畢業(yè)論文-淺談均值不等式在生活中的應用價值

1、<p>　　淺談均值不等式在生活中的應用價值</p><p>　　[摘 要] 均值不等式是數(shù)學中一個重要的不等式，它的許多性質(zhì)對解決數(shù)學問題都有很大的幫助，在現(xiàn)實生活中也有著廣泛的應用.而且形式眾多，主要體現(xiàn)在度量方面、造價銷售方面、決策判斷方面、足球射門等方面，只要我們善于思考，必將發(fā)現(xiàn)均值不等式在生活中有更多更廣的應用價值.</p><p>　　[關(guān)鍵詞] 均值不等式　平均

2、數(shù) 最值 生活 應用</p><p><b>　　一、引言</b></p><p>　　均值不等式是數(shù)學中一個重要的不等式.它的許多性質(zhì)對解決數(shù)學問題都有很大的幫助，在現(xiàn)實生活中也有著廣泛的應用.可以說，均值不等式的發(fā)現(xiàn)、驗證和應用也是數(shù)學文化的精髓所在.這對于我們來說是一項巨大的財富.但是我們要注意，求解最值時請一定要注意相等的條件，若多次利用均值不等式求解最

3、值，則必須注意這些不等式等號成立的條件是否一致，只有在一致的條件下才有可能達到最值.</p><p>　　二、均值不等式的有關(guān)概念與結(jié)論</p><p><b>　　幾種平均數(shù)的概念</b></p><p>　　這幾種平均數(shù)在高中的課程中就已經(jīng)有介紹了，分別為算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù).，它們的定義如下：</p>

4、<p>　　定義一：若均為正數(shù)，我們就稱為的算術(shù)平均數(shù).</p><p>　　定義二： 若均為正數(shù)，我們就稱為的幾何平均數(shù).</p><p>　　定義三：若均為正數(shù)，我們就稱為的調(diào)和平均數(shù).</p><p>　　定義四:若均為正數(shù)，我們就稱為的平方平均數(shù).</p><p>　　(二)均值不等式的重要結(jié)論</p>&

5、lt;p>　　均值不等式是不等式中比較重要的一類不等式，也是應用比較廣的一類不等式，下面將給出一般的結(jié)論和常用的結(jié)論，以及均值不等式在求最值時實用的定理.均值不等式在數(shù)學中不同的地方有不同的具體形式，但是萬變不離其宗，它們都是有規(guī)律可循的.</p><p>　　對于上述四種平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù)的大小比較，我們有一般的結(jié)論：</p><p><b

6、>　　,</b></p><p>　　當且僅當時，不等式取“”號，這幾個數(shù)依次為調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算數(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù).在實際解題中，和兩種情況是最常見的，特闡述如下：</p><p>　　當時，我們可以得到一個一般的二元均值不等式</p><p><b>　　，</b></p><p><

7、;b>　　通常寫作</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　但是通常我們用的最多的是上述的變式，如</p><p><b>　　；</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　特別地，

8、當且僅當時，上述的“”才成立.</p><p>　　當時，我們可以得到一個一般的三元均值不等式：</p><p>　　，同二元均值不等式一樣，也有變式如下：</p><p><b>　　；</b></p><p><b>　　；</b></p><p><b>　　

9、.</b></p><p>　　特別地，當且僅當時，上述的“”才成立.</p><p>　　有上述的一般結(jié)論和變式可以推得：當兩個正數(shù)的和一定時，其其乘積有最大值；當兩個正數(shù)的乘積一定時，其和有最小值，我們稱其為最值定理.</p><p>　　三、利用均值不等式解決應用性問題</p><p>　　生活中經(jīng)常遇到這樣的問題，如為資源

10、不能合理利用而發(fā)愁，因為不能做出合理的決策而傷腦筋等等問題，只要我們善于發(fā)現(xiàn)，這些問題就可以被均值不等式所征服.生活中有很多這樣的問題都可以用均值不等式來解決，主要體現(xiàn)在度量方面、造價銷售方面、決策判斷方面、足球射門方面，比如怎么合理地使用已知的材料去獲得最大的需求，或者給出已知的要求怎么安排才能讓使用材料最少，主要有關(guān)于度量、造價和銷售方面的問題.</p><p>　?。ㄒ唬镁挡坏仁浇鉀Q度量類問題<

11、/p><p>　　隨著地球上人口越來越多，諸多的徒弟問題也接踵而來，如住房問題、資源問題等，怎樣省錢，怎樣合理的利用資源是當今要解決的問題。為了解決這些問題，運用均值不等式,你可以輕松得到合理的利用資源的方法. </p><p>　　例1 有個半徑為的球形材料，現(xiàn)在我們想利用這個材料制作一個最大體積的正三棱錐工藝品（不得拼裝），求這個工藝品的最大體積值.</p><p

12、>　　分析 首先我們要把應用問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型，然后再用數(shù)學知識解決.</p><p>　　解 如圖1，設(shè)球的內(nèi)接正三棱錐為，為其高，為底面的中心，則必須經(jīng)過球心，延長交球于，設(shè)正的半徑為.</p><p>　　易知，，由圓的性質(zhì)：</p><p>　　所以

13、 </p><p>　　, 圖1 </p><p>　　當且僅當 ，即時，取最大值. </p><p>　　因此這個工藝品的最大體積值為.</p><p>　　毫無疑問，本題利用了上述的結(jié)論3

14、：如果，那么，當且僅當時，等號成立.不同的是，本題是三元的均值不等式，將兩邊同時立方，就得到，所以本題能輕松的求出正三棱錐的體積最大值.</p><p>　　例2 一段長為的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各位多少時，菜園的面積最大？最大的面積是多少？</p><p>　　解 設(shè)垂直于墻的一邊為，則平行于墻的一邊為，其中,其面積</p><p>

15、;<b>　　,</b></p><p>　　當且僅當 ，即時菜園面積最大，</p><p>　　即菜園平行于墻的一邊為，垂直于墻的一邊為時，菜園面積最大值為. </p><p>　?。ǘ镁挡坏仁浇鉀Q造價費用問題</p><p>　　例3 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為，深為，如果池底每的造價為元，

16、池壁每的造價為元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低造價是多少元？</p><p>　　解 設(shè)水池底面一邊的長度為，則另一邊的長度為，又設(shè)水池的總造價為元，根據(jù)題意，得</p><p>　　當，即時，有最小值.</p><p>　　因此，當水池的底面是邊長為的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是元.</p><p>　　本題利用這個不等

17、式，簡潔方便，清晰明了.</p><p>　　例4 某工廠購買某種設(shè)備時費用為萬元,每年的設(shè)備運營費為千元,設(shè)備的維修費為第一年千元,第二年千元……依每年千元遞增,問該設(shè)備使用多少年報廢最合算?(使用多少年平均費用最少).</p><p>　　解 設(shè)該設(shè)備使用年報廢，前年的平均費用為萬元.</p><p>　　由題知，每年的使用費及維修費總和構(gòu)成首項為公差為的等

18、差數(shù)列，有等差數(shù)列求和公式得，前年的總使用費及維修費為元，</p><p><b>　　則前年的平均費用為</b></p><p><b>　　當且僅當即時，.</b></p><p>　　因此，該設(shè)備使用年報廢最合算.</p><p>　　在這個解題過程中，除了應用等差數(shù)列求和的有關(guān)知識，還應用了

19、均值不等式求最值，即 .</p><p>　　例5 圍建一個面積為的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為的進出口，如圖所示.已知舊墻的維修費用為元/，新墻的造價為元/.設(shè)利用的舊墻長度為(單位：)，修建此矩形場地圍墻總費用為(單位：元).</p><p><b>　　將表示為的函數(shù)；</b>&

20、lt;/p><p>　　試確定，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.</p><p>　　解 如圖2，設(shè)垂直于墻的一邊為，</p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由已知,</b

21、></p><p>　　得 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以 圖2</p><p>　　. 圖2</p&g

22、t;<p><b>　　因為 ，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　??；</b></p><p>　　故 </p><p><b>　??；</b></p>&l

23、t;p>　　且僅當時，等號成立.</p><p>　　當時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是元.</p><p>　?。ㄈ镁挡坏仁教幚頉Q策判斷類問題</p><p>　　眾所周知，商界競爭激烈，很多時候都要面臨著選擇，為企業(yè)的生存和發(fā)展披荊斬棘.合理的決策將有利于企業(yè)的立足和發(fā)展,如果不合理，企業(yè)必將虧損，甚至有可能直接導致企業(yè)的破產(chǎn)，所以企業(yè)在策劃

24、這方面時,應該運用均值不等式檢測是否合理.</p><p>　　例6 某商品計劃兩次提價，有甲、乙、丙三種方案，其中，</p><p>　　經(jīng)兩次提價后，哪一種方案的提價幅度最大？為什么？</p><p>　　分析 均值不等式也可以用在價格方面，比如成本價和銷售價之間的關(guān)系如何平衡才能使利潤最大，這是基本所有商人都追求的.本題就是借助均值不等式來解決此類問題的.

25、</p><p>　　解 根據(jù)判斷丙方案的提價幅度最大，理由如下：</p><p>　　設(shè)原價為元，那么請看兩次提價后的價格分別為</p><p><b>　　甲方案 元；</b></p><p><b>　　乙方案 元；</b></p><p>　　丙方案

26、 元.</p><p>　　顯然甲乙方案提價后的價格一樣，所以提價幅度一樣，所以只要比較甲丙兩個方案.</p><p>　　用作差法得到結(jié)果如下：</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　，且；

27、</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故

28、</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，丙方案的提價幅度最大.</p><p>　　本題就是利用了上面結(jié)論2：如果，那么，當且僅當時，等號成立.將兩邊同時平方，就得到，從而輕易地就得到.</p><p>　　例7 今有一臺壞天平，兩臂長不等，其余均精確，有人說要用它稱物體

29、的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實重量.這種說法對嗎？并說明你的結(jié)論？</p><p>　　解 設(shè)左右臂長分別為、，物體放在左右托盤稱得的重量分別為、，真實重量為，由杠桿平衡原理有：</p><p><b>　　由得，</b></p><p><b>　　所以 ；</b><

30、;/p><p><b>　　由，得，</b></p><p><b>　　由均值不等式知</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　故此種說法不對，物體的真實重量為兩次稱量結(jié)果的幾何平均值.</p><p>　　例8 某養(yǎng)殖場需定

31、期購買飼料，已知該廠每天需要飼料公斤，每公斤飼料的的價格元，飼料的保管與其他費用為平均每公斤每天元，購買飼料每次支付運費元，假設(shè)養(yǎng)殖場每次均在用完飼料的當天購買.</p><p>　　求該養(yǎng)殖場每多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最??；</p><p>　　(2)若提供飼料的公司規(guī)定，當一次購買飼料不少于噸時其價格可享受八五折優(yōu)惠(即原價的).問該養(yǎng)殖場是否考慮利用此優(yōu)惠條件，請

32、說明理由.</p><p>　　解 設(shè)該養(yǎng)殖場每天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為元.</p><p>　　因為飼料的保管與其他費用每天比前一天少（元）</p><p>　　所以天飼料的保管與其他費用共是（元）</p><p><b>　　從而有</b></p><p><b>

33、;　　,</b></p><p>　　當且僅當，即時，有最小值.</p><p>　　每天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小.</p><p>　　(2)若該養(yǎng)殖場利用此優(yōu)惠條件，則至少每天購買一次飼料，設(shè)該養(yǎng)殖場利用此優(yōu)惠條件，每天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為元，則</p><p><b>　　,<

34、;/b></p><p><b>　　因此 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以當時，，即函數(shù)在上是增函數(shù).</p><p>　　所以當時，取得最小值為，而.</p><p>　　因此該養(yǎng)殖場應該接受此優(yōu)惠條件.</p>

35、<p>　　例9 甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度行走，另一半時間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一把路程以速度行走，如果，問甲乙兩人誰先到達指定地點？</p><p>　　解 設(shè)從出發(fā)點到指定地點的路程為.</p><p>　　甲、乙兩人走完這段路程所用時間分別為、，依題意有</p><p><b>　

36、　，.</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　

37、，</b></p><p>　　所以 .</p><p>　　從而知甲比乙首先到達指定地點.</p><p>　　本題利用了一般結(jié)論：</p><p><b>　　,</b></p><p>　　當且僅當時，不等式取“=”號，這幾個數(shù)依次為調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、

38、算數(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù).顯然，調(diào)和平均數(shù)小于算數(shù)平均數(shù).</p><p>　　應用均值不等式解決足球射門問題</p><p>　　球場如戰(zhàn)場,合理的戰(zhàn)術(shù),巧妙的技術(shù)往往是致勝的關(guān)鍵.如把握好入射距離、踢球的力道和入射角度是進球得分，戰(zhàn)勝對手的關(guān)鍵.具體事例如</p><p>　　例10 設(shè)海牛隊邊鋒在左線位置，距底線距離為，即，并設(shè)球門寬，禁區(qū)線到球門柱距，再設(shè)入

39、射范圍角，，，且，，求入射角的最大值.</p><p><b>　　解 如圖3所示</b></p><p>　　， 圖3 </p><p>　　當且僅當時，即時，最大. </p><p>　　又，所以入射角最大.</p><p>

40、<b>　　.</b></p><p><b>　　故入射角的最大值為</b></p><p><b>　　總結(jié)語</b></p><p>　　通過以上的例題，我們不難發(fā)現(xiàn)均值不等式在生活中的應用只要是和定積大與積定和小兩方面的應用，在這其中，又摻雜了二元均值不等式與三元均值不等式在生活中的應用.除了

41、上述的應用，均值不等式也在其他方面都有著廣泛的應用，例如在住房問題、交通運輸、污水處理、商品銷售等方面也有著廣泛的應用.我們已經(jīng)應用均值不等式解決一系列問題，但是均值不等式形式眾多，變化多樣，只要我們善于思考，必將發(fā)現(xiàn)均值不等式在生活中有更多更廣的應用價值.</p><p><b>　　[參考文獻]</b></p><p>　　[1]黃文.例說均值不等式的應用.數(shù)學大

42、世界（高中版）,2005,12.40-41頁</p><p>　　[2]鄭傳枝.用均值不等式判斷生活中的幾個問題.高中數(shù)學教與學,2005,2.44-45頁</p><p>　　[3]田祥高.教材動態(tài)全解（高二數(shù)學）.第二版.長春：東北師范大學出版社,2006年</p><p>　　[4]趙存善.例說利用均值不等式解應用問題.數(shù)學通訊,2003,20.20頁<

43、/p><p>　　[5]張荷芳.均值不等式在實際生活中的應用.數(shù)學通訊,2002,2.90-91頁</p><p>　　Discusses the Application of Mean inequality in Life worth</p><p><b>　　Cai Lei</b></p><p>　　[Abstrac

44、t] Average inequality is an important inequation in mathematics. It is the number of the size relations, is our knowledge required for further study mathematics and other disciplines, and the basis and according to many

45、of the properties of inequality in the solving math problems are great help, not only so, it in real life also in a wide range of applications. Say, average inequality discovery, validation and application is the quintes