機械設計制造及其自動化外文翻譯譯文-- 應力為基礎的有限元方法應用于靈活的曲柄滑塊機構

1、<p><b>　　中文4143字</b></p><p>　　畢 業(yè) 設 計（論 文）</p><p>　　外 文 文 獻 譯 文 </p><p>　　學 生： </p><p>　　學 號：

2、 </p><p>　　院 （系）： 機電工程學院 </p><p>　　專 業(yè)： 機械設計制造及其自動化 </p><p>　　指導教師： </p><p>　　2010 年 06月 10

3、 日</p><p>　　出處：12th IFToMM Congress, Besancon, France. 2007</p><p><b>　　英文翻譯</b></p><p>　　應力為基礎的有限元方法應用于靈活的曲柄滑塊機構</p><p>　　（多倫多大學：Y.L. Kuo .L. Cleghorn加拿大）

4、</p><p>　　摘要:本文在歐拉一伯努利梁基礎上提出了一種新的適用于以應力為基礎的有限元方法的程序。先選擇一個近似彎曲應力的分布，然后通過一體化確定近似橫位移。該方法適用于解決靈活滑塊曲柄機構問題，制定的依據是歐拉-拉格朗日方程，而拉格朗日包括與動能，應變能有關的組件，并通過彈性橫向撓度構成的軸向負荷的鏈接來工作。梁元模型以翻轉運動為基礎，結果表明以應力和位移為基礎的有限元方法。</p>&l

5、t;p>　　關鍵詞：應力為基礎的有限元方法，曲柄滑塊機構，拉格-朗日方程</p><p><b>　　1.前言</b></p><p>　　以位移為基礎的有限元方法通過實行假定位移補充能量。這種方法可能由內部因素產生不連續(xù)應力場，同時由于采用了低階元素，邊界條件與壓力不能得到滿足。因此，另一種被成為以應力為基礎采用假定應力的有限元方法得到了應用和發(fā)展。Veube

6、ke和Zienkiewicz[1-2]首先對應力有限元素進行了研究。之后，這種方法被廣泛用于解決應用程序中的問題[3-5]。此外，還有各種書籍提供更加詳細的方法[6，7]。</p><p>　　這一高速運作機制采用振動，聲輻射，協同聯結，和撓度彈性鏈接的準確定位。因此，有必要分析靈活的彈塑性動力學這一類的問題，而不是分析剛體動力學。 靈活的機制是一個由無限多個自由度組成的連續(xù)動力學系統，其運動方程是由非線性偏微分

7、方程建立的模型，但得不到分析解決方案。Cleghorn et al[8-10] 闡述了橫向振動上的軸向荷載對靈活四桿機構的影響。并且通過能有效預測橫向振動和彎曲應力的五次多項式建立了一個翻轉梁單元。</p><p>　　本文提出了一種新的方法來執(zhí)行建立在歐拉一伯努利基礎上的以應力為基礎的有限元方法。改進后的方法首先選定了假定應力函數。然后通過整合假定應力函數得到橫向位移函數。當然，這種方法能解決沒有強制制約因素的

8、應力集中問題。我們可以通過這種方法解決靈活曲柄滑塊機構體系中存在的問題。目的是通過這種方法提高準確性，該系統存在的問題也可以通過取代基有限元方法來解決。結果可以證明偏差比較。</p><p>　　2.以應力為基礎的歐拉一伯努利梁</p><p>　　歐拉一伯努利梁的彎曲應力與橫向位移的二階導數相關，也就是曲率，可以近似的看做是形函數和交點變量：</p><p>　　

9、這里[(i)N(c)]是連續(xù)載體的形函數；{(i)Øe} 是列向量的交點函數，y是關于中性線的橫向定位，E是楊氏模量，（i）v是橫向位移，x軸向定位函數。</p><p>　　由方程（1）可以推導出橫向位移轉換方程：</p><p><b>　　橫向位移：</b></p><p>　　這里 (i)C1和(i)C2是兩個一體化常數，可以

10、通過滿足兼容性來確定。</p><p>　　將方程（2）和（3）代入（1），可以得到有限元位移和回轉曲率，如下所示：</p><p>　　這里下標（C），（R）和（D）分別代表曲率，自轉和位移。運用變分原理，可以得到這些方程[11-13]。</p><p>　　表1 分別比較以位移和應力為基礎的有限元方法的歐拉-伯努利梁元素</p><p>

11、　　3.以位移和應力為基礎的有限元方法的比較</p><p>　　主要區(qū)別在于以位移為基礎的有限元方法的應力場存在不連續(xù)的內部因素，同時具有低階形函數。主要是因為不連續(xù)量的產生以及間離散分布。再者，它可能由于使用過多交點變量而產生剛度矩陣。</p><p>　　以應力為基礎的方法與以位移為基礎的方法比較具有很多優(yōu)點。首先，以應力為基礎的方法產生的交點變量較少（如表1）。第二，使用以應力為基

12、礎的方法時，彎曲應力的邊界條件可以得到滿足。最后，應力由體系方程直接計算得到。</p><p><b>　　4.方程推導</b></p><p>　　曲柄滑塊機構如圖1所示，由做剛體運動的曲柄來運作，該方程由有限元公式推導而得。有限元方程的推導過程如下：（1）建立剛體運動學曲柄滑塊機構；（2）構建基于剛體運動學機構的翻轉梁單元；（3）確定一套變量用來描述靈活曲柄滑塊機

13、構的運動；（4）裝配所有梁單元。最后，就可以得到有限元方程，同時該靈活曲柄滑塊機構的時間響應可以通過時間一體化確定。</p><p>　　圖1 靈活曲柄滑塊機構</p><p><b>　　A．翻轉梁的元方程</b></p><p>　　考慮靈活的梁單元受到剛體翻轉和回轉運動。疊加在剛體運動軌跡時，縱向和橫向方向上允許一些撓度變量。通過拉格-朗

14、日方程可以得到任意靈活翻轉的組件的微分方程。由于彈性變形認為是很小的，而且自由度是有限的，這個方程是線性的并且很容易畫出來。推導公式的元素也被很明確的列出來[8-10]，并且做了簡要的介紹。</p><p>　　鑒于在軸向有很強的剛度，因此很有必要在縱向方向上合理考慮為剛性梁。所以，縱向方向如一下所示：</p><p>　?。?）這里u1是交點變量，是關于x軸方向的常數，如圖2所示。橫向

15、可以表示為：</p><p>　　翻轉梁單元上任意點的速度可以表示如下：</p><p>　　這里（（i）Vax（i）Vay）是梁單元在O點的絕對速度，如圖2所示； 是梁單元的角速度；（（i）u（i）v）分別是梁單元上任意點縱向和橫向的位移，x是梁單元縱向的定位，如圖2所示。</p><p><b>　　圖2 旋轉梁</b></p>

16、<p>　　如果我們把 當作組件材料的單位體積；A是組件的橫截面積，L是組件的長度，組件的動能可以表示如下：</p><p>　　均勻剛性組件的軸向彎曲應變能量與楊氏模量E有關，得到二階矩陣I，如下所示：</p><p>　　由縱向拉伸負荷工作，（i）P,組件的橫向撓度表示如下：</p><p>　　運功機制的縱向負荷不是一成不變的，與位置和時間有關。

17、在忽略縱向彈性形變的前提下，縱向負荷可能來自于剛性慣性力，可以表示如下：</p><p>　　這里PR是元件右側的外部縱向負載， 是x軸方向上O點的絕對加速度。如圖2所示。 拉格-朗日形式表示如下：</p><p>　　將公式（5-100）代入（12），并且運用歐拉-拉格朗日方程，旋轉梁的運動方程可以表示為一下形式： </p><p>　　這里[Me]、[Ce]

18、和[Ke]分別是元件的質量、等效阻尼和等效剛度矩陣；{Fe}是元件的載荷向量。當建立質量耦合矩陣時，應主要考慮滑塊機構。</p><p>　　B.曲柄滑塊機構方程</p><p>　　提出解決曲柄滑塊機構問題的方法，變量是曲率的節(jié)點。裝配所有元件時，考慮機構的邊界條件是很有必要的。因為該動力適用于基礎曲柄結構，在O點存在彎矩，如圖1所示，在O點也存在曲率。如圖1所示的A點和B點，我們假定它

19、們是很小的點。然而，實際上，彎矩和曲率在這兩個點上都為零。</p><p>　　因為公式（13）是變量的矩陣表示方式{Ø} ，這個公式可以通過總結所有的方程來得到，可以表示如下：</p><p>　　這里[M]、[C]、[K]分別是質量、阻尼和剛度矩陣，{F}是負載向量。</p><p>　　5.穩(wěn)定狀態(tài)基礎上的數值模擬</p><p&

20、gt;　　曲柄的轉速是150rad/s (1432rpm),該靈活曲柄滑塊機構的各項數值表示如下：R2=0.15(m)，R3=0.30(m), =0.225(kg/m), EI=12.72(N-m2), mB=0.03375(kg)。</p><p>　　這里R2 和R3分別是曲柄和耦合器的長度，mB是滑塊的質量。</p><p>　　通過曲柄和耦合器的一個運動周期，可以看出穩(wěn)態(tài)橫向位移和

21、中點彎曲應力的變化情況，以及分析本課題的結果?？梢酝ㄟ^增加物理阻尼矩陣提高穩(wěn)定性，被稱作瑞利阻尼：</p><p>　　這里α和β是兩個常數，可以從[15]中對應于兩個不同頻率的振動的阻尼比得到。本文中α和β的值取決于自然頻率。</p><p>　　通過在運動方程中增加物理阻尼，也可以通過Newmark時間步驟觀測超過20個周期的運動，從而得到分析結果。當采用數值時間積分是出示條件從零開始

22、。</p><p><b>　　誤差可以表示為：</b></p><p>　　這里QFEQRef 和分別表示以有限元方法和參考方法為基礎的兩個值，總的來說，可以建立時間方程，而且很容易被接受，比如能量、位移、彎矩等等。t1 和t2指的是時間積分的間隔，通常指的是穩(wěn)態(tài)條件下的以個周期。因為沒有一個合適的準確的方法，在本文中可以通過一個五次多項式表示20個元件鏈接為基礎的

23、位移有限元方法得到參考值。</p><p>　　Fig. 3. Time responses of the total energy, dimensionless midpoint deflection of the coupler, and the midpoint strain of the coupler at the steady state</p><p><b>　　

24、condition</b></p><p>　　圖3 總能量的時間響應，耦合器的量綱中點撓度，耦合器在穩(wěn)態(tài)條件下的中點應變。</p><p><b>　　6.數值模擬</b></p><p>　　在這一節(jié)中，我們討論剛性曲柄機構。耦合器是唯一的一個靈活的連桿。在第六節(jié)中以以梁單元為基礎，該梁單元可以做剛性軸運動，但是存在橫向撓度。&

25、lt;/p><p>　　在第三節(jié)中討論以有限元為基礎的方法時，很有必要考慮模型的邊界條件和形函數的相近程度，我們粗略的建立了耦合器應變線性分布方程，而且在彎矩不為零的條件下考慮耦合器的邊界條件。</p><p>　　在下面這個例子中，我們認為耦合器是由兩個、三個、四個或者五個元件組成的，同時它的曲率分布可以表示為線性方程：</p><p>　　于是，時間響應和總能量誤差

26、，耦合器的中點撓度和應變都可以通過以應力為基礎的有限元方法得到。同時，也評估了第一自然頻率。</p><p>　　曲柄的轉速為150rad/s (1432rpm) ，該靈活的曲柄滑塊機構中各個部件的值可以表示如下[16]：</p><p>　　R2=0.15(m)，R3=0.30(m), =0.225(kg/m), EI=12.72(N-m2), mB=0.03375(kg)。</p

27、><p>　　這里R2 和R3分別是曲柄和耦合器的長度，mB是滑塊的質量。</p><p>　　為了通過以位移為基礎的有限元方法比較誤差，我們同樣要用它建立一個機構，結果可以參考文獻[17]。</p><p>　　表2 兩種有限元方法的第一自然頻率誤差</p><p><b>　　DOF：自由度數目</b></p>

28、;<p>　　表3 兩種有限元方法的總能量誤差</p><p><b>　　DOF：自由度數目</b></p><p>　　圖3顯示了總能量的時間響應，耦合器的量綱中點撓度，耦合器在穩(wěn)態(tài)條件下的中點應變。表2-5分別比較了以位移為基礎和以應力為基礎的有限元方法的第一自然頻率誤差、總能量、耦合器的中點撓度量綱、以及耦合器的中點應變。誤差可以由公式（16）得

29、到。結果表明，當兩種方法中的元件數目相同時，以應力為基礎的方法誤差較以位移為基礎的誤差大。但是，當自由度的數目相同時，以應力為基礎的有限元方法的誤差比以位移為基礎的有限元方法的誤差小很多。同時，我們注意到當元件相同，除去第一自然頻率誤差時，以應力為基礎的有限元方法的誤差也比以位移為基礎的有限元方法的小很多。這說明以應力為基礎的有限元方法可以提供大量精確的解決動態(tài)彈塑性問題的方法。</p><p>　　表4 兩種有

30、限元方法的耦合器中點撓度誤差</p><p><b>　　DOF：自由度數目</b></p><p>　　表5 兩種有限元方法的耦合器中點應變誤差</p><p><b>　　DOF：自由度數目</b></p><p><b>　　7.結論</b></p><

31、;p>　　本文提出了一種新的以應力為基礎的有限元方法來解決歐拉-拉格朗日梁問題。該方法尤其適用于解決動態(tài)彈塑性問題。并且提出了梁的近似曲率。然后我們可以通過整合近似曲率得到橫向撓度和應力分布。在整合過程中，有必要使梁單元的邊界條件得到滿足，從而可以得到整合常數。本文中，我們提出了在高速運作下解決靈活曲柄滑塊機構問題。結果表明，在同樣的自由度下，以應力為基礎的有限元方法的誤差小于常規(guī)方法的誤差，常規(guī)方法也就是以位移為基礎的有限元方法

32、。同樣，在元件數目相同的條件下，以應力為基礎的有限元方法可以提供更多準確的解決方法。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]B. Fraeijs de Veubeke, “Displacement an equilibrium models in the finite element method”, stress Analysis,

33、 edited by O.C. Zienkiewicz, Wiley, New York, 1965.</p><p>　　[2]B. Fraeijs de Veubekd and O.C. Zienkiewicz, “Strai-energy bounds in finite-element analysis by slab analogy” J. Strain Analysis, Vol. 2, pp. 26

34、5-271, 1967.</p><p>　　[3]Z. Wieckowski, S.K. Youn, and B.S. Moon, “Stressedbased finite element analysis of plane plasticity problems”, Int. J Numer. Meth. Engng., Vol. 44, pp. 1505-1525, 1999.</p>&l

35、t;p>　　[4]H. Chanda and K.K. Tamma, “Developments encompassig stress based finite element formulations for materially nonlinear static dynamic problems”, Comp. Struct.,Vol. 59, No. 3, pp. 583-592, 1996.</p><

36、p>　　[5]M. Kaminski, “Stochastic second-order perturbation approach to the stress-based finite element method”, Int. J. Solids and Struct., Vol. 38, No. 21, pp. 3831-3852, 2001. </p><p>　　[6]O.C. Zienkiew

37、icz and R.L. Taylor, The Finite Element Method, McGraw-Hill, London, 2000. </p><p>　　[7]R.H. Gallagher, Finite Element Fundamentals, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1975. </p><p>　　[8]W.L. Cle

38、ghorn, 1980, Analysis and design of high-speed flexible mechanism, Ph. D. Thesis, University of Toronto. </p><p>　　[9]W.L. Cleghorn, R. G. Fenton, and B. Tabarrok, 1981, “Finite element analysis of high-spee

39、d flexible mechanisms”, Mechanism and Machine Theory, 16(4), 407-424. </p><p>　　[10]W.L. Cleghorn, R.G. Fenton, and B. Tabarrok, 1984, “Steady-state vibrational response of high-speed fexible mechanisms”, Me

40、chanism and Machine Theory, 19(4/5)417-423. </p><p>　　[11]Y.L. Kuo, W.L. Cleghorn and K. Behdinan, “Stress-bsed Finite Element Method for Euler-Bernoulli Beams”,Transactions of the Canadian Society for Mecha

41、nical Engineering, Vol. 30(1), pp. 1-6, 2006. </p><p>　　[12]Y.L. Kuo, W.L. Cleghorn, and K. Behdinan “Applicatons of Stress-based Finite Element Method on Euler-Bernoulli Beams ”, Proceedings of the 20th Can

42、adian Congress of Applied Mechanics, Montreal, Quebec, Canada, May 30-Jun 2, 2005. </p><p>　　[13]Y.L. Kuo, Applications of the h-, p-, and r-refinements of the Finite Element Method on Elasto-dynamic Problem

43、s, Ph.D. Thesis, University of Toronto, 2005. </p><p>　　[14]L. Meirovitch, 1967, Analytical Methods in Vibrations, Macmillan, New York, 436-463. </p><p>　　[15]K.J. Bathe, 1996, Finite Element Pr

44、ocedures, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, USA. </p><p>　　[16]A.L. Schwab and J.P. Meijaard, 2002, “Small vibratons superimposed on prescribed rigid body motion”, Mulibody System Dynamics, 8, 29-49. <