基于三元積下的張量逆的初步研究及張量分解在方程和控制論中的應用.pdf

1、本文主要研究了在信號處理中三元積(ternary product)的背景下張量逆的相關理論.討論了張量分解在求解方程和系統(tǒng)控制的應用.研究了TT格式下Stein方程的求解算法，以及順序截斷高階奇異值分解下張量積模型轉換.本文的主要工作和研究成果如下:
　　(1)給出了3階張量逆定義的相關理論，并將其推廣到n階張量逆上.
　　3階張量逆的定義是由Gnang在文獻[60]中提出的.在這基礎上本文討論了張量三元積的張量逆對的存在條

2、件，給出了張量逆對的性質，這些性質是矩陣的逆在三階張量上的自然推廣.并從三個方向定義了的張量逆對.我們發(fā)現(xiàn)對于給定張量對，與其對應的張量逆對有很多，這與信號處理中的3D轉換中的結論類似.通過數(shù)值例子充分說明了高階張量逆對的性質.
　　將3階張量逆的定義自然推廣到n階張量逆的定義.討論了n階張量逆對的存在條件，并根據(jù)定義將3階張量逆對的性質類似的推導出n階張量逆對的性質，并從n個方向定義了n階張量的逆.
　　(2)提出了TT格

3、式下Stein方程的Smith迭代算法.
　　針對離散時間Stein方程，提出了TT格式下的Smith迭代算法.在將矩陣方程轉換成對應的張量TT格式后，利用該算法即通過Smith迭代分別計算TT核，可以得到TT格式下的近似解.并對算法的復雜度進行討論，估計了誤差.同時我們研究了強張量積與TT格式下矩陣乘積的關系.數(shù)值試驗充分的驗證了算法有效性.
　　(3)提出了順序截斷高階奇異值分解下張量積模型轉換.
　　對于給定的線

4、性變參數(shù)(LPV)狀態(tài)空間模型，利用張量積(TP)模型轉換使之成為線性時不變(LTI)模型的凸組合.在TP模型轉換過程中，用順序截斷高階奇異值分解(ST-HOSVD)代替高階奇異值分解(HOSVD)，給出了基于ST-HOSVD下的TP模型轉換算法，在低秩情況下，節(jié)約了大量的計算量和存儲量，在很大程度上解決了TP模型轉換中高階奇異值分解(HOSVD)代價太高的問題，而對應的誤差并沒有增加.通過該算法得到了LTI系統(tǒng)及對應的權重函數(shù).將算法