第一類廣義橢圓積分與空間Gr(o)tzsch環(huán)函數(shù)的一些性質(zhì).pdf

1、眾所周知，Gauss超幾何函數(shù)F(a，b;c;x)、完全橢圓積分K(r)和ε(r)、廣義橢圓積分Ka(r)和εa(r)都是非常重要的特殊函數(shù)，它們在幾何函數(shù)論、擬共形理論、數(shù)論、物理學(xué)等其他學(xué)科、工程技術(shù)等領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用。而研究Gauss超幾何函數(shù)F(a，b;c;x)的性質(zhì)又離不開對(duì)Γ-函數(shù)Γ(x)、Ψ-函數(shù)ψ(x)、Beta函數(shù)B(x，y)及Ramanujan常數(shù)R(a，b)性質(zhì)的研究。廣義橢圓積分Ka(r)作為最重要的特殊函

2、數(shù)之一，是Gauss超幾何函數(shù)F(a，b;c;x)的重要特例。一方面，它與將上半平面變換到平行四邊形的Schwarz-Christoffel變換有關(guān);另一方面，它是完全橢圓積分的推廣，即當(dāng)a=1/2時(shí)，Ka(r)退化為K(r)。因此，若能將完全橢圓積分的某些性質(zhì)推廣到廣義橢圓積分，有利于更好地促進(jìn)幾何函數(shù)論、擬共形理論、廣義Ramanujan模方程等相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展。廣義橢圓積分Ka(r)與廣義模方程中的廣義Gr(o)tzsch環(huán)函數(shù)μa

3、(r)、廣義Hübner上界函數(shù)ma(r)、廣義Hersch-Pfluger偏差函數(shù)ψK（a，r）、廣義Agard偏差函數(shù)ηK(a，t)和廣義線性偏差函數(shù)λ(a，K)有著密切的聯(lián)系。而當(dāng)a=1/2時(shí)，μa(r)與這些廣義偏差函數(shù)即為擬共形理論中極為重要的擬共形特殊函數(shù)μ(r)、m(r)、ψK(r)、ηK(t)和λ(K)，這些函數(shù)不僅對(duì)擬共形映射的偏差性質(zhì)的研究是必不可少的，而且在數(shù)論等其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有許多應(yīng)用[1,41,53,56]。此

4、外，ηK(t)和λ(K)在擬共形映射的極值問題和擬正則映射以及擬對(duì)稱函數(shù)等方面的研究中發(fā)揮著重要作用[1，50，61]。因此，對(duì)于廣義橢圓積分Ka(r)和廣義偏差函數(shù)ψK(a，r)、ηK(a，t)、λ(a，K)的研究，既具有獨(dú)立的意義，又可促進(jìn)擬共形理論、幾何函數(shù)論和廣義Ramanuj an模方程等領(lǐng)域的發(fā)展。因此深入研究廣義橢圓積分Ka(r)及其相關(guān)的R（a，b）、B（x，y）等特殊函數(shù)的性質(zhì)具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。
　　

5、環(huán)在擬共形理論的研究過程中是必不可少的，尤其是Gr(o)tzsch環(huán)與Teichmüller環(huán)，而n維空間中Gr(o)tzsch環(huán)函數(shù)Mn(r)(當(dāng)n=2時(shí)，M2(r)=μ(r))在n-維擬共形理論中起著非常重要的作用。對(duì)于平面Gr(o)tzsch環(huán)函數(shù)μ(r)的研究已很深入，但由于缺少行之有效的研究工具，對(duì)于Mn(r)（n≥3）的己知結(jié)論相對(duì)較少，而且較粗糙。
　　本文的主要目的是:建立Beta函數(shù)不同類型的級(jí)數(shù)，研究R(a，b

6、)與B（a，b）的關(guān)系;研究揭示第一類廣義橢圓積分Ka(r)與一些初等函數(shù)組合的分析性質(zhì)，并據(jù)此獲得精確不等式;較大程度地改進(jìn)關(guān)于Mn(r)的一個(gè)不等式。
　　本文由以下四章構(gòu)成:
　　第一章，主要介紹本文的研究背景，并引入本文涉及的一些概念、記號(hào)和相關(guān)的部分已有成果。
　　第二章，建立了Beta函數(shù)B(x，y)的不同類型的級(jí)數(shù)展開，并揭示B(a,b)與R（a，b）之間的聯(lián)系。
　　第三章，研究第一類廣義橢圓積分

7、Ka(r)與一些初等函數(shù)組合的單調(diào)性和凹凸性，并由此得到精確不等式。
　　第四章，研究高維擬共形理論中Gr(o)tzsch環(huán)函數(shù)Mn(r)=modRG,n(1/r)(0＜r＜1)的性質(zhì)，糾正G.D.Anderson，M.K.Vamanamurthy及M.Vuorinen的著作“Conformal Invariants Inequalities and Quasiconformal Maps”中的一個(gè)錯(cuò)誤，并較大程度地改進(jìn)函數(shù)f(r