一類非局部反應(yīng)擴散方程組.pdf

1、 摘要 : 本文研究了一類來源于燃燒理論的半線性非局部反應(yīng)擴散方程組. 分別證明了 C a u c h y 間題弱解及 N e u m a n n 邊值問 題古典解的局部存“ ” ‘ 唯 一 性 并 給 出 整 體 解 存 在 和 ” 在 “ 限 時 “ 內(nèi) 爆 破 的 充 f t s * T + 7 ( 關(guān)健詞: 非局部反應(yīng)擴散方程組， 局部存在性， 唯一性， 爆 鮮 整 體 解 ·引 言:1 9 6 6 年，F(xiàn) u

2、j i t 。 在 文! 1 ] 中 考慮如 下C a u c h y 問 題非 平 凡的 非負解 △ ‘+“ p ， 0 ) =。 。 ( 二 ) ， x 〔R N ,x 任t > 0 R ' v其 中10 . 他 證 明 了 ( a ) 若11 + 弄 ， 則 上 述間 題當 初 值充 分 小 時 ， 存 在 非 平凡 的 非負 整 體解; 當 初值充 分 大時 ， 非負 解必 在有限時 刻內(nèi) 爆破.從此 ， 引 發(fā)了

3、 非 線性 發(fā)展 方 程解 爆破 理論的 發(fā)展 與 深入 研究 . 許 多 數(shù)學(xué) 家在有界區(qū) 域， 外區(qū) 域等不同 區(qū) 域的 情 況討論了 上述問 題. 后來， 多 篇文章把這一結(jié) 果 拓廣到其它的 方程 或 方程 組， 參見 文[ 2 , 1 0 ] 及其參考 文獻. 文[ 1 1 ] 討 論了 包含非 線性 擴 散項的 方 程二 : = A U , + U p ， 文[ 2 ] 討論了 不同 非 線性 反 應(yīng) 項 的 情 況

4、， 文[ 1 2 ] 討 論了 輛 合 方 程 組。 ， 二 △ u + U r w 9 , ，' t = △ 。 + 。 。 。 ” .經(jīng) 過幾十年的研究， 非線性發(fā)展方程解的 爆破 理論日 趨完善、 全面，討論間 題的角度更加豐富. 討論的間 題主要有解將在什么 條件下產(chǎn)生爆破， 解在區(qū) 域的哪些部分產(chǎn)生 爆破， 以 及解爆破的 速率等. 非線 性發(fā)展方程解爆破理論往往與化學(xué)反應(yīng) 理論相關(guān).因 此， 它研究的間 題幾乎來自自

5、 然界各種現(xiàn)象抽象出 來的數(shù) 學(xué)模型， 例如徽燒理論以 及量 子力學(xué)、 流體力學(xué)中的一些數(shù)學(xué)模型. 因 而對它的 研究具有物理背景和實際意義.對于非局部反應(yīng)擴 散方程的 情況， 國內(nèi) 外均有研究 ( 文[ 5 , 6 , 1 4 ] ) . 文[ 5 ]討論了如下單個方程C a u c h y 問 題:二 △ 。 + (加 u 0 + 1 d y ) 0 + ; u ' , x , 0 ) =u p ( x ) >

6、; 0 , x E R N ' t >0 x‘R N4‘才 ‘ 、腸 以rl老 1 、得到了 正解 整 體存在的充 要 條件. 文[ 6 l 推廣 到 方 程 組的 情 況:ut二U 亡= 。 ( 二 ，△ 。 + ( f R N v “ d y ) 1 v “ △ 。 - f ( f R N u 0 t d y ) 0 ' _ I 0 ) = v ( x , 0 ) = u o ( x )

7、 , v o ( x ) ,x 〔 R N , t >0x 任 R N , t >。xER Nx 〔R N其中P t > _ 0 , Q ; , r ; > 1 , r ; + p ; > _ 1 , a = 1 , 2 ; u o ( 二 ) > 0 , v o ( 二 ) 全 。 ， 且。 0 ( 二 ) ， 。 。 ( 二 ) EL 0 , ( R N ) n L