CAGD中細(xì)分與擬合的造型方法研究.pdf

1、本文圍繞計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(Computer Aided Geometric Design,簡(jiǎn)稱(chēng)CAGD)中細(xì)分和擬合的造型方法進(jìn)行了深入的研究,主要獲得了以下一些成果： 首先,從理論上證明了B樣條曲線(xiàn)的升階是割角過(guò)程,并指出了割角過(guò)程中輔助控制頂點(diǎn)的幾何意義。 給定一條B樣條曲線(xiàn),我們?cè)诿恳徊街辉黾右粋€(gè)節(jié)點(diǎn)的重?cái)?shù),相應(yīng)地也只升高一個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)的階數(shù).這樣每一個(gè)步驟中老基函數(shù)最多用2個(gè)新基函數(shù)來(lái)表示,從而新控制頂點(diǎn)最多只

2、用2個(gè)老控制頂點(diǎn)來(lái)表示,也就是說(shuō)新控制多邊形是由老控制多邊形割角得到的.這樣依次增加每個(gè)節(jié)點(diǎn)的重?cái)?shù),當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)區(qū)間上的階數(shù)都升高時(shí),我們用割角過(guò)程得到了升階曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn).為了在每一步只升高一個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間的次數(shù),我們引入了雙次B樣條基函數(shù)的概念,并利用雙次B樣條基函數(shù)之間的變換公式證明了B樣條曲線(xiàn)的升階是割角過(guò)程。而割角過(guò)程中出現(xiàn)的輔助控制頂點(diǎn)則是由雙次B樣條基函數(shù)所定義的雙次B樣條曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)。 其次,提出了一種把平面光滑曲線(xiàn)

3、轉(zhuǎn)換為B樣條曲線(xiàn)的局部算法。 我們的局部算法有三個(gè)主要步驟：首先從待轉(zhuǎn)換的曲線(xiàn)上采樣足夠多的點(diǎn)及其切向,然后用G1連續(xù)的Bezier樣條去擬合采樣數(shù)據(jù),最后再把G1連續(xù)的Bezier樣條拼接為C2 B樣條曲線(xiàn).由于在第二步擬合與第三步拼接中都符合了保形及誤差要求,所以最后的擬合曲線(xiàn)也達(dá)到了保形及誤差要求.而且,由于我們每次用固定端點(diǎn)及端點(diǎn)切向的Bezier曲線(xiàn)擬合點(diǎn)列時(shí)根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的局部特性自適應(yīng)確定節(jié)點(diǎn)及控制頂點(diǎn),所以所得擬合曲

4、線(xiàn)的控制頂點(diǎn)數(shù)要少于傳統(tǒng)的最小二乘法等擬合方法.數(shù)值算例表明我們的局部算法在保形及減少數(shù)據(jù)量等方面均優(yōu)于傳統(tǒng)的最小二乘法。 再次,提出了曲線(xiàn)插值的內(nèi)心細(xì)分法。 內(nèi)心細(xì)分法因?yàn)槊窟厡?duì)應(yīng)的新點(diǎn)是由邊、邊兩端頂點(diǎn)切線(xiàn)所圍成的三角形的內(nèi)心而得名.它有兩個(gè)主要步驟：加入新點(diǎn),調(diào)整切向.給定一個(gè)初始點(diǎn)列及其切向,用內(nèi)心細(xì)分法得到的極限曲線(xiàn)曲率連續(xù)且保形.給定兩點(diǎn)兩切向,配以基于相鄰五點(diǎn)的切向調(diào)整方法,內(nèi)心細(xì)分法可以得到插值兩點(diǎn)兩切向

5、的螺線(xiàn).用內(nèi)心細(xì)分法還可以在極限曲線(xiàn)中光滑地插入直線(xiàn)段.另外,內(nèi)心細(xì)分法還具有還圓性的特點(diǎn),即如果所有的初始點(diǎn)及其切向均取自同一圓弧段,則極限曲線(xiàn)就是該網(wǎng)弧段.我們對(duì)極限曲線(xiàn)的收斂性與連續(xù)性給出了嚴(yán)格的證明,并用數(shù)值算例驗(yàn)證了內(nèi)心細(xì)分方法。最后,提出了一種用逼近型細(xì)分算法插值網(wǎng)格的方法。 利用逼近型細(xì)分方法頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極限點(diǎn)公式,我們給出了一種極其簡(jiǎn)單高效的插值方法.我們以L(fǎng)oop細(xì)分方法為例給出了新邊點(diǎn)及新頂點(diǎn)的顯式表達(dá)式.新方