求異面直線距離的幾種方法畢業(yè)論文

1、<p>　　求異面直線距離的幾種方法</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本論文分別借用向量方法，平行六面體的高，向量的射影，點(diǎn)到平面的距離，兩點(diǎn)間的距離和平行平面的距離，給出空間兩異面直線的距離公式的方法來(lái)總結(jié)了求異面直線之間距離的定義法，轉(zhuǎn)化法，極值法，射影法…等十種方法。</p><p>　　關(guān)鍵詞：異

2、面直線； 異面直線之間的距離；</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘要1</b></p><p><b>　　引言1</b></p><p>　　1.定義法（直接法）1</p><p><b>　　

3、2.轉(zhuǎn)化法2</b></p><p>　　2.1 轉(zhuǎn)化為線面距離法2</p><p>　　2.2 轉(zhuǎn)化為面面距離法3</p><p><b>　　3.極值法3</b></p><p><b>　　4.射影法4</b></p><p><b>　

4、　5.公式法5</b></p><p><b>　　6.平移法7</b></p><p><b>　　7.垂面法8</b></p><p><b>　　8.向量法8</b></p><p><b>　　9.行列式法10</b><

5、/p><p><b>　　總結(jié)12</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)13</b></p><p><b>　　致謝14</b></p><p><b>　　引言</b></p><p>　　求異面直線之間的距離是中學(xué)數(shù)

6、學(xué)中的重要概念之一，也是空間距離問(wèn)題的難點(diǎn)，弄清異面直線距離的有關(guān)概念和性質(zhì)是求異面直線距離的前提。求異面直線之間的距離在中學(xué)數(shù)學(xué)中沒(méi)有具體講解，所以本論文利用定義法（直接法），轉(zhuǎn)化法，極值法，射影法，公式法，平移法，垂面法，向量法及行列式法和實(shí)際例題來(lái)解決關(guān)于求異面直線之間的距離問(wèn)題。</p><p>　　求異面直線間的是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，難就難在不知怎樣找異面直線的公垂線段，也不會(huì)將所求的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。解答

7、此類問(wèn)題，主要的方法有將兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為直線與平面的距離，或轉(zhuǎn)化為平面與平面的距離，或轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，或轉(zhuǎn)化為用等體積的方法等來(lái)求解。</p><p>　　特點(diǎn)：即不平行也不相交，兩直線永遠(yuǎn)不可能在同一平面內(nèi)。</p><p>　　定義 和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線夾在異面直線間的部分叫做異面直線的公垂線段。兩條異面直線的公垂線段的

8、長(zhǎng)度叫做這兩條異面直線的距離。</p><p>　　性質(zhì)1 任意兩條異面直線有且只有一條公垂線。</p><p>　　性質(zhì)2 兩條異面直線的公垂線段長(zhǎng)（異面直線的距離）是分別連接兩條異面直線上兩點(diǎn)線段中最短的長(zhǎng)度</p><p>　　下面我將求兩條異面直線的距離的幾種方法作一歸納總結(jié)。</p><p>　　1.定義法（直接法）</p

9、><p>　　定義法就是先作出這兩條異面直線的公垂線段，然后求出公垂線段長(zhǎng)即異面直線之間的距離。</p><p>　　例1： 如圖所示，邊長(zhǎng)均為的兩個(gè)正方形ABCD和CDEF成120°的二面角。求異面直線CD與AE間的距離。</p><p>　　解：如圖中，四邊形ABCD與CDEF是正方形得, CD平面AED</p><p>　　過(guò)點(diǎn)

10、D作DHAE，垂足為H</p><p>　　又CD平面AED ，得 CDDH</p><p>　　又因?yàn)镈HAE，得 DH是CD與AE的公垂線（異面直線AE</p><p><b>　　與CD間的距離）</b></p><p>　　在ADE中，ADE=120°，AD=AE= ，DHAE， </p>

11、<p>　　得 DH = AD = DE = </p><p>　　即異面直線CD與AE的距離為；</p><p><b>　　2.轉(zhuǎn)化法</b></p><p>　　轉(zhuǎn)化法將兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為直線與平面距離或轉(zhuǎn)化為平面與平面的距離求解。</p><p>　　2.1 轉(zhuǎn)化為線面距離法</p>

12、<p>　　線面距離法就是選擇異面直線中的一條，過(guò)它作另一條直線的平行平面，因此直線與平面的距離即為所求異面直線的距離。</p><p>　　例2.如圖所示，正方體-的棱長(zhǎng)為，求異面直線與之間的距離。</p><p>　　解：連接 </p><p><b>　　因?yàn)?得 而</b></

13、p><p>　　從而與的距離就是與平面的距離為h；</p><p>　　用體積法， </p><p>　　因?yàn)?，所?是等邊三角形</p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　從而 得 ；</b></p>&l

14、t;p>　　2.2 轉(zhuǎn)化為面面距離法</p><p>　　面面距離法就是所求異面直線的距離轉(zhuǎn)化為求分別過(guò)兩條異面直線的兩個(gè)平行的平面間的距離。</p><p>　　例3.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，求異面直線的距離。</p><p>　　解：如圖，分別連接 </p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p

15、><p><b>　　,</b></p><p>　　得平面平面且對(duì)角線為兩個(gè)平面的公垂線，由體積法可以得出A到平面的距離等于到平面的距離為</p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p>　　從而與平面的距離等于 ,</p><p>　　兩平面間的距離就是 與 之間的

16、的距離，</p><p>　　即 與 之間的的距離為；</p><p><b>　　3.極值法</b></p><p>　　極值法就是把兩條異面直線間的距離表示成某一個(gè)變量的函數(shù)，從而通過(guò)求函數(shù)的最小值來(lái)求異面直線間的距離。</p><p>　　例4，如圖，棱長(zhǎng)為4的正三棱柱中，D是AB的中的，求與 間的距離。<

17、/p><p>　　解：在上任取一點(diǎn)M，作垂足為N，則平面</p><p>　　又作,垂足為Q，連接NQ，則 </p><p><b>　　因此,為直角三角形</b></p><p><b>　　設(shè)，則</b></p><p><b>　　在中，°&

18、lt;/b></p><p><b>　　得，</b></p><p><b>　　由勾股定理，</b></p><p><b>　　當(dāng) 時(shí) ，；</b></p><p>　　即 與 間的距離為 ；</p><p><b>　　4.射

19、影法</b></p><p>　　將兩條異面直線射影到同一平面內(nèi)，射影分別是點(diǎn)和直線或兩條異面直線，那么點(diǎn)和直線兩條平行線的距離就是這兩條異面直線射影間的距離。</p><p>　　例5. 如圖在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求異面直線間的距離。</p><p>　　解：把異面直線的射影到同一平面內(nèi)，兩射影間的距離就是所求異面直線之間的距離。

20、 </p><p>　　取的中點(diǎn)Q，連接EQ,EN</p><p>　　因?yàn)镋,Q是中點(diǎn)，得 </p><p><b>　　得 </b></p><p>　　又因?yàn)榈茫纳溆盀镼N。</p><p>　　再取的中點(diǎn)F，同理，MF是的射影，</p><p>&l

21、t;b>　　得是的射影。</b></p><p>　　從而是EN和 在平面上的射影。</p><p>　　QN與間的距離就是兩條異面直線的距離</p><p>　　因?yàn)镼是BC的中點(diǎn)，得 </p><p>　　又°，設(shè)QN與的距離為，從而 得 ，</p><p>　　即異面直線 間的距離

22、為 ；</p><p><b>　　5.公式法</b></p><p>　　求異面直線之間的距離，我們還可以用下面兩個(gè)公式來(lái)求。</p><p>　　公式1 如圖 ⑴，三棱錐A-BCD中，若AB和CD所成的角為，三棱錐A-BCD的體積為 , 則異面直線AB與CD間的距離 </p><p>　?、?

23、 ⑵</p><p>　　公式2 .已知面積，二面角的平面角為，如圖（2），直線b與平面分別交與A,E到棱的距離為n ,m, 則異面直線與之間的距離</p><p>　　例6.如圖，已知正方體，其邊長(zhǎng)為是的中點(diǎn)，求AC與BP間的距離。</p><p>　　解：（公式1） 設(shè)異面直線AC與BP所成的角為 &

24、lt;/p><p>　　取的中點(diǎn)N，連接AN</p><p><b>　　因?yàn)镻是的中點(diǎn)，得</b></p><p>　　很容易解能求出 ; </p><p>　　即AC與PB之間的距離為 ；</p><p><b>　?。ㄓ霉?）</b></p&

25、gt;<p>　　解：設(shè)B到AC的距離為m，P到AC的距離為n.</p><p>　　設(shè)二面角P-AC-B的平面角為</p><p>　　用面積的射影公式得 </p><p><b>　　因?yàn)?</b></p><p><b>　　得 </b></p><p&g

26、t;　　即AC與PB之間的距離為 ；</p><p><b>　　6.平移法</b></p><p>　　找出一條直線，使兩條直線都垂直，但這條直線不是公垂線，這時(shí)把這條直線設(shè)法平移到這兩異面直線相交然后求出這兩異面直線的公垂線。</p><p>　　例7.已知正方體，其邊長(zhǎng)為，求AC與間的距離。解：如圖，由正方體的性質(zhì)BD與AC交與O<

27、/p><p>　　在中，將平移到ON處，連接AN，可知N為的中點(diǎn)</p><p>　　設(shè)AN與交點(diǎn)為Q,將DN平移到PQ， </p><p>　　可知，PQ是AC與AD的垂線</p><p><b>　　由平面幾何知識(shí)，則</b></p><p><b>　　得 ，則，得出 &l

28、t;/b></p><p><b>　　即AC和間的距離為</b></p><p><b>　　7.垂面法</b></p><p>　　若兩條直線是異面直線，過(guò)其中一條做平面，使這條直線與平面垂直，在平面內(nèi)，過(guò)這條直線垂足點(diǎn)作另一條直線的垂線，垂足和前一個(gè)垂足的連線就是公垂線。</p><p>

29、;　　例8.，其邊長(zhǎng)為1求BD與之間的距離。</p><p>　　解：連接AC，AC與BD交與P點(diǎn) </p><p><b>　　過(guò)P作</b></p><p>　　又因?yàn)镻Q平面 所以</p><p>　　又,所以PQ為BD與AC的公垂線 </p><p>　　

30、因?yàn)? </p><p>　　即BD與之間的距離為；</p><p><b>　　8.向量法</b></p><p>　　向量法又叫做法向量投影法，一般步驟是：</p><p>　?、?建立空間直角坐標(biāo)系,求異面直線,b的方向向量在求出的法向量 （向量均與向量垂直）<

31、;/p><p>　?、?分別在直線,b上各取一點(diǎn)A,B，求做向量</p><p>　?、?求向量在法向量上的投影</p><p>　　例9，如圖，已知正方形，其棱長(zhǎng)為1，求異面直線與之間的距離。</p><p>　　解：建立空間直角坐標(biāo)系 </p><p>　　設(shè) = 是過(guò)直線且平行于AC的平面的法向量。 <

32、/p><p>　　因?yàn)?, 所以 </p><p>　　又, </p><p><b>　　所以 即 </b></p><p><b>　　令=1得， </b></p><p><b>　　因?yàn)樵谏锨?，&

33、lt;/b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　即；</b></p><p><b>　　9.行列式法</b></p><p><b>　　定理1 兩直線</b></p><p>　　異

34、面的充分必要條件是 M=</p><p>　　定理2. 異面直線：</p><p>　?。?與 ： 得距離為， 其中， </p><p>　　=() ，（） </p><p>　　例10.已知兩直線方程為與 </p><p>　　⑴ 證明它們是異面直線

35、.</p><p>　　⑵ 求出它們之間的距離.</p><p>　　解：⑴ 由兩直線異面的充要條件可知，這兩直線的一般方程的條數(shù)構(gòu)成四階行列式 = -25 </p><p>　?、?由已知方程，=（1，-1，-1），=（2，-3，1），=（1，-2，1），</p><p>　　=（1，-1，-1），</p><p>

36、　?。ǎ?，）==-8 ，（，，）== -6</p><p>　?。?，，）-（，，）=-8（2，-3，1）+ 6（1，-1，-1）</p><p>　　=（-10，18，-14)</p><p><b>　　==</b></p><p>　　由定理2中的公式得，兩條異面直線的距離為</p><p>

37、;<b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　異面直線間的距離是立體幾何的核心概念，位于知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處和思想方法的結(jié)合部，是立體幾何的學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。求異面直線的距離不僅考察空間想象力邏輯思維能力。綜上可知，求異面直線間的距離要如下三種意識(shí)；定義意識(shí)，轉(zhuǎn)化意識(shí)和函數(shù)意識(shí)，同時(shí)要注意向量方法和坐標(biāo)法在解題中的

38、重要作用。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]王成巖（牡丹江教育學(xué)院黑龍江 牡丹江 157005）[文章編號(hào)]1009-2323（2001）04-068-03</p><p>　　[2]薛金星主編 中學(xué)教學(xué)解題方法與技巧（上旬）北京教育出版社 2011.3 出版[M]（62-63）</p>

39、<p>　　[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編 高等數(shù)學(xué)（第五版）上冊(cè) 高等教育出版社 2002</p><p>　　[4]單壿著編 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 上海教育出版社 2012年第4期[M](37-39)</p><p>　　[5]數(shù)理化解題研究 2012年（15-17）</p><p>　　[6]朱洪亮編 數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版）天津科學(xué)技術(shù)出版社 201

40、2年第6期[M]（2-4）</p><p>　　[7]楊天林編中學(xué)生數(shù)理化（高中版）南京大學(xué)出版社 2009年第12期[M]（46-47）</p><p>　　[8]呂林根，許子道 編 解析幾何（第五版）北京高等出版社 2006.5</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　在**師范學(xué)院經(jīng)過(guò)五年

41、學(xué)習(xí)，使我做人做事等各方面得到了很大提高。</p><p>　　在阿布拉江老師的指導(dǎo)下，我的畢業(yè)論文順利通過(guò)。他幫助我批閱了很多次，提供各方面的資料和很好的意見(jiàn)，所以非常感謝他的幫助。在指導(dǎo)老師耐心的指導(dǎo)下，我學(xué)會(huì)了論文的三步：怎樣開(kāi)頭，怎樣繼續(xù)，怎樣結(jié)束。</p><p>　　非常感謝指導(dǎo)老師，也非常感謝我系的各位老師。在他們的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，為以后的工作打下了良好