課程設(shè)計---基于重疊相加法圓周卷積的實現(xiàn)

1、<p><b>　　課程設(shè)計任務(wù)書</b></p><p>　　題 目：基于重疊相加法圓周卷積的實現(xiàn)</p><p><b>　　初始條件：</b></p><p>　　具備數(shù)字信號處理的理論知識；</p><p>　　具備Matlab編程能力；</p><p&g

2、t;　　分析重疊相加法的圓周卷積的原理；</p><p>　　提供編程所需要的計算機一臺</p><p>　　要求完成的主要任務(wù)：（包括課程設(shè)計工作量及其技術(shù)要求，以及說明書撰寫等具體要求）</p><p>　　1、獨立編寫程序?qū)崿F(xiàn)基于重疊相加法的圓周卷積</p><p>　　2、用Matlab驗證程序結(jié)果，并分析重疊相加法的圓周卷積的原理&

3、lt;/p><p>　　3、完成符合學校要求的設(shè)計說明書</p><p><b>　　時間安排：</b></p><p>　　一周，其中3天程序設(shè)計，2天程序調(diào)試</p><p>　　指導教師簽名： 年 月 日</p><p>　　系主任（或責任

4、教師）簽名： 年 月 日</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p><b>　　1 軟件基礎(chǔ)1</b></p><p>　　1.1 MATLAB介紹1</p><

5、;p>　　1.2 MATLAB的應用2</p><p><b>　　2 理論基礎(chǔ)3</b></p><p>　　2.1 圓周卷積原理3</p><p>　　2.2重疊相加法4</p><p><b>　　3 程序設(shè)計6</b></p><p>　　3.1 程序

6、設(shè)計思路6</p><p>　　3.2程序設(shè)計流程圖7</p><p><b>　　3.3方案比較8</b></p><p><b>　　4 程序代碼9</b></p><p>　　5 程序運行結(jié)果與分析11</p><p><b>　　心得體會12&l

7、t;/b></p><p><b>　　參考文獻13</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）的簡稱，是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件，主要用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算等領(lǐng)域。本次課程設(shè)計將通

8、過MATLAB軟件進行重疊相加法圓周卷積的設(shè)計，并對其具體過程進行分析。</p><p>　　關(guān)鍵詞：MATLAB 重疊相加法 圓周卷積1 軟件基礎(chǔ)</p><p>　　1.1 MATLAB介紹</p><p>　　MATLAB是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設(shè)計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非

9、線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學研究、工程設(shè)計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平。</p><p>　　Matlab和Mathematica、Maple并稱為三大數(shù)學軟件。它在數(shù)學類科技應用軟件中在數(shù)值計算方面首屈一指。MAT

10、LAB可以進行矩陣運算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接MATLAB開發(fā)工作界面、連接其他編程語言的程序等，主要應用于工程計算、控制設(shè)計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設(shè)計與分析等領(lǐng)域。</p><p>　　MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，并且MATLAB也吸

11、收了像Maple等軟件的優(yōu)點，使MATLAB成為一個強大的數(shù)學軟件。在新的版本中也加入了對C，F(xiàn)ORTRAN，C++ ，JAVA的支持?？梢灾苯诱{(diào)用，用戶也可以將自己編寫的實用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進行下載就可以使用。</p><p>　　MATLAB具有以下特點：</p><p>　　1.高效的數(shù)值

12、計算及符號計算功能，能使用戶從繁雜的數(shù)學運算分析中解脫出來；</p><p>　　2.具有完備的圖形處理功能，實現(xiàn)計算結(jié)果和編程的可視化；</p><p>　　3.友好的用戶界面及接近數(shù)學表達式的自然化語言，使學者易于學習和掌握；</p><p>　　4.功能豐富的應用工具箱，為用戶提供了大量方便實用的處理工具。</p><p>　　1.2

13、MATLAB的應用</p><p>　　MATLAB 產(chǎn)品族可以用來進行以下各種工作： 　　</p><p><b>　　● 數(shù)值分析 　　</b></p><p>　　● 數(shù)值和符號計算 　　</p><p>　　● 工程與科學繪圖 　　</p><p>　　● 控制系統(tǒng)的設(shè)計與仿真 　　<

14、;/p><p>　　● 數(shù)字圖像處理 技術(shù) 　　</p><p>　　● 數(shù)字信號處理 技術(shù) 　　</p><p>　　● 通訊系統(tǒng)設(shè)計與仿真 </p><p>　　● 財務(wù)與金融工程 　　</p><p>　　MATLAB 的應用范圍非常廣，包括信號和圖像處理、通訊、控制系統(tǒng)設(shè)計、測試和測量、財務(wù)建模和分析以及計算生物學

15、等眾多應用領(lǐng)域。附加的工具箱（單獨提供的專用 MATLAB 函數(shù)集）擴展了 MATLAB 環(huán)境，以解決這些應用領(lǐng)域內(nèi)特定類型的問題。2 理論基礎(chǔ)</p><p>　　2.1 圓周卷積原理</p><p>　　對兩個N點序列和，除了可以做線性卷積外，還有一種很重要的卷積運算，就是圓周卷積。</p><p><b>　　令</b></p>

16、;<p>　　則圓周卷積結(jié)果長度不變，為N。</p><p>　　由上式可以得出圓周卷積與周期卷積的關(guān)系，就是有限長序列圓周卷積結(jié)果的周期延拓，等于它們周期延拓后的周期卷積。也就是說，周期卷積的主值序列，是各周期序列主值序列的圓周卷積。</p><p>　　圓周卷積的實現(xiàn)步驟如下：</p><p>　　若、分別是長度為N、M的序列則與線性卷積至多M+N

17、-1個非零值，如果L<M+N-1則周期延拓時必然會有一部分非零值發(fā)生混疊；只有當L>M+N-1時，周期延拓才不會發(fā)生混疊。</p><p>　　之所以討論用圓周卷積來計算線性卷積的條件，是因為圓周卷積可在頻域下利用DFT求得，從而可采用DFT的快速算法FFT來計算，這樣就可以利用FFT來計算線性卷積，大大提高運算效率。</p><p><b>　　2.2重疊相加法&l

18、t;/b></p><p>　　在實際應用中利用FFT來計算兩個序列的圓周卷積從而實現(xiàn)計算其線性卷積，但是常遇到的問題是參加卷積的兩個序列的長度相差較大，這樣長度小的序列就需要補很多的零點，這樣就需要打的存儲量，運算時間也會變長。所以常用到的解決方法有兩種，其中一種就是重疊相加法。</p><p>　　h(n)長度為N，x(n)長度為無限長，</p><p>

19、　　x(n)取M點，且與N盡量接近</p><p>　　重疊相加法的卷積示意圖如下：</p><p>　　重疊相加法的步驟如下</p><p>　?。?）將h(n)補零延長到L =M+ N -1，并計算長為L的FFT，得到 H(k)。</p><p>　　（2）分別將xk(n)補零延長到L =M+ N -1，并計算長為L的FFT，得到 Xk(

20、k)</p><p>　?。?）計算，并求長為L的反變換，即</p><p>　?。?）將yk(n)的重疊部分相加，最后得到結(jié)果為</p><p><b>　　3 程序設(shè)計</b></p><p>　　由以上原理可以設(shè)計程序利用FFT算法來實現(xiàn)基于重疊相加法的圓周卷積。</p><p>　　3.1

21、 程序設(shè)計思路</p><p>　　函數(shù)juanji(x1,x2,L)的設(shè)計：</p><p>　　x1(n)進行N點快速傅里葉變換得X1k</p><p>　　x2(n)進行N點快速傅里葉變換得X2k</p><p>　　進行頻域相乘Yk=X1k*X2k</p><p>　　對Yk進行反變換得到時域卷積結(jié)果y(n)&

22、lt;/p><p>　　函數(shù)chongdie（x,h,N）的設(shè)計：</p><p><b>　　方案1：</b></p><p>　?。?）首先取長序列x(n)進行分段的長度N，以使其分段后的長度與較短的相近</p><p>　?。?）確定圓周卷積的周期L</p><p>　?。?）填充序列使得循環(huán)中

23、對序列的索引不會超出范圍</p><p><b>　　（4）確定分段數(shù)K</b></p><p>　?。?）對序列進行分段調(diào)用juanji()函數(shù)計算圓周卷積</p><p><b>　?。?）各段重疊相加</b></p><p>　　（7）取出實際的輸出序列</p><p>

24、;<b>　　方案2：</b></p><p>　?。?）首先取圓周卷積的周期L（即進行L點的快速傅里葉變換）</p><p>　?。?）計算每一分段的大小N</p><p>　?。?）填充序列使得循環(huán)中對序列的索引不會超出范圍</p><p><b>　?。?）計算分段數(shù)K</b></p&g

25、t;<p>　?。?）對序列進行分段調(diào)用juanji()函數(shù)計算圓周卷積</p><p><b>　?。?）各段重疊相加</b></p><p>　　（7）取出實際的輸出序列</p><p>　　3.2程序設(shè)計流程圖</p><p>　　整體程序包含主程序與卷積函數(shù)、重疊相加函數(shù)兩大部分。函數(shù)juanji

26、()流程圖如下</p><p>　　此函數(shù)用于對X1和X2兩序列進行快速傅里葉變換后進行乘積，之后再進行反變換后恢復到時域結(jié)果。</p><p>　　chongdie（x,h,N）函數(shù)流程圖如下：</p><p>　　方案1： 方案2：</p><p><b>　　3.3方案比較&

27、lt;/b></p><p>　　方案1和方案2的區(qū)別在于：在方案1中由已知的長序列x(n)分段大小N、短序列長度M依據(jù)公式計算LN+M-1圓周卷積周期L。而在方案2中由已知的圓周卷積周期L、短序列長度M依據(jù)公式計算長序列x(n)的分段大小。</p><p>　　比較這兩種方案可以知道，方案1中如果L直接取L=N+M-1，則L的值不一定是2的n次方，而接下來的要進行的L點快速傅里葉變

28、換中，L的值需要為2的n次方才能正確計算。所以方案1的必須要求取恰當?shù)腘值以使L點滿足要求。方案2中可以直接取L為恰當?shù)闹祻亩鴿M足快速傅里葉變換的要求，所以方案2比方案1的適用范圍更大。</p><p><b>　　4 程序代碼</b></p><p><b>　　主程序：</b></p><p>　　x1=[1,2,3,

29、4,5,5,4,3,2,1];</p><p>　　x2=[1,0,1];</p><p><b>　　L=8;</b></p><p>　　y=chongdie(x1,x2,L);</p><p>　　s=1:10;subplot(2,2,1);</p><p>　　stem(s,x1)<

30、/p><p>　　r=1:3;subplot(2,2,2);</p><p>　　stem(r,x2)</p><p>　　u=1:13;subplot(2,2,3);</p><p><b>　　stem(u,y)</b></p><p>　　函數(shù)juanji()：</p><p

31、>　　function y=juanji(x1,x2,L)</p><p>　　if length(x1)>L %如果x1長度大于L則產(chǎn)生錯誤 </p><p>　　error('L must not be less than length of x1');</p><p><b>　　end &l

32、t;/b></p><p>　　if length(x2)>L %如果x2長度大于L則產(chǎn)生錯誤</p><p>　　error('L must not be less than length of x2');</p><p><b>　　end </b></p><p

33、>　　X1k=fft(x1,L); %對x1進行L點FFT計算</p><p>　　X2k=fft(x2,L); %對x2進行L點FFT計算</p><p>　　Yk=X1k.*X2k; %頻域相乘 </p><p>　　y=ifft(Yk);

34、 %反變換得卷積結(jié)果</p><p>　　if (all(imag(x1)==0))&(all(imag(x2)==0))</p><p>　　y=real(y);</p><p><b>　　end</b></p><p>　　函數(shù)chongdie（）：</p><p>&

35、lt;b>　　方案1：</b></p><p>　　function[y]=chongdie(x,h,N)</p><p>　　Lenx=length(x); %取x(n)的長度</p><p>　　M=length(h); %取h(n)的長度</p><p>　　

36、L=N+M-1; %計算圓周卷積的周期L使其不發(fā)生混疊</p><p>　　x=[x,zeros(1,N-1)]; %填充序列使得循環(huán)中對序列的索引不會超出圍</p><p>　　K=floor(Lenx/N);</p><p>　　y=zeros(1,Lenx+L-1); %確定分段數(shù)K&l

37、t;/p><p>　　for i=0:1:K</p><p>　　ix=i*N; </p><p>　　x_seg=x(ix+1:ix+N); %將x(n)分段</p><p>　　y_seg=juanji(x_seg,h,L); %調(diào)用函數(shù)juanji()計算圓周卷積</p>&

38、lt;p>　　y(ix+1:ix+L)=y(ix+1:ix+L)+y_seg(1:L); %各段重疊相加</p><p><b>　　end</b></p><p>　　y=y(1:Lenx+M-1); %取出實際的輸出序列</p><p><b>　　方案2：</b></p>

39、;<p>　　function[y]=chongdie(x,h,L)</p><p>　　Lenx=length(x); %取x(n)的長度</p><p>　　M=length(h); %取h(n)的長度</p><p>　　N=L-M+1;

40、 %計算分段大小N</p><p>　　x=[x,zeros(1,N-1)]; %填充序列使得循環(huán)中對序列的索引不會超出圍</p><p>　　K=floor(Lenx/N); %確定分段數(shù)K</p><p>　　y=zeros(1,Lenx

41、+L-1);</p><p>　　for i=0:1:K</p><p><b>　　ix=i*N;</b></p><p>　　x_seg=x(ix+1:ix+N); %將x(n)分段</p><p>　　y_seg=juanji(x_seg,h,L);

42、 %調(diào)用函數(shù)juanji()計算圓周卷積</p><p>　　y(ix+1:ix+L)=y(ix+1:ix+L)+y_seg(1:L); %各段重疊相加</p><p><b>　　end</b></p><p>　　y=y(1:Lenx+M); %取出實際的輸出序列</p>

43、<p>　　5 程序運行結(jié)果與分析</p><p><b>　　輸入序列和周期L</b></p><p>　　x1=[1,2,3,4,5,5,4,3,2,1];</p><p>　　x2=[1,0,1];</p><p><b>　　L=8;</b></p><p&

44、gt;　　運算結(jié)果：124689986421</p><p>　　由程序運行結(jié)果與線性卷積結(jié)果比較可以知道程序計算結(jié)果正確的。</p><p><b>　　心得體會</b></p><p>　　作為電子信息工程系的學生，數(shù)字信號處理這門課程是其他很多課程的基礎(chǔ)，所以學好數(shù)字信號處理這門課是非常重要的。而MATLAB這款軟件

45、對數(shù)字信號處理的建模、編程、分析、實現(xiàn)有極大的幫助作用，所以我們應該掌握使用MATLAB編程來實現(xiàn)對數(shù)字信號的分析處理。</p><p>　　此次我得到的課設(shè)題目是：基于重疊相加法圓周卷積的實現(xiàn)。拿到課設(shè)題目后，我仔細研究了與題目相關(guān)的原理，包括線性卷積、周期卷積、圓周卷積、重疊相加法、離散傅里葉變換DFT、快速傅里葉變換FFT等原理知識，弄清楚了它們之間的關(guān)系。通過這次課程設(shè)計，我不僅順利完成課程設(shè)計的要求，而

46、且在課程設(shè)計過程中通過對相關(guān)原理的回顧，對各相關(guān)原理之間的關(guān)系有了脫胎換骨般的認識，也意識到此前學到的理論知識是多么的淺薄。</p><p>　　在和同組同學一起討論基于重疊相加法的圓周卷積原理后，我開始了利用MATLAB來實現(xiàn)這個功能。在編寫程序的過程中，我查閱了很多有關(guān)MATLAB的編程知識，通過整合所查閱到的編程知識，結(jié)合先前研究的基于重疊相加法的圓周卷積原理，我設(shè)計了具有此功能的MATLAB函數(shù)。在設(shè)計時

47、我遇到了不少的問題，剛開始時我先設(shè)定分段長度N，然后由N來求卷積周期L。但是在程序運行過程中我發(fā)現(xiàn)算法具有很大的局限性。通過仔細揣摩這其中的問題，原來是我忽略了FFT運算的條件。所以我制定了第二個方案，先設(shè)定卷積的周期L，然后由L來求分段長度N，這樣程序的適用范圍就擴大了。為了提高程序的適用性，我不斷的對程序進行修改和測試，以求能夠達到更好的效果，這個過程讓我體會到了編程解決問題的樂趣。</p><p>　　通過

48、本次課程設(shè)計，我對書本知識有了更深刻的理解，并應用課本的理論知識，結(jié)合相關(guān)軟件，設(shè)計解決問題的算法。從而提高了由知識轉(zhuǎn)換為技能的能力，提高了自己的實踐能力。通過與同學的互相溝通，不僅使各自的知識得到了擴充，而且從中得到了很多的啟示，這次課程設(shè)計讓人受益匪淺。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　【1】《數(shù)字信號處理》，劉泉、闕大順、郭志強

49、編著，電子工業(yè)出版社，2009</p><p>　　【2】《信號與系統(tǒng)》，劉泉，江雪梅編著，高等教育出版社，2006</p><p>　　【3】《MATLAB從入門到精通》，周建興、豈興明等編，人民郵電出版社，2008</p><p>　　【4】《MATLAB實用教程》，徐金明、張孟喜、丁濤編，清華大學出版社，2007</p><p>　　【