非齊次問題邊界積分方程中域積分計算方法的研究及應用.pdf

1、計算機輔助工程(CAE)技術在工程結構設計和分析中發(fā)揮著重要的作用，邊界積分方程方法為CAE分析中重要的數值計算方法之一。邊界面法是一種幾何精確的邊界積分方程方法，采用邊界面法求解工程問題具有計算精度高、幾何模型無誤差、降維、容易實現 CAD\CAE的一體化等特點。降維是邊界積分方程方法最重要的優(yōu)勢之一，即僅需對問題域的邊界進行離散和積分，這將降低模型網格劃分難度、減少積分計算時間、降低問題的計算規(guī)模，使得邊界面法與非邊界積分類型方法相

2、比更有優(yōu)勢。但非齊次問題的邊界積分方程中不可避免地會出現域積分，如含有內部熱源的熱傳導問題和有體力的力學問題等，這些已知場分布的域積分可根據場分布是否能用解析函數表示而分為解析函數型和非解析函數型，若直接在問題域內劃分體單元對域積分進行計算，將會削減邊界積分方程的降維優(yōu)勢；若物理問題的控制方程無解析基本解，則只能使用該方程不完整算子的基本解，這將導致方程中出現包含未知變量的域積分，如彈性屈曲問題，此時域內節(jié)點的未知變量將參與方程組的求解

3、，增加了方程的維度，使得降維優(yōu)勢完全喪失，所以，邊界積分方程方法中域積分轉化方法的研究十分重要。現已有幾種域積分轉化方法被提出，并被成功地應用于穩(wěn)態(tài)熱傳導、彈性靜力等問題中。由于域積分中包含基本解，且域積分轉化方法均與控制方程有關，因此在控制方程和基本解較為復雜的問題中，域積分更加難以處理，如三維瞬態(tài)熱傳導問題以及彈性屈曲問題，其域積分的計算精度和效率仍有待提高。
　　本文將以邊界面法為基礎，研究轉化工程問題邊界積分方程中三類域積

4、分的有效方法，最終實現在無需域內單元和域內源點的前提下進行仿真分析。本文主要完成的內容如下：
　　(1)針對解析函數型域積分，提出了基于修正 Helmholtz方程基本解的頻域多重互易公式，成功地將解析函數型域積分轉化為了等效的邊界積分。新推導的頻域多重互易公式打破了傳統(tǒng)多重互易法對Laplace方程基本解的依賴，解決了傳統(tǒng)多重互易法收斂性差和無法進行誤差估計等問題，且由于修正 Helmholtz基本解與高階基本解之間簡單的倍數關

5、系，使得轉化得到的邊界積分級數形式十分簡潔，對應的矩陣方程中沒有增加新的系數矩陣，節(jié)約了計算和存儲的成本。本文將頻域多重互易法應用于三維瞬態(tài)熱傳導問題的積分方程中，首先選擇頻域法降低問題控制方程和基本解的復雜度，并采用修正 Helmholtz方程的基本解將控制方程轉化為邊界積分方程；其次運用基于修正 Helmholtz基本解的頻域多重互易公式將方程中解析函數型域積分轉化為等價的邊界積分，得到了瞬態(tài)熱傳導問題的純邊界積分方程形式，其離散模

6、型僅需邊界網格，且無需任何域內插值點，降低了模型的離散難度，成功地將與時間有關的四維問題轉化為與時間無關且僅需邊界離散的問題，達到了降維的目的。
　　(2)針對非解析函數型域積分，提出了頻域三重互易法，對無解析函數表達式的已知物理場分布進行三重互易插值后，可成功地將域積分轉化為邊界積分。頻域三重互易公式與傳統(tǒng)的時域三重互易法相比，其頻域基本解與時間無關，高階基本解簡單且無需進行時間積分，轉化域積分后得到的邊界積分形式更為簡潔，可節(jié)

7、約系數矩陣的計算時間和存儲空間。本文應用頻域三重互易法轉化三維瞬態(tài)熱傳導問題積分方程中的域積分，成功地將非解析函數型域積分轉化為邊界積分，達到了降維的目的。并且結合變量代換法求解了幾類功能梯度材料的瞬態(tài)熱傳導問題，成功轉化了該問題中經變量代換后更加復雜的非解析函數型域積分。最后得到了頻域三重互易法和頻域多重互易法的結合方法，可轉化三維瞬態(tài)熱傳導問題中任何已知物理場分布的域積分。
　　(3)針對含有未知變量的域積分，得到了基于徑向基

8、函數插值的雙重互易公式，避免了域內離散且降低了問題的維度。采用徑向基函數對同時包含基本解、非解析場分布和未知位移變量的域積分進行插值，成功地分離出了域積分中的未知位移變量，且分離出的位移變量僅與邊界節(jié)點相關，降低了問題的維度，無需補充以域內節(jié)點為源點的積分方程，最后采用雙重互易法將域積分轉化為邊界積分，避免了域內離散。本文將轉化未知變量型域積分的雙重互易公式應用于彈性屈曲問題中，首先基于完整實體理論得到了彈性屈曲問題的控制方程，避免了傳

9、統(tǒng)穩(wěn)定性分析中梁桿板殼的假設，消除了因忽略模型細小特征和初始缺陷帶來的誤差；其次運用基于徑向基函數插值的雙重互易法將積分方程中的非解析函數型域積分轉化為邊界積分；考慮到屈曲分析的模型均為長條形或者扁平形模型，在對域函數進行插值擬合時僅選用邊界節(jié)點作為插值點，使得分離出的位移變量僅為邊界變量，不但避免了域內離散，而且降低了方程未知數的維度，無需補充以域內節(jié)點為源點的積分方程。最終在無需域內單元和任何域內插值點的前提下實現了三維彈性屈曲問題