pe description</p><p>  考慮到本文的主要內(nèi)容是依據(jù)是曲面造型的截面上的數(shù)據(jù)線構造B樣條曲線和曲面,因此下面著重介紹B樣條曲線和曲面的基本理論。</p><p>  2.2 B樣條曲線的計算</p><p>  2.2.1 B樣條曲線方程及正算反算</p><p>  P次的B樣條曲線方程如下:</p>

56、<p>  , (2.1) </p><p><b>  其中:</b></p><p>  , 為控制點或控制頂點(control points),又稱De-boor點。依次順序連接成折線,折線組成多邊形,叫做B樣條控制多邊形(control polygon)。</p><p>  ,是p次規(guī)

57、范B樣條的基函數(shù),它們每一個都被稱為規(guī)范B樣條,簡稱B樣條。是定義在非周期且非均勻節(jié)點矢量上的p次B樣條基函數(shù),規(guī)定節(jié)點矢量是包含個節(jié)點,且參數(shù)非遞減的序列U:</p><p><b>  (2.2)</b></p><p>  由節(jié)點矢量所決定的p次分段多項式就是p次多項式樣條。</p><p>  是參數(shù)曲線上對應參數(shù)u的點集。</p

58、><p>  在本文中,除特殊聲明外,一般規(guī)定節(jié)點矢量的前后重復節(jié)點為0和1,即 , 。</p><p>  在B樣條曲線的計算中,如果控制頂點和節(jié)點矢量U已知,要求曲線上的點,這個過程叫做“B樣條曲線的正算”,簡稱為“正算”。如圖2.1所示,計算B樣條曲線上的對于固定的u值的對應點步驟如下:</p><p>  首先,確定u在節(jié)點矢量中的位置,即確定u所在節(jié)點區(qū)間;&

59、lt;/p><p>  然后,計算非零的基函數(shù)值;</p><p>  最后,將非零的基函數(shù)值與它所對應的控制點相乘,再求和。</p><p>  圖 0.1 B樣條曲線正算實例</p><p>  Fig.2.1 Compute the B-spline curve from control points</p><p&

60、gt;  如果在B樣條曲線的計算中,已知條件為曲線上的若干型值點和節(jié)點矢量U,可以反求出控制頂點,再由控制頂點算出這條曲線上的全部點,這個過程恰好與正算是相反的,因此在B樣條技術中簡稱為“反算”。如圖2.2所示,根據(jù)插值點構造節(jié)點矢量的“反算”計算步驟如下:</p><p>  由若干型值點計算出對應的節(jié)點矢量U;</p><p>  根據(jù)一定的邊界條件反求出對應的控制頂點;</p&

61、gt;<p>  找出所有的非零基函數(shù);</p><p>  將非零基函數(shù)與對應的控制頂點相乘,再求和得到B樣條曲線上所有的點,插值得到該曲線。</p><p>  圖 0.2 B樣條曲線的反算實例</p><p>  Fig.2.2 Compute the B-spline curve from points on curve</p>

62、<p><b>  節(jié)點矢量的構造</b></p><p>  在B樣條曲線技術里,控制頂點、曲線上的型值點和節(jié)點矢量U為三個必要組成部分,其中和通常一個為已知量,一個為未知量。但無論實際應用時是哪一種情況,要確定一條B樣條曲線,必須要確定節(jié)點矢量U,進一步可求B樣條基函數(shù)。因此,根據(jù)已知量的不同,下面給出了兩種不同的確定節(jié)點矢量的算法:</p><p>

63、;  當已知曲線上的若干型值點,時,這些已知的點稱為插值點,此時節(jié)點矢量U由插值點計算得出。</p><p>  假設目標是構造一條p次B樣條曲線,已知一組數(shù)據(jù)點,,利用反算過程求取節(jié)點矢量時,一般是讓B樣條曲線的首末端點與所給數(shù)據(jù)點重合,讓內(nèi)部的數(shù)據(jù)點和曲線中間的節(jié)點一一對應,這樣曲線就被中間節(jié)點分成了一段一段的曲線段。因此,要實現(xiàn)這個步驟的關鍵問題是將數(shù)據(jù)點與B樣條曲線定義域內(nèi)的節(jié)點依次對應,這里將對應的節(jié)點

64、值定義為,,這是因為一般在曲線的首端點處存在p個值為0的重節(jié)點(因為構造的是p次B樣條曲線,這些重節(jié)點不在定義域內(nèi)),曲線的定義域為。這樣,就可以由個控制頂點和對應的節(jié)點矢量 確定一條p次B樣條插值曲線。</p><p>  這里要解決的關鍵問題是對一組有序的數(shù)據(jù)點進行參數(shù)化(parameterization),想要求出唯一的一條插值于數(shù)據(jù)點,的參數(shù)差值曲線,就必須先求出每個數(shù)據(jù)點多對應的參數(shù)值,即節(jié)點(knot

65、)。打個比方,數(shù)據(jù)點參數(shù)化的過程就可看成是物理中對運動軌跡的描述,參數(shù)u是時間節(jié)點,數(shù)據(jù)點的位置就是質(zhì)點到達的位置,每個位置都與時間參數(shù)一一對應。對于同一組數(shù)據(jù),采取相同的插值算法,但采取不同的參數(shù)化方法也會獲得不同的插值曲線。因此,在實際工程應用中,人們希望盡量使用能夠充分使用已知數(shù)據(jù)點,構造滿足曲線優(yōu)良性質(zhì)的參數(shù)化方法。</p><p>  目前對數(shù)據(jù)點進行參數(shù)化的方法主要有四種:向心參數(shù)化法、均勻參數(shù)化法(

66、又叫等距參數(shù)化)、積累弦長參數(shù)化法(簡稱弦長參數(shù)化)、Foley參數(shù)化法(又稱修正弦長參數(shù)化法)[20]。積累弦長參數(shù)化法可以看成是粗略的弧長參數(shù)化,這種方法使得插值曲線有很好的光順性,如圖 0.3表示的是三次B樣條曲線插值實例。</p><p><b>  (2.3)</b></p><p>  其中, 稱向前差分矢量,為弦線矢量。</p><p

67、>  圖 0.3 三次B樣條曲線插值實例</p><p>  Fig.2.3 Interpolation use accumulate chord length on curve</p><p>  這種參數(shù)化方法跟均勻參數(shù)化方法相比,克服了數(shù)據(jù)點不均勻但弦長完全分布均勻而造成的光順性不好的缺點,因此一直被實際應用中廣泛使用。在較多情況下,使用積累弦長參數(shù)化的方法生成的曲線可以看

68、成是粗略的用弧長進行的參數(shù)化,切矢模長比較接近單位長度,這也是它具有良好光順性的原因。值得注意的是,光順性除了與參數(shù)化方法有關,還與曲線插值多用方法有關,因此應當全面考慮。</p><p>  當數(shù)據(jù)點取得足夠密且曲線的插值法選取得當時,插值曲線會收斂在一定精度內(nèi),可以看成是近似弧長參數(shù)化的曲線。但是在工程實踐中,人們希望用盡可能少的點來盡量全面完整地表述曲線/曲面的形狀信息,因此,數(shù)據(jù)點也不能過多。</p

69、><p>  當控制頂點,為已知條件時,由控制頂點計算節(jié)點矢量U。</p><p>  用控制頂點構造節(jié)點矢量時,通常的做法是:為了使構造的曲線具有同的Bezier曲線的端點幾何性質(zhì),令曲線首末端點處的節(jié)點矢量重復度取。由前面公式(2.2)可知,,因此定義曲線的有效定義域為,因此,,。因為首末的重復節(jié)點對曲線的形狀控制影響不大,因此我們只需要根據(jù)已知的控制頂點求出對應的內(nèi)部節(jié)點即可。</

70、p><p>  這里介紹兩種常用方法。</p><p>  Riesenfeld法</p><p>  1980年,Cohen E, Lyche T, Riesenfeld R在文獻[21]中提出了一種將控制多邊形近似看成是樣條曲線的外接多邊形的方法,步驟為先令曲線段的每一段首末端點與控制頂點或控制多邊形的邊對應起來,然后再將它們展平開來并規(guī)范參數(shù)化,最后得到節(jié)點矢量U

71、的參數(shù)序列。</p><p>  設控制多邊形各邊長分別為, ,邊長總長度為 ,若是偶次的B樣條曲線,那么假定所有 個分線段連接點將和控制多邊形上除端點各 條邊以外的條邊的中點相對應;如果是奇次的B樣條曲線,則假定所有 個分線段連接點將和控制多邊形上除端點各 條邊以外的條邊的中點相對應,如圖 0.4所示。</p><p>  圖 0.4 奇次B樣條曲線段連接點對應的控制多邊形</p

72、><p>  Fig.2.4 Interpolation use accumulate chord length on curve</p><p>  下面以三次B樣條曲線為例,求取規(guī)范化后的節(jié)點矢量:</p><p>  首末端點的重復度為:</p><p><b>  (2.4)</b></p><

73、;p><b>  (2.5)</b></p><p><b>  (2.6)</b></p><p><b>  最后可得:</b></p><p><b>  (2.7)</b></p><p>  Hartley-Judd法</p>

74、<p>  在文獻[22]中提到一種不需要區(qū)分奇次和偶次B樣條曲線的求節(jié)點矢量的方法,這種方法是利用相應的控制多邊形順序p條邊的和代替相鄰頂點之間的距離,即:</p><p><b>  , (2.8)</b></p><p>  將所有節(jié)點求和后推導出:</p><p><b>  ,(2.9)</b>

75、</p><p>  曲線定義域范圍是: 。</p><p>  下面是用Hartley-Judd法構造的三次B樣條曲線, ,因此節(jié)點矢量為 ,定義域為 。</p><p>  把分段曲線段加在一起的總長度設為,有:</p><p><b>  (2.10)</b></p><p><b&g

76、t;  因為: ,</b></p><p><b>  有: , , </b></p><p>  由此可以得知,定義域內(nèi)所有節(jié)點矢量可求,其中 ,圖示如圖 0.5。</p><p>  綜上比較兩種已知控制頂點求節(jié)點矢量的方法,不難看出,用Hartley-Judd法比較合理,這是因為它既不用因此次數(shù)的奇偶性不同而可能導致相鄰分段連

77、接點的參數(shù)值差與相鄰控制頂點的距離不成正比,又因為用 個控制頂點來構造相應的B樣條曲線可以將曲線分成條曲線段,其中每段曲線段的形狀都只受若干頂點影響,這符合B樣條曲線的局部性,這樣在工程實際中避免了全局修改的麻煩。</p><p>  圖 0.5 Hartley-Judd法求節(jié)點矢量</p><p>  Fig.2.5 Determine the node vector with th

78、e Hartley-Judd method</p><p><b>  基函數(shù)的計算</b></p><p>  有很多等價的研究B樣條基函數(shù)的定義方法,它們都證明了B樣條基函數(shù)的一些重要性質(zhì),如下表 0.2是幾種B樣條基函數(shù)的定義方法和優(yōu)缺點比較。 </p><p>  表 0.2 幾種B樣條基函數(shù)的定義</p><p&

79、gt;  Tab.2.2 The definition of several kinds of b-spline basis function</p><p>  由于考克斯-德布爾算法采用的是遞推定義,在計算機運算中很容易被有效實現(xiàn),因此這種方法最為常用。下面就詳細介紹這種方法以及基函數(shù)的重要性質(zhì)。</p><p>  節(jié)點矢量是一個單調(diào)不減的實數(shù)序列,即在中每個節(jié)點都滿足, 。用 表

80、示第個次( 階)的B樣條的基函數(shù),其遞推定義為:</p><p><b>  (2.11)</b></p><p>  上述公式就被稱為Cox-de Boor遞歸公式。</p><p>  和Bezier曲線的基函數(shù)相比,B樣條的曲線也可以用作權重且更復雜。另外,它還具有兩個特性:</p><p>  節(jié)點細分(subd

81、ivision)了整個定義域;</p><p>  基函數(shù)是一個分段函數(shù),且不是在整個區(qū)間內(nèi)非零;</p><p>  事實上,每個B樣條基函數(shù)在附近的一個子區(qū)間內(nèi)非零,它的本質(zhì)是一個定義在實數(shù)軸上的分段多項式函數(shù),因此,B樣條基函數(shù)擁有很明顯的局部性質(zhì)。</p><p>  例如,如果有四個節(jié)點 ,, 和 , 節(jié)點區(qū)間被劃分成 , , ,0次基函數(shù)在有,在其它

82、區(qū)間是0;在 上成立,在其它區(qū)間為0;在上,在其它區(qū)間是0。如下圖顯示。</p><p>  圖 0.6 基函數(shù)的階梯函數(shù)表示</p><p>  Fig.2.6 Step function representation of basis functions</p><p>  當時,計算 的方法使用的是三角計算格式。所有節(jié)點區(qū)間列在左邊第一列,所有零次基函數(shù)

83、在第二列。其計算過程見下圖。</p><p>  圖 0.7 計算p次基函數(shù)的過程(三角形陣列)</p><p>  Fig.2.7 The process of calculation basis function of complex curve (triangular array)</p><p>  根據(jù)公式(2.11)可知,要計算后一列的數(shù),就必須知道

84、前一列這個系數(shù)對應的兩個三角區(qū)域內(nèi)的另外兩個系數(shù),由這樣遞推計算可以將所有的系數(shù)都計算完畢。</p><p>  例如,舉個例子,要計算 的值,首先要計算 和,由定義有:</p><p><b>  (2.12)</b></p><p><b>  帶入節(jié)點值有:</b></p><p><b

85、>  (2.13)</b></p><p>  因為在和上非零,而在和上非零,所以有一下三種情況討論:</p><p>  當,只有對的值有貢獻,因為,所以有:</p><p><b>  (2.14)</b></p><p>  當,和都對的值有貢獻,此時,,帶入得到:</p><

86、p><b>  (2.15)</b></p><p>  當,只有對的值有貢獻,此時,帶入:</p><p><b>  (2.16)</b></p><p>  對這三種情況畫圖進行分析,若將兩個相鄰的曲線段連接可以形成在節(jié)點上的曲線。確切地說,情況(1)和(2)在 處連接,情況(2)和(3)在 處連接,合成的曲線

87、是光滑的,這是因為節(jié)點向量中不存在重節(jié)點,若存在重節(jié)點則可能對曲線在該重節(jié)點處的可微性造成影響。具體重節(jié)點對B樣條曲線的影響可詳見第三章。</p><p>  綜上所述,運用遞推算法對基函數(shù)進行計算有兩個重要觀察:</p><p>  基函數(shù)在 個節(jié)點區(qū)間 , ,…, 上非零,即 在 上非零;</p><p>  在任何一個節(jié)點區(qū)間,最多有 個次基函數(shù)非零,即: ,

88、,…,和 。</p><p>  最后,研究一下上述式子中定義里兩項系數(shù)的意義。當計算時,使用的是和。在上非零。當時,是距離這個半開區(qū)間左端的距離,區(qū)間長度為,其中存在,它表示的是上述距離的比,見圖 0.8。當時非零,在此區(qū)間內(nèi)時,是距離這個半開區(qū)間右端的距離,是區(qū)間長度,而表示這兩個距離。由此可以得到結論,是和的線性組合,且存在兩個在上的系數(shù)使其滿足線性關系。</p><p>  圖 0

89、.8 基函數(shù)遞推定義中系數(shù)的幾何意義</p><p>  Fig.2.8 Geometric meaning of coefficient in basis function recursive definition </p><p><b>  B樣條曲線插值</b></p><p>  給定一組有序的數(shù)據(jù)點 , i=0,1,…,n, 即

90、已知在點集上的函數(shù)值,構造一個解析函數(shù)(其圖形為一曲線),使在原離散點上盡可能接近給定的值,這就是曲線擬合。假如這些點是取樣點,要求構造一條曲線順序通過這些型值點,這個過程就叫做對這些數(shù)據(jù)點插值,這些數(shù)據(jù)點叫做插值點,插值后構成的曲線就是插值曲線。把一維曲線插值推廣到二維曲面,就會產(chǎn)生類似的插值曲面等概念。在給定的n+1個節(jié)點上的函數(shù)值可以作n次插值多項式,但當n較大時,高次插值不僅計算復雜,而且可能出現(xiàn)龍格(Runge)現(xiàn)象。<

91、/p><p><b>  (2.17)</b></p><p>  增加新節(jié)點x,并且f(x)為(n+1)階可導時,有:</p><p><b>  (2.18)</b></p><p><b>  (2.19)</b></p><p><b> 

92、 (2.20)</b></p><p><b>  (2.21)</b></p><p>  用三次樣條函數(shù)S(x)逼近f(x)是收斂的,并且也是數(shù)值穩(wěn)定的,但其誤差估計與收斂定理的證明都比較復雜,有定理結論:</p><p>  設f(x)是[a, b]上二次連續(xù)可微函數(shù),在[a, b]上,以 為節(jié)點三次樣條插值函數(shù)S(x)滿足:

93、</p><p><b>  (2.22)</b></p><p><b>  其中。</b></p><p>  而利用三次樣條繪制的曲線不僅具有較好的穩(wěn)定性和收斂性,還有很好的光滑度,當節(jié)點逐漸加密時,其函數(shù)值在整體上能很好的逼近被插函數(shù),相應的導數(shù)值也收斂于被插函數(shù)的導數(shù),而不會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象,這就滿足了許多實際問題的

94、要求。如</p><p>  圖 0.9是一條光滑三次B樣條插值曲線實例</p><p>  圖 0.9 三次B樣條插值曲線實例</p><p>  Fig.2.9 Cubic B-spline interpolation curve instance</p><p><b>  B樣條曲面的計算</b></p

95、><p>  2.3.1 B樣條曲面的定義</p><p> ?。聵訔l曲面是曲線的推廣。在微分幾何里,仿照B樣條曲線的方程,可以把曲面表示成含雙參數(shù)和的矢函數(shù):</p><p><b>  (2.23)</b></p><p>  用基表示成一種特殊的矢函數(shù)形式,即:</p><p><b&g

96、t;  (2.24)</b></p><p>  其中,,,分別為以為變量的一組基函數(shù),表示曲線。各取它們一組相乘即可得到一組定義曲面的雙變量基函數(shù)。是系數(shù)矢量。</p><p>  在解析幾何里,這種用參數(shù)表示的曲線/曲面稱為參數(shù)曲線/曲面,和隱函數(shù)、顯函數(shù)等非參數(shù)形式相比具有以下優(yōu)點:</p><p>  (1) 幾何不變性:基不隨坐標變換而變化,因

97、此可通過某種變換處理達到表示結果簡便的效果;</p><p>  (2) 易于規(guī)定曲線/曲面的范圍,易于表示空間曲線/曲面;</p><p>  (3) 用基表示曲線/曲面易于計算,易于處理多值問題;</p><p> ?。?) 易于分片、分段描述曲線/曲面。</p><p><b>  2.4 本章小結</b><

98、;/p><p>  本章首先介紹了形狀數(shù)學描述的幾種方法,分別對它們的優(yōu)缺點進行了比較。然后,從B樣條的定義出發(fā)介紹了B樣條曲線的正算反算、節(jié)點矢量、基函數(shù)和插值。其中,詳細地介紹了B樣條曲線的基函數(shù),并給出了具體的計算例子,這是因為基函數(shù)決定了曲線/曲面的性質(zhì),而系數(shù)矢量決定的是曲線/曲面的形狀。最后,由于B樣條曲面是由B樣條曲線擴展而來的,曲面論上對定點的臨近性態(tài)定量描述都是由曲面上某條曲線引出的,而曲線和曲面實

99、際上就是分別用單參數(shù)和雙參數(shù)基表示的矢函數(shù)形式,因此基于這一事實,第三小節(jié)對曲面的定義和計算進行了介紹,并用matlab仿真給出了實際算例。</p><p>  基于截面測量數(shù)據(jù)光順擬合B樣條曲線</p><p>  在計算機輔助設計中,目前應用的主流的適用于曲線/曲面造型的方法包括:參數(shù)樣條函數(shù)、Bezier曲線/曲面和B樣條曲線/曲面。而在實際工程中,關于曲面造型的方法大致可以分成兩類

100、:模型設計和參數(shù)設計。</p><p>  (1) 模型設計:就是根據(jù)已有的模型外觀和一定的數(shù)據(jù)信息,用計算機在一定公差范圍內(nèi)根據(jù)這些數(shù)據(jù)點構造相應模型。例如:傳統(tǒng)的汽車工業(yè)中,車身造型一般先由美工師傅手工制作出車身的油泥模型,測得實物模型上的數(shù)據(jù)點,然后用樣條函數(shù)、Bezier曲面或B樣條曲面去擬合。還有一種利用光順曲線/曲面擬合出設計模型的型值點,這種情況可見于船體造型的線型數(shù)學放樣和航空航天的模線放樣。&l

101、t;/p><p> ?。?)參數(shù)設計:和模型設計相反,是設計人員先確定設計概念,可能只從一些粗略的方案中獲得原始參數(shù),然后根據(jù)這些參數(shù)決定曲線的控制多邊形頂點,再將這些多邊形線聯(lián)結成決定曲面的控制多邊形網(wǎng)格。例如:沖動式汽輪機中的葉輪一般就是屬這類造型,從頭設計。</p><p>  雖然前人給我們的研究開拓了寶貴的財富,但采用文獻[2]和文獻[4]兩種方法擬合曲面卻擁有一個共同的不足之處,那

102、就是它們對初始數(shù)據(jù)點都要求呈現(xiàn)規(guī)則的拓撲矩形陣列,針對截面測量所得的數(shù)據(jù)也要求測量點數(shù)完全相同,然而結合工程上我們遇到的實際問題來看,這樣顯然是不滿足那些測量數(shù)據(jù)不均勻的常見情況的。因此,結合本文將這兩種方法結合起來,提出了一種針對各截面測量數(shù)據(jù)可以不等的光順擬合B樣條曲線/曲面的方法,分析擬合精度并給出了大量的數(shù)值算例。</p><p>  考慮到在實際工程中,原始測量數(shù)據(jù)點是通過測量工具,例如三坐標測量機的測

103、量來采集的,這種方法本身就存在一定測量誤差,因此本文只給出了曲面造型的基本框架而并不要求該造型曲面嚴格地通過每個測量出的型值點,這樣擬合出來的曲面更符合工程實際要求。</p><p><b>  三次均勻B樣條</b></p><p>  三次均勻B樣條: http://www.docin.com/p-341163234.html</p><p&g

104、t;  http://www.docin.com/p-341163234.html</p><p>  重節(jié)點對B樣條曲線的影響</p><p>  http://blog.csdn.net/tuqu/article/details/5350481</p><p>  3.2 最小二乘逼近</p><p>  大厚書P56、320、<

105、/p><p>  3.3 B樣條曲線的光順擬合算法</p><p>  光順性(smoothness或fairness)是在CAGD中應用很廣泛但目前仍沒有統(tǒng)一的判據(jù)?;谖锢硇纬傻淖冃吻€總是光順的事實以及實際需要的角度,可以提出過同一組數(shù)據(jù)點且具有相同邊界幾何約束的兩條平面插值曲線相對光順性的四項判據(jù):</p><p>  a)二階幾何連續(xù)(指位置、切線方向與曲

106、率矢量連續(xù),簡稱曲率連續(xù),記為G2);</p><p>  b)不存在奇異點與多余拐點;</p><p>  c)曲率變化較?。?lt;/p><p><b>  d)應變能較小。</b></p><p>  這里的邊界幾何約束是指邊界條件中與參數(shù)無關的那些幾何信息,如切線方向和曲率,與參數(shù)有關的信息如切矢模長等不包含在

107、內(nèi)。將光順判據(jù)定位于幾何連續(xù)是因為二階參數(shù)連續(xù)并不能保證切線方向與曲率連續(xù),而其逆命題切線方向與曲率連續(xù)也不以一定是二階參數(shù)連續(xù)。</p><p>  對于空間曲線來說,其形狀由曲率函數(shù)與撓率函數(shù)及Frenet標架的連續(xù)性完全確定。就參數(shù)三次樣條曲線而言,曲率與Frenet標架是連續(xù)的,而撓率是不連續(xù)函數(shù)。考慮撓率因素,應計算在連接點處三階導矢的變化量是否過大。除此之外,就只能考慮曲率函數(shù)。因此,可以取其在兩個坐

108、標平面上的投影,并分別按平面曲線繪出曲率圖來分析和判斷光順曲線。Sabin(薩賓,參見施法中98,1968)曾經(jīng)提出,對曲率半徑隨弧長變化圖的頻率分析作為光順性的某個度量—占支配地位的頻率越低,曲線就越光順。法林(1988)在此基礎上給出定義:一條曲線是光順的,如果它的曲率圖是連續(xù)的且僅由一些單調(diào)段組成。</p><p>  3.2.1 算法思想概述</p><p>  自己確定一條三次

109、非均勻B樣條曲線,確定公差0.05。在原始曲線上選取粗糙的及個點,通過坐標獲取節(jié)點矢量并反求控制頂點。通過等弦長參數(shù)化法處理初始采樣數(shù)據(jù)點后,轉化成Beaier曲線,并求Beaier曲線段數(shù),離散選點,求得點坐標和下標,擬合曲線。將獲得的擬合曲線再進行離散,繪制擬合的B樣條曲線,并返回轉換后的Bezier曲線段數(shù)(因為兩個端點一定在擬合曲線上,所以不將其計算在內(nèi),以新的Bezier曲線段的每段端點為擬合點離散,因為Beaier曲線段數(shù)一

110、定,所以離散點數(shù)一定),獲取擬合曲線上的離散點,并計算各離散點到原始曲線的最小距離,查找最小距離中的最大值及其位置,判斷該值與公差0.05之間的大小關系。若滿足要求,中斷循環(huán);否則繼續(xù)插值。直到新擬合出來的曲線滿足公差,程序結束。稱擬合出來的新曲線叫替代曲線。</p><p>  3.2.2 數(shù)學模型</p><p> ?。?) B樣條曲線的構造</p><p>

111、  (2) B樣條曲線的反求</p><p>  求出節(jié)點矢量后,可以根據(jù)公式(2.1)給出個矢量方程,其中個控制頂點為未知量,方程如下:</p><p><b>  (2.25)</b></p><p>  由于未知量數(shù)多于方程個數(shù),因此式(2.25)沒有唯一解,要獲得唯一的控制頂點網(wǎng)格,這就需要添加個額外輔助方程。通常這些輔助方程是根據(jù)邊界

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